Problem z izrekom o kinetični energiji

O naravnih pojavih. Kaj je ...? Kakšen je...?
Post Reply
drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Problem z izrekom o kinetični energiji

Post by drevo » 8.2.2007 14:16

Kaj je narobe pri spodnjem sklepanju? :?

Tole je izpeljava izreka o kinetični energiji za točkasto telo, ki se giblje v ravnini, pri čemer so me zanimale le posledice sile, ki deluje vzdolž ene od izbranih osi x oziroma y.

\(\vec F_x = m\vec a_x = m\frac{d\vec v_x}{dt} /*d\vec s\)
\(\vec F_xd\vec s = md\vec v_x \frac{d\vec s}{dt}\)
\(\vec F_x\left ( d\vec s_x + d \vec s_y \right ) = md\vec v_x \frac{\left d\vec s_x + d \vec s_y \right}{dt}\)
\(F_xds_x = md\vec v_x \left (\vec v_x + \vec v_y \right )\)
\(F_xds_x = mdv_xv_x\)
\(F_xds_x = \frac{1}{2}m\left (dv_x^2 \right )\)
\(F_xds_x = d\left( \frac{1}{2}m v_x^2\right )\)
\(F_x\Delta s_x = \Delta W_{k x}\)

Potem pa to zadnjo enačbo uporabim na primeru z dvema togima kuglicama. Prva se giblje vzdolž osi x z hitrostjo \(v_{1 1}\), druga pa miruje. Ko se
zadaneta, velja

\(\vec F_{x 1}d\vec s_{x 1} = - \vec F_{x 2}d\vec s_{x 2}\)

Ker \(ds_{x 2} = ds_{x 1}\) in \(F_{x 1} = - F_{x 2}\), sledi

\(\Delta W_{k x 1} = - \Delta W_{k x 2}\)

Torej spremembi kinetičnih energij kroglic sta nasprotno enaki. Skupna sprememba sistema obeh kroglic je potem 0

\(\Delta W_{k x} = 0\)

kar pa ne drži v splosnem (recimo kadar se odbijeta pod nekim kotom glede na pot prve kroglice pred trkom), kar se vidi recimo iz izreka o gibalni količini ali pa iz ohranitve polne energije.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 8.2.2007 17:23

Ce se odbije pod kotom moras upostevati tudi sile v ostalih smereh, ki si jih izpustil.

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 8.2.2007 17:35

A ni možno 2. newtonovega zakona zapisati namesto z eno vektorko enačbo s tremi (ali dvema, če imaš gibanje v ravini) skalarnimi, ki potem veljajo vsaka vzdolž svoje osi (iz tega sem v bistvu izhajal, čeprav sem zapisal \(\vec F_x\) - tu sem napisal vektor, da potem ni problemov s plusi in minusi)? Meni se zdi logično, da bi na pospešek v x smeri vplivala le rezultanta sil v x smeri (oziroma projekcija rezultante na x os). Se pravi je narobe že prva enačba iz katere sem izhajal?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 8.2.2007 17:49

Ohranja se gibalna kolicina v eni smeri. Ni pa res da se ohranja kineticna energija ene komponente (ker je kvadratna funkcija hitrosti). Torej:
\(\Delta W_{kx}\neq0\)
\(\Delta(W_{kx}+W_{ky}+W_{kz})=0\)
Ce sila ne deluje v smeri hitrosti se ohranijo komponente gibalne kolicine. Kineticna energija je pa skalar in ne mores vzeti le ene komponente. Izpeljava je pa pravilna ob predpostavki da je \(F_y=F_z=0\) (kar sploh ni bila potrebna poenostavitev, cisto lepo se da izpeljat v splosnem z vektorji)

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 8.2.2007 18:26

Vse kar si rekel, mi je jasno, le zadnjega stavka ne razumem. Jaz nisem nikjer predpostavil \(F_y = F_z = 0\). V bistvu sem začel lepo splošno

\(\vec F = m\vec a\)

in takole bi prišel skozi tako kot je treba do

\(\vec F\vec s = \Delta W_k\)

Mene je pa zanimalo, kje v izpeljavi se vidi, da se kinetična energija ne ohranja po komponentah, zato sem napisal

\(\vec F_x + \vec F_y + \vec F_z = m\left (\vec a_x + \vec a_y + \vec a_z \right)\)
\(\vec F_x + \vec F_y + \vec F_z = m\vec a_x + m\vec a_y + m\vec a_z\)

In potem sem tole dal v tri enačbe (\(\vec F_x = m\vec a_x\)) in računal. Za x komponento sem napisal v prvem postu. Za vse tri smeri dobiš isto kot za x

\(F_x\Delta s_x = \Delta W_{k x}\)
\(F_y\Delta s_y = \Delta W_{k y}\)
\(F_z\Delta s_z = \Delta W_{k z}\)

In če te enačbe sešteješ, je spet vse ok

\(F_x\Delta s_x + F_y\Delta s_y + F_z\Delta s_z = \Delta W_{k x} + \Delta W_{k y} + \Delta W_{k z}\)
\(\vec F\vec s = \Delta W_k\)


Oprosti, ker kompliciram, samo res mi je zoprno, ker se ne poklapa. A je narobe to, da sem razbil v tri enačbe? Čudno bi mi bilo, če bi bil to razlog, ker \(F_x\) in \(F_y\) nimata nobene zveze z \(a_z\).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Problem z izrekom o kinetični energiji

Post by Aniviller » 8.2.2007 19:23

Tvoja izpeljava je dobra (tudi za komponento :) )

Pozoren bodi samo na tole (v prvem postu): \(F_{x1}ds_{x1}=-F_{x2}ds_{x2}\) Tukaj namrec ni vec komponent, ker gre za skalarni produkt. Tukaj se tudi skriva predpostavka da ostalih komponent sile ni (ker drugace bi avtomatsko imel \(F_{x1}ds_{x1}+F_{y1}ds_{y1}+\ldots\)). V tem primeru seveda dobis da se tudi po trku kroglici gibljeta v isti smeri in tako velja:
\(W_{kx}=W_k\), ker drugih komponent ni.

V splosnejsem primeru dobis (ravninski primer)
\(F_{x1}ds_{x1}+F_{y1}ds_{y1}=-F_{x2}ds_{x2}-F_{y2}ds_{y2}\)
kar ti pomesa komponente in iz tega ne sledi vec da je
\(ds_{x2}=ds_{x1}\).

Predpostavil si tudi da so med trkom sile konstantne.

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 8.2.2007 21:54

Zakaj pa \(ds_{x 2} \ne ds_{x 1}\)? Jaz bi si takole mislil:

Sila prvega na drugega in obratno sta nasprotno enaki, enaka je tudi razdalja na kateri delujeta

\(\vec F_1 = - \vec F_2\) \(/*d\vec s\)
\(F_{1 x}ds_x + F_{1 y}ds_y + F_{1 z}ds_z = -F_{2 x}ds_x - F_{2 y}ds_y - F_{2 z}ds_z\)

Sili sta po komponentah enaki, z ds pa tudi množiš obe strani, zato bi mogli biti posamezni členi z leve in desne enaki.


Pa še tole me zanima: ali je sploh prav, da sem rekel, da sta kroglici togi? Če bi bili togi, potem bi trk trajal le trenutek in to je spet nenavadno. Bom raje rekel, da je trk elastičen. =) A elastičnost in pa to, da sili nista konstantni igra kakšno vlogo v tem primeru?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 8.2.2007 22:20

Ja, celoten diferencial je se vedno enako dolg, s tem se strinjam. Le njegova komponenta je drugacna, ce trk ni kolinearen. V tem primeru imas pa tudi pri kineticni energiji vse komponente in dobis
\(\vec{F}d\vec{s}=dW_k\)
Kar velja splosno. Kaksen primer si ti mislil, da izpeljava ne bi veljala?

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 9.2.2007 10:53

Če je celoten diferencial, ki je vektor, enak za obe kroglici, potem so tudi posamezne komponente enake in potem tudi posamezni skalarni produkti. Takole:

\(d\vec s_1 = \vec s_2\)

\(d\vec s_1\) je vektor premika, ki ga prva kroglica opravi medtem ko nanjo z neko silo deluje druga kroglica. Za drugo kroglico sem označil analogno. Vektorja sta enaka, zato se ju na komponente razbije enako (komponente so enolično določene)

\(d\vec s_{1 x} + d\vec s_{1 y} + d\vec s_{1 z} = \vec s_{2 x} + \vec s_{2 y} + \vec s_{2 z}\)

\(d\vec s_{1 x} = \vec s_{2 x}\)
\(d\vec s_{1 y} = \vec s_{2 y}\)
\(d\vec s_{1 z} = \vec s_{2 z}\)

Podobno se napiše tudi za obe sili. Torej za silo na prvo kroglico (ki jo povzroča druga) in na drugo (ki jo povzroča prva).

\(\vec F_{1 x} = -\vec F_{2 x}\)
\(\vec F_{1 y} = -\vec F_{2 y}\)
\(\vec F_{1 z} = -\vec F_{2 z}\)

Potem pa izračunamo delo, ki ga prejme ena kroglica

\(A_1 = \vec F_1\vec s_1\)

Ko \(\vec F_1\) in \(\vec s_1\) zapišemo po komponentah in skalarno zmnožimo, dobimo za prvo kroglico

\(A_1 = F_{1 x}ds_{1 x} + F_{1 y}ds_{1 y} + F_{1 z}ds_{1 z}\)

in za drugo

\(A_2 = -F_{2 x}ds_{2 x} - F_{2 y}ds_{2 y} - F_{2 z}ds_{2 z}\)

To, da je \(A_1 = -A_2\) je vredu in velja splošno. Ampak veljajo pa tudi sledeče 3 enačbe vsaka zase, ne da bi predpostavil, da sta drugi dve 0 (no, dejansko posamezna velja le, ce sta drugi dve 0, ampak iz tega, kako sem prišel do njih, tega ne vidim)

\(F_{1 x}ds_{1 x} = -F_{2 x}ds_{2 x}\)
\(F_{1 y}ds_{1 y} = -F_{2 y}ds_{2 y}\)
\(F_{1 z}ds_{1 z} = -F_{2 z}ds_{2 z}\)

kar sledi iz tega, da sta sili po komponentah nasprotno enaki, premika sta enaka po komponentah in zato so tudi skalarni produkti enaki.

Zdaj pa tole vstavim v enačbo, ki sem jo izpeljal v prvem postu \(F_xds_x = dW_{k x}\) za prvo in za drugo kroglico

1. \(dW_{k x 1} = F_{1 x}ds_{1 x}\)
2. \(dW_{k x 2} = -F_{2 x}ds_{2 x}\)
\(dW_{k x 2} = -dW_{k x 1}\)

Vidi se, da za toliko kot se eni kroglici poveča \(W_{k x}\), za toliko se drugi pomanjša (kar pa ni prav). Če pa sešteješ zgornje enačbe (\(dW_{k x 2} = -dW_{k x 1}\)), pa zadeva velja

\(dW_{k x 2} + dW_{k y 2} + dW_{k z 2} = -dW_{k x 1} - dW_{k y 1} - dW_{k z 1}\)

Ampak jaz še vedno ne vem, zakaj ne veljajo sledeče

\(dW_{k x 2} = -dW_{k x 1}\)
\(dW_{k y 2} = -dW_{k y 1}\)
\(dW_{k z 2} = -dW_{k z 1}\)

ki sem jih zgoraj korak za korakom izpeljal.

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Re: Problem z izrekom o kinetični energiji

Post by drevo » 10.2.2007 17:11

Aniviller wrote: V splosnejsem primeru dobis (ravninski primer)
\(F_{x1}ds_{x1}+F_{y1}ds_{y1}=-F_{x2}ds_{x2}-F_{y2}ds_{y2}\)
kar ti pomesa komponente in iz tega ne sledi vec da je
\(ds_{x2}=ds_{x1}\).
Ja, celoten diferencial je se vedno enako dolg, s tem se strinjam. Le njegova komponenta je drugacna, ce trk ni kolinearen.
Tega ne razumem. Kako ti pomeša komponente in zakaj iz tega ne sledi več, da \(ds_{x2}=ds_{x1}\)? Kako komponenta ni več ista, če je pa cel diferencial isti? :(

mirko
Posts: 483
Joined: 1.9.2004 13:38

Post by mirko » 10.2.2007 23:43

Kakor jaz razumem vse skupaj - če med trkom v vsakem trenutku velja zakon akcije in reakcije in če sta kroglici togi, potem ni druge možnosti kot da se skupna kinetična energija ohranja (prožni trk).
Ta pogled se mi zdi zelo zanimiv. Torej - če se med trkom kinetična energija ne ohranja, kroglici nujno v času, ko se dotikata, ne opravita enake poti. To je mogoče samo, če imamo opravka z deformacijo, ki ni pri obeh kroglicah enaka.
Klasičen primer tega je naprimer izstreljeni naboj, ki se zarine v leseno klado na podlagi brez trenja (ali pa npr. prestreli klado).

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 11.2.2007 21:30

mirko: Skupna kinetična energija se ohranja med prožnim. S "komponentami" je problem. Bo pa zgleda res nekaj na tem, da ne opravljata enake poti (v določenih smereh). Naboj, ki se zarine v klado, je pa neprožen trk, kjer se mehanska energija itak ne ohranja :wink:


Mah.. če se že nikomur ne ljubi razlagati, ali bi lahko vsaj kdo potrdil ali pa zavrnil tole "rešitev" (ki jo je, če sm prav razumel, tudi Anviller napisu zgorej.. ampak vseeno bi rad slišal potrditev od tebe, Anviller, ker ne vem, če sm te prav razumel): kroglici med trkom ne opravita iste poti. \(d\vec s_1\) ni enak \(d\vec s_2\). Imata pa tedve poti enaki pravokotni projekciji na \(\vec F\). Ker sta vektorja poti različna, so njune projekcije na osi xyz različne in od tod moji problemi.

Prosm prosm.. :D

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 11.2.2007 22:08

Glej: deniva da trk traja cas dt. Cim imata delca razlicni hitrosti sta opravljeni poti drugacni. Res pa je da mi v celi zadevi nekaj cisto ne stima. Mogoce zato ker naj bi bile sile in smeri gibanja vseskozi enake...

drevo
Posts: 49
Joined: 5.1.2007 21:17

Post by drevo » 11.2.2007 22:34

Tudi jaz sem se, nekoliko pozno sicer, spomnil na to, da je dt enak za obe krogli, hitrosti imata pa različni in da sta zato poti različni. To je sicer edina logična razlaga, toda mehanizem trka (film v glavi, na katerem se odvija trk s pripadajočimi silami pa tem :) ) mi je ob tem dejstvu postal zelo nerazumljiv.

Najlepša ti hvala! :D

mirko
Posts: 483
Joined: 1.9.2004 13:38

Post by mirko » 11.2.2007 23:39

Pri opisu trka gre za prehodni pojav - opazujemo, na kakšen način se kroglicama spremeni hitrost od vrednosti pred trkom do vrednosti po trku.
Če rečeš, da se togi kroglici med trkom dotikata, to z drugimi besedami pomeni, da je v času trka razdalja med njunima težiščema ves čas enaka vsoti polmerov. Lahko da se spreminja medsebojna sila, recimo iz maksimuma v trenutku, ko se dotakneta, do nič v trenutku, ko gresta narazen, in glede na to tudi pospešek kroglic, vendar je v vsakem trenutku , v katerem se togi kroglici dotikata, njuna hitrost enaka. Tudi pri takem opisu pa velja, da je delo medsebojne sile (integral skalarnega produkta medsebojne sile in pomika od trenutka, ko sta se togi kroglici dotaknili, do trenutka, ko sta šli narazen), nasprotno enak.
Če kroglici nista povsem togi, pa v nekem trenutku gre lahko naprimer tudi za pomik ene kroglice na račun deformacije druge - s tem da ni nujno, da je ta deformacija trajna.

Post Reply