gibalna enačba => zakon o ohranitvi energije

[fogl]

Gledam tale odlomek iz članka o katerem smo debatirali tukaj, pa me nekaj zanima. Kako da je lahko iz gibalnih enačb za ta obroč (enačba 2 in enačba 4) tako lepo prišel do zakona o ohranitvi energije (enačba 5). Zakaj pa npr. iz gibalne enačbe nihala ali npr. iz gibalne enačbe prostega pada enega kamna ne morem prit tako enostavno do zakona o ohranitvi energije za nihalo/kamen d/dt(1/2mv²+mgh)=0, ali pač lahko, pa samo jaz ne vem kako?

[Aniviller]

Ohranitev energije in gibalna enacba sta ena in ista stvar, le v drugi obliki. Ponavadi je pot obratna: energijski zakon je osnova, gibalne enacbe so izpeljane za vsak primer posebej. V Lagrangeovem in Hamiltonovem formalizmu zapises energijo (ali njej podobno funkcijo) in z variacijskim principom dobis gibalne enacbe (par odvodov in si na koncu). Ta pristop je bistveno boljsi kot klasicno ''risanje sil'' ker v tem primeru
a) lahko delas v katerih koli koordinatah
b) ni nobene dileme da bi kaj izpustil ali narobe stel, kot se to dogaja pri uporabi 3. Newtonovega zakona

Obratna smer, ki jo omenjas ti, je manj ocitna le zato, ker moras enacbe zdruzevati nazaj (in izpostavljat odvode). V nobenem primeru pa s tem ne odkrijes nic novega.

\(m\frac{dv}{dt}=\frac{q\omega a^2}{2c}\frac{\partial B}{\partial z}\)
\(m\frac{d\omega}{dt}=-\frac{qv}{2c}\frac{\partial B}{\partial z}\)
Izrazis iz obeh \(\frac{q}{2c}\frac{\partial B}{\partial z}\) in izenacis
\(\frac{q}{2c}\frac{\partial B}{\partial z}=\frac{m}{\omega a^2}\frac{dv}{dt}=-\frac{m}{v}\frac{d\omega}{dt}\)
Zdaj samo mnozis z \(a^2 v\omega\) da se znebis ulomkov

\(mv\frac{dv}{dt}+m\omega a^2\frac{d\omega}{dt}=0\)

To je ze to, saj je \(\frac{1}{2}d(v^2)=vdv\).

[Aniviller]

Mogoce se izpeljava za kamen:
Zapises hamiltonovo funkcijo (energija, zapisana s koordinatami in ustreznimi momenti, kar je tukaj kar gibalna kolicina p).
\(H(z,p)=\frac{1}{2m}p^2+mgz\)
Iz Hamiltonovih enacb ze sledijo gibalne enacbe:
\(\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial z}=-mg\)
\(\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}\)
Hamiltonove enacbe vedno dajo sistem enacb prvega reda za koordinato in impulz (druga enacba ni nic drugega kot \(\dot{z}=v\)).

Po Lagrangeu pa zapises RAZLIKO med kineticno in potencialno energijo (tokrat vse izrazis s koordinatami)
\(L=\frac{m}{2}\dot{z}^2-mgz\)
Euler-Lagrangeova enacba:
\(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}-\frac{\partial L}{\partial z}=0\)
\(\frac{d}{dt}(m\dot{z})+mg=0\)
\(m\ddot{z}=-mg\)

Odvod po casu sem kot ponavadi pisal s piko.

Presenecen bos, cesa vsega ti se niso povedali...

[fogl]

No, sej do rezultata (enačba 5) sem znal prit Zdej znam tudi za kamen, če zapišem:
\(m\frac{dv}{dt}+mg=0\)
\(vm\frac{dv}{dt}+vmg=0\)
\(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2+mgz)=0\)
ampak zakaj pa ni v prvi enačbi namesto plusa minus, če je \(F=ma\)?

Zakaj pa Newton ni že sam zapisal zakona o ohranitvi energije (kolikor vem ga ni poznal?) za njegovo jabolko, ko je ugotovil, da je F=ma, saj je imel vse potrebno znanje (diferencialni račun je tako ali tako sam izumil)?

[Aniviller]

Pospesek je negativen, ker kamen pospesuje navzdol.

Glede Newtona pa ne poznam dobro, ne vem ce je poznal ohranitveni zakon (verjetno ga je). Moras pa predvideti, da je bil diferencialni racun takrat v povojih, vecina prijemov se ni bila poznana, in ljudje niso odvajali s tako lahkoto kot danes

[fogl]

Pospesek je negativen, ker kamen pospesuje navzdol.

Saj sila je tudi navzdol.

Zakaj pa je bil zakon o ohranitvi energije potem tako odkritje (če izvzamemo ta del povezan s toploto), če je to samo drugače zapisan drugi Newtonov zakon.

[Aniviller]

F=ma=-mg
ma+mg=0

prav?

[fogl]

Sila F=mg. Sila kaže v isto smer kot pospešek. F=mg=ma

[Aniviller]

ja, samo pospesek je -g, ne pa g. F ni absolutna vrednost sile ampak njena komponenta v z smeri. In ce kaze navzdol je seveda negativna.

[fogl]

Kaj pa če koordinatni sistem obrneš, potem je pa +g

[Aniviller]

To pa lahko ja (ceprav malo nestandardno). Moras pa potem tudi v energiji predznak popravt.
\(\frac{1}{2}v^2-mgz\)

[shrink]

Zakaj pa Newton ni že sam zapisal zakona o ohranitvi energije (kolikor vem ga ni poznal?) za njegovo jabolko, ko je ugotovil, da je F=ma, saj je imel vse potrebno znanje (diferencialni račun je tako ali tako sam izumil)?

Newton je svoj 2. zakon v svojih Principih formuliral na sledeč način:

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

oz.

2. zakon: Sprememba gibalne količine je sorazmerna z delujočo zunanjo silo in ima smer, v kateri ta sila učinkuje.

kar je v bistvu napačno, saj je sprememba gibalne količine v časovni enoti sorazmerna s silo in iz česar (ob konstantnosti mase) izhaja znana oblika \(F = ma\). Popolnoma pravilno obliko tega zakona (tudi v matematični obliki) je zapisal šele Euler, zato lahko tudi sklepaš, da Newton iz svoje oblike zakona nikakor ne bi mogel priti do ohranitve energije (niti z uporabo infinitezimalnega računa). Sicer pa je Newton v svojih Principih višje matematike uporabil le za vzorec; večinoma se je posluževal geometrije.

Zakaj pa je bil zakon o ohranitvi energije potem tako odkritje (če izvzamemo ta del povezan s toploto), če je to samo drugače zapisan drugi Newtonov zakon.

Kot že rečeno, je bil Newtonova formulacija netočna, pa tudi je imel že na razpolago ohranitveni zakon: ohranjanje gibalne količine. Prvi, ki je omenjal količino, ki je imela dimenzijo današnje energije in iz katere izhaja kasnejši koncept energije (in njenega ohranjanja), je bil Leibniz, ki je definiral "vis viva" kot produkt mase in kvadrata hitrosti določenega objekta in za katerega je verjel, da se ohranja. Leibnizova naziranja (ohranitev "vis viva") so se takrat zdela v nasprotju z Newtonovimi (ohranitvijo gibalne količine), zato so jih zavračali. Šele mnogo kasneje so spoznali, da sta koncepta v bistvu dve plati iste kolajne.

Poglavitni razlog, zakaj teh konceptov takrat med sabo niso uspeli povezati, je v tem, da je šlo za nove in še ne povsem razvite teorije, ki tudi niso bile ustrezno matematično formulirane (raba infinitezimalnega računa je bila še zelo omejena), da bi dajale širši vpogled.