Kvarkadabra forum

Ja, Japi, saj so realna števila pravzaprav limite konvergentnih zaporedij.

Roman napisal/-a:V matematiki znamo definirati neskončne množice, se pravi tiste, ki imajo neskončno mnogo elementov, na primer naravna števila. Definicija gre nekako takole: množica je neskončna, če obstaja v njej prava podmnožica, ki ima enako mnogo elementov kot celotna množica. Pri naravnih številih lahko primerjamo celotno množico s podmnožico lihih števil. Obe imata enako število elementov, čeprav vsebuje podmnožica lihih števil samo polovico vseh elementov celotne množice.

Tega ne razumem najbolje. Če hočemo dokazati, da je množica naravnih števil neskončna, moremo torej najprej dokazati, da je njena podmnožica (tj. množica lihih števil) tudi neskončna. Torej moramo poiskati podmnožico množici lihih števil (naprimer množico vseh lihih večkratnikov števila 3), ki je neskončna pač zato, ker lahko tudi njej poiščemo ustrezno podmnožico … To deluje le, če predpostavimo, da obstaja neskončno mnogo naravnih števil in njihovih večkratnikov iz katerih potem lahko spacamo skupej podmnožice podmnožicam. Toda: ali ni prav ta predpostavka tisto, kar smo želeli dokazati?

Nimlidor napisal/-a:Če hočemo dokazati, da je množica naravnih števil neskončna, moremo torej najprej dokazati, da je njena podmnožica (tj. množica lihih števil) tudi neskončna.

Ne, ne izhajamo iz predpostavke, da je podmnožica neskončna. Dokazati moramo, da sta množica in njena prava podmnožica ekvipolentni (enako močni - imata enako število elementov). Ekvipolentnost pa se dokaže s štetjem, se pravi z bijektivno preslikavo, ki vsakemu elementu množice priredi točno določen element podmnožice. Pri naravnih številih in sodih številih je ta preslikava n'=2*n.

Phantomas napisal/-a:
Prva neskončnost: Če nizaš števila 1,2,3,4,5... in to počneš v neskončnost imaš naraščajoče neskončno število števil (množico).

Druga neskončnost: Nizaš številka 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, ... 2.0, 2.1,2.2,... in to počneš v neskončnost imaš prav tako naraščajoče neskončno število števil (množico)

Obe neskončnosti sta neskončni. Le da je druga bolj gosta kot prva, vsebuje več števil in torej ni enakovredna prvi množici - je večja (bolj gosta), čeprav sta obe neskončni.

P.

Ta razlaga je napačna. Navedeni množici sta enako veliki, saj med njima obstaja bijektivna preslikava.

Problem je dejansko težko razumljiv. Ko je Cantor konec 19. stoletja dokazal, da obstajajo neskončne množice različnih velikosti, so ga zavračali številni znani matematiki. Zato se ne sekirajte preveč, če tega ne razumete takoj, ampak si poiščite dodatno razlago.

Pravzaprav je pod pojmom "druga neskončnost" opisana neka podmnožica racionalnih števil (ulomkov), za katero je dokazano, da jih je ravno toliko kot naravnih števil. O gostoti pa bi lahko govorili šele potem, ko bi jo primerno opredelili, menim pa, da so šele realna števila bolj "gosta" kot naravna in racionalna.

Neskončnost je abstrakcija oziroma intuitiven pojem. Neskončnost lahko samo slutimo.

V praksi pa "neskončnost" pomeni nekaj nepredstavljivo velikega ali številčnega, s čimer v vsakdanjosti nimamo opravka oziroma česar ne moremo v enem kosu zajeti.

V matematiki pravimo neskončno velikemu številu, da je večje od katerega koli končnega števila, ki bi si ga lahko izmislili. Ali, da ni navzgor omejeno (recimo s še večjim številom).

Se pa pri prepletanju neskončnosti in končnosti hitro zapletemo v paradoks, kot pri dokazu, da puščica nikoli ne preleti 1 metra, ker ga mora najprej preleteti pol, potem spet pol od te polovice, in tako dalje v neskončnost.
Kako pa sploh lahko preleti pol metra, saj ima tudi ta svojo polovico...? Po tej logiki, če jo upoštevamo dosledno, se puščica sploh ne more premakniti (če bi bilo to res, bi marsikdo bil še živ...).

Iz matematične teorije se medlo spominjam, da so števno neskončne množice (vsak element lahko nedvoumno oštevilčiš z enim naravnim številom) in neskončne množice, ki niso števne (realna števila, na primer).

Zanimiva tema, ni kaj.

V matematiki pravimo neskončno velikemu številu, da je večje od katerega koli končnega števila, ki bi si ga lahko izmislili.

Neskončno (\(\infty\)) ni število!

Dober dan
A bi lahko razložili kako iščemo te bijekcije med množicami. Recimo med IR in (0,1).

Moraš poiskati takšno preslikavo (funkcijo), ki vsakemu realnemu številu priredi različno realno število na intervalu (0,1).

Šolski primer:

f(x)=1/(1+e^x)

P.S. Forum ima trenutno problem z renderiranjem LaTeX kode.

Hvala za odgovor.
Me pa zanima po kakšnem postopku oz. razmisleku smo prišli do te funkcije. A to lahko izberemo katerokoli funkcijo in jo preurejamo dokler ni prava ali moramo vedeti kakšne lastnosti funkcije? A bi lahko uporabili x^2 in naredili bijekcijo za isti primer?
Ali lahko prosim miselni postopek opišeš na primeru množic: P({1,2,...,n}) in { f : {1,2,...,n} ->{0,1} }

zaki napisal/-a:Me pa zanima po kakšnem postopku oz. razmisleku smo prišli do te funkcije.

Kot sem napisal: gre za šolski primer.

Do njega pa lahko prideš, če razmišljaš, kakšen argument mora imeti naravni logaritem, da bo definiran zgolj na (0,1). Odgovor je:

ln(1/x-1).

Taka funkcija jasno slika iz (0,1) v IR, njen inverz (tisto, kar iščeš) pa iz IR v (0,1).

Seveda bi lahko izbrali tudi logaritem s kako drugo osnovo.

A to lahko izberemo katerokoli funkcijo in jo preurejamo dokler ni prava ali moramo vedeti kakšne lastnosti funkcije?

Po zgornjem zgledu bi bila prava ideja inverz (seveda bijektivne) funkcije, ki slika iz (0,1) v IR.

A bi lahko uporabili x^2 in naredili bijekcijo za isti primer?

Kje? V imenovalcu namesto e^x? Tako dobljena funkcija že v osnovi ni bijektivna (injektivna), saj zanjo velja: f(-x)=f(x).

Ali lahko prosim miselni postopek opišeš na primeru množic: P({1,2,...,n}) in { f : {1,2,...,n} ->{0,1} }

Težko, ker gre v tem primeru ne gre za preslikavo iz IR v (0,1).

Ok zanimivo, da je linearno neskončnost težje definirati, kako je pa z drugimi sistemi kot so desetiški, binarni itd kjer se po logiki razbere še druga vrsta informacije?

Kaj pa bi bila linearna neskončnost?

Omejena naj bi bila prostorsko-časovno.

stream napisal/-a:Omejena naj bi bila prostorsko-časovno.

Sem mislil, da 'linearnost' pomeni nekaj povsem drugega...