definicija temperture

[fogl]

Na wiki berem o entropiji, kjer med drugim piše "Entropy is one of the factors that determines the free energy of the system. This thermodynamic definition of entropy is only valid for a system in equilibrium (because temperature is defined only for a system in equilibrium), while the statistical definition of entropy (see below) applies to any system. Thus the statistical definition is usually considered the fundamental definition of entropy.".

Zakaj tukaj piše, da je temperatura definirana samo za sistem v ravnovesju? Kaj je mislil s tem, da termodinamika obravnava samo kvazistacionarne procese? Temperatura je najbrž definirana tudi za nestacionarne procese?

[Aniviller]

Ne, ni. Porazdelitev po energijah mora biti eksponentna. Temperatura je namrec inverz faktorja v eksponentu:
\(\rho(E)\propto e^{-\beta E}\)
\(\beta=\frac{1}{kT}\)
Vzemi v roke knjigo Kuscer,Zumer: Toplota.

Definicijo entropije lahko razsiris, ker ni odvisna od oblike verjetnostne porazdelitve. Temperatura je pa parameter te porazdelitve. Ce sistem ni v ravnovesju, potrebujes za opis porazdelitve veliko vec parametrov (to je ravno vzrok, da je entropija takega stanja vecja). Primer je npr. plin v tako ozki rezi med ploscama razlicne temperature, da je povprecna prosta pot molekul daljsa od sirine. V tem primeru je vse skupaj bolj podobno biljardu, kot pa plinu.

[fogl]

Sem si sposodil tole knjigo, pa mi ni najbolj jasna. Kaj je sploh ta \(\rho\), tam piše o neki gostoti točk, kašna gostota točk?

Ce sistem ni v ravnovesju, potrebujes za opis porazdelitve veliko vec parametrov (to je ravno vzrok, da je entropija takega stanja vecja).

Zakaj je to vzrok...a to pomeni, da če potrebuješ več parametrov za popis, je sistem bolj neurejen, če pa je sistem bolj neurejen, je pa entropija večja?

Primer je npr. plin v tako ozki rezi med ploscama razlicne temperature, da je povprecna prosta pot molekul daljsa od sirine. V tem primeru je vse skupaj bolj podobno biljardu, kot pa plinu.

Širine česa? Saj je biljard tudi v velikem prostoru (kot je tukaj na sliki desno zgoraj)

A potem vroča kava s skodelici nima temperature, če se hladi, potem ni v ravnotežju? Kakšno ravnotežje je mišljeno v tej trditvi, da je temperatura definirana samo v ravnotežju.

[Aniviller]

\(\rho\) je verjetnost, da se sistem znajde v stanju s tako energijo. Stanja se ponavadi predstavlja kot tocke v faznem prostoru, ki ima eno dimenzijo za vsako prostostno stopnjo sistema (6N za N togih delcev). Stanj je seveda ogromno, zato se te stvari obravnava statisticno, o cemer govori druga polovica danega ucbenika. Ne se pa sekirat ce ne razumes vsega, se posebej ce si samo preletel - predlagam pa da si podrobno preberes dele, ki govorijo o entropiji (v obeh polovicah ucbenika).

Ce sistem ni v ravnovesju, potrebujes za opis porazdelitve veliko vec parametrov (to je ravno vzrok, da je entropija takega stanja vecja).

Zakaj je to vzrok...a to pomeni, da če potrebuješ več parametrov za popis, je sistem bolj neurejen, če pa je sistem bolj neurejen, je pa entropija večja?

V principu ja (ta opis je dovolj dober za poljudni opis). Eksponentno funkcijo enolicno popises z temperaturo. Neko nakljucno spreminjanje in vijuganje moras pa popisati po tockah, kateri podatek je zdaj temperatura?


Ce je reza preozka, vmes ni zadostnega stevila trkov, da bi si pocasne in hitre molekule izmenjale energijo. Ce je prostor velik, pa "biljardne" krogle trkajo med seboj. Prispodobe

A potem vroča kava s skodelici nima temperature, če se hladi, potem ni v ravnotežju? Kakšno ravnotežje je mišljeno v tej trditvi, da je temperatura definirana samo v ravnotežju.

V principu je termodinamsko ravnovesno stanje dosezeno sele po neskoncnem casu, v neskoncnem volumnu itd., je pa to le matematicna formalnost. V praksi zato govoris o kvazistacionarnih procesih, kjer zahtevas le lokalno ravnovesje (temperatura se lahko razlikuje v razlicnih delih posode, vkolikor je vsaj na sirini nekaj mikrometrov stvar v ravnovesju), in dovolj pocasno spreminjanje, da lahko casovni vpliv zanemaris. Normalni makroskopski sistemi relaksirajo v lokalno ravnovesje v tako kratkem casu (stevilk ne vem, ampak velikostni red je pod mikrosekundo), da spreminjanje temperature zaradi ohlajanja nima nobenega pomena. V okviru statisticne fizike lahko izracunas tudi netocnosti termodinamskih kolicin zaradi neneskoncnega stevila delcev. Relativna napaka je kot vedno sorazmerna z \(\sqrt{N}\) - za par delcev je zato popoln nesmisel govoriti o temperaturi, povprecni notranji energiji,... Te kolicine so smiselne sele na mikroskopskem nivoju, pa se tam vidis npr. Brownovo gibanje, ki je povecana verzija tega, kar dozivljajo molekule - tudi za take imajo fizikalne kolicine smisel sele, ko jih povprecis po dolgem casu.

[fogl]

Porazdelitev po energijah mora biti eksponentna. Temperatura je namrec inverz faktorja v eksponentu:
\(\rho(E)\propto e^{-\beta E}\)
\(\beta=\frac{1}{kT}\)

Tole mi ni povsem jasno, če prav razumem je E v izrazu \(\rho(E)\) trenutna energija tega podsistema (ki se spreminja - energija mislim)...se prvi verjetnost da se podsistem nahaja v nekem stanju je manjša, če ima podsistem večjo energijo. Ampak kaj nam to pomaga, če ne vemo kakšna je verjetnost, da ima sistem neko energijo E?

Od kje pa so sploh dobili to sorazmernost?

Še vedno pa ne razumem zakaj temperatura za nestacionaren primer ne bi bila definirana. Če je temperatura sorazmerna s povprečno kinetično energijo molekul, in če imaš znane vse hitrosti molekul plina v vsakem trenutku (res da v realnosti to ni možno), potem poznaš temperaturo v vsakem trenutku, tudi če se povprečna kinetična energija molekul spreminja.

[Aniviller]

Enacenje povprecne kineticne energije s temperaturo je kvecjemu posledica osnovne definicije (in velja samo za klasicne sisteme). Temperatura je namrec definirana tudi za sisteme, kjer se formalno nic ne giblje, ali se le vrti, ali pa sploh ne gre za delce ampak le ureditvene vzorce: temperatura spinskih sistemov, temperatura oscilacij v kristalu (mimogrede, ta daje bistveni prispevek k specificni toploti trdnih snovi), temperatura dipolov v elektricnem polju, temperatura feromagnetov, temperatura zelo gostih plinov, temperatura elektronov v kovini,... Vsem ravnovesnim sistemom lahko pripises temperaturo. Sele v klasicni limiti lahko napoves, da ima vsak kvadratni clen v energiji povprecje \(\frac{kT}{2}\). Temu pravijo tudi ekviparticijski izrek. Za kineticno energijo (trije kvadratni cleni: vse tri hitrosti, krat stevilo delcev) potem pride \(W_k=\frac{3}{2}NkT\) kar ucijo ze v osnovni soli (mogoce zapisano na kilogram, se pravi s plinsko konstanto in molsko maso). Za sisteme, kjer glavne termicne lastnosti niso kineticne narave si s tako definicijo nimas kaj pomagat.
Pa tudi ce bi za neravnovesni idealni plin poskusal to narest, vstavljanje te temperature v termodinamske zveze in izpeljane zakone ne bi dalo pravilnega rezultata. Ena izmed definicij temperature je namrec ravno dejstvo, da imajo vsi povezani sistemi v ravnovesju enako. To tudi implicira, da je temperatura samo ena.

Glede porazdelitve pa: grobo izpeljavo najdes v Zumru, v poglavju "kanonicna porazdelitev" v drugi polovici. Ko sistem doseze ravnovesje je vedno porazdelitev eksponentna. Samo razumevanje porazdelitve je pa tako: sistem je lahko v celem kupu stanj, vsako stanje ima razlicno energijo. Boljsi zapis bi bil
\(\rho(x)=e^{-\beta E(x)}\)
ce je x neko stanje sistema (x mora vsebovat vse polozaje, hitrosti, spine,...). Se pravi - gre za verjetnost, da se sistem v nekem trenutku znajde v stanju x. Vecjo energijo ima to stanje, manjsa verjetnost je, da pride do tega stanja (to je nekako logicno). Energija sistema je pa povprecna energija po vseh moznih stanjih in je cisto nekaj drugega. Ce te res zanima in ti ni skoda casa, potem preberi celo knjigo

[fogl]

Enacenje povprecne kineticne energije s temperaturo je kvecjemu posledica osnovne definicije (in velja samo za klasicne sisteme). Temperatura je namrec definirana tudi za sisteme, kjer se formalno nic ne giblje, ali se le vrti, ali pa sploh ne gre za delce ampak le ureditvene vzorce: temperatura spinskih sistemov, temperatura oscilacij v kristalu (mimogrede, ta daje bistveni prispevek k specificni toploti trdnih snovi), temperatura dipolov v elektricnem polju, temperatura feromagnetov, temperatura zelo gostih plinov, temperatura elektronov v kovini,...

In kakšna je potem ta osnovna definicija, jaz je v tej knjigi nisem našel, pa tudi kje drugje ne?

Ce te res zanima in ti ni skoda casa, potem preberi celo knjigo

Že berem, a tebi pa ni bilo škoda časa

[Aniviller]

Ta knjiga je glavno gradivo za predmeta Termodinamika in Statisticna fizika na faksu (in edina v nasem jeziku) - predava Zumer Tako da ni izbire

Osnovna definicija temperature je eksponent v kanonicni porazdelitvi (ce izhajas iz statisticne fizike). Stara eksperimentalna definicija je pa: temperaturo T ima sistem, ki je v ravnovesju s plinskim termometrom s to isto temperaturo. Za plinski termometer pa poznas plinsko enacbo - meris lahko npr. tlak. Problem pri neravnovesnih sistemih je ravno ta, da ne mores imet sistema v ravnovesju z neravnovesnim sistemom. S tem pa ze izgubis enolicnost definicije in gre vse k vragu.

[fogl]

Glede porazdelitve pa: grobo izpeljavo najdes v Zumru, v poglavju "kanonicna porazdelitev" v drugi polovici. Ko sistem doseze ravnovesje je vedno porazdelitev eksponentna. Samo razumevanje porazdelitve je pa tako: sistem je lahko v celem kupu stanj, vsako stanje ima razlicno energijo. Boljsi zapis bi bil
\(\rho(x)=e^{-\beta E(x)}\)
ce je x neko stanje sistema (x mora vsebovat vse polozaje, hitrosti, spine,...). Se pravi - gre za verjetnost, da se sistem v nekem trenutku znajde v stanju x. Vecjo energijo ima to stanje, manjsa verjetnost je, da pride do tega stanja (to je nekako logicno). Energija sistema je pa povprecna energija po vseh moznih stanjih in je cisto nekaj drugega.

Ampak tole mi še vedno ni jasno:

...sistem je lahko v celem kupu stanj, vsako stanje ima razlicno energijo.

Zakaj bi imel sistem v vsakem stanju različno energijo? V mikrokanonični porazdelitvi piše, da ima sistem lahko pri konstantni energiji veliko stanj, ki so vsa enako verjetna. A ni tukaj ravno tako?

gre za verjetnost, da se sistem v nekem trenutku znajde v stanju x. Vecjo energijo ima to stanje, manjsa verjetnost je, da pride do tega stanja (to je nekako logicno).

Če je verjetnost da pride sistem v neko stanje pri neki energiji enaka za vsa stanja, potem je ta porazdelitev \(\rho(x)=e^{-\beta E(x)}\) v bistvu verjetnost, da ima sistem tako energijo? Zakaj je to logično?

Energija sistema je pa povprecna energija po vseh moznih stanjih in je cisto nekaj drugega.

Kaj pa verjetnost da se neko stanje zgodi, saj je ta tudi pomembna pri povprečni energiji?

[Aniviller]

Mikrokanonicna porezdelitev ni enako kot kanonicna. Mikrokanonicna je pomagalo, s katerim izpeljemo kanonicno porazdelitev - v bistvu namesto eksponentne porazdelitve uporabis porazdelitev, ki ima povsod verjetnost 0, razen pri dani energiji. Parameter te porazdelitve ni \(\beta\) temvec energija, ki je tukaj natancno dolocena. Fizikalno smiselna je sele kanonicna porazdelitev, ker podsistemi med seboj vedno interagirajo in dosezejo ravnovesno stanje, katere porazdelitev je kanonicna.

Sploh pa to ni tako tezko verjeti: upostevati moras popolnoma vsa stanja, skozi katere gre lahko sistem, jasno da bodo imela zelo raznolike energije.

[fogl]

Sploh pa to ni tako tezko verjeti: upostevati moras popolnoma vsa stanja, skozi katere gre lahko sistem, jasno da bodo imela zelo raznolike energije.

Ja, ampak nekatera pa tudi enake, mar ne?

[Aniviller]

So ja. Vsaka energija ima celo ''plast'' v faznem prostoru. Saj to nic ne spremeni - ta stanja so pac enako verjetna. Saj to je ravno vzrok, da je energija zelo ostro dolocena, ceprav je porazdelitev eksponentna (zelo neostra). Stanj z visjimi energijami je namrec neprimerljivo vec kot stanj z nizkimi. Zato kljub veliki verjetnosti nizke energije ne prinesejo veliko k povprecju, ker jih je malo.

To ti pokaze tudi razmislek: fazni prostor ima 6N dimenzij. Porazdelitev po energiji ima eno dimenzijo (energijo). Se pravi bo vsaka energija imela cel (6N-1) dimenzionalni prostor stanj. Lahko si poskusas predstavljati takole: naj bo fazni prostor 3D. Energija naj bo konstantna na koncentricnih sferah. Cele krogelne lupine imajo zato enako energijo in s tem enako verjetnost, so pa te lupine vecje pri vecjih energijah in zato k povprecju prispevajo vec. Seveda prej ko slej vseeno prevlada eksponentni clen, tako da ekstremno visokih energij vseeno ne srecas prav pogosto.

[Aniviller]

Kaj pa verjetnost da se neko stanje zgodi, saj je ta tudi pomembna pri povprečni energiji?

No seveda je povezano. Ampak znacaj spremenljivke je cisto drug. Energija enega stanja je izracunana mikroskopsko (kineticne energije delcev), povprecna energija je pa tista, ki nastopa v makroskopskih - termodinamskih formulah.
Bom se to napisal. Racunanje povprecij poteka tako kot vedno: integral po celem faznem prostoru (vsa stanja), zraven pa vtaknes funkcijo, ki jo povprecis. Vse skupaj moras normirat.
\(\langle E\rangle=\frac{\int E(x)e^{-\beta E(x)}dx}{\int e^{-\beta E(x)}dx}\)
x tukaj ni stevilka ampak opis celega stanja, integral je pa vecdimenzionalen. Ce imas stanja diskretna, integral zamenjas z vsoto. Izracunan imenovalec se lahko zapise tudi kot \(e^{-\beta F}\) kjer je F prosta energija.

[fogl]

Ne, ni. Porazdelitev po energijah mora biti eksponentna. Temperatura je namrec inverz faktorja v eksponentu:
\(\rho(E)\propto e^{-\beta E}\)
\(\beta=\frac{1}{kT}\)

A potem tudi temperatura plina v izolirani posodi ni definirana, ker imajo vsa stanja enako energijo? Potem pa ko hočeš to temperaturo (ki ni definirana ) izmerit, in vstaviš v posodo termometer, pa se vzpostavi eksponentna porazdelitev zaradi interakcije molekul s termometrom, in dobimo temperaturo?

[Aniviller]

Ni tako hudo. Pri popolni izolaciji je to sicer res (mikrokanonicna za cel sistem!). Cim vzames nek podsistem, ta interagira z drugimi pod sistemi in zanj velja kanonicna porazdelitev (ce smo natancni v bistvu celo velekanonicna, ker izmenjuje delce z okolico). Na mezoskopskih sistemih, kjer je temperatura ravno se smiselno definirana, ni tezav z definicijo. Za sistem lahko npr. stejes vse razen robne plasti molekul ob steni posode. Notranjost bo kanonicna, rob je pa itak pretanek, da bi imel dobro definirano temperaturo.

Pri termodinamskih kolicinah je vedno dilema o smiselnosti definicij, ker so kolicine tocno dolocene sele v termodinamski limiti (velikost sistema proti neskoncnosti). Definicij zato ne smes jemati dobesedno (slisi se slab izgovor, ampak pri statistiki je pac tako).