Kako z neko snovjo najbolj segrejemo drugo snov in do katere temperature. Npr. kako z 1 kg vode pri 40°C najbolje segrejemo 1 kg vode pri 20°C. Tako, da del tople vode v pretočimo v balon (brez mase) in ga namočimo v hladno vodo, tako da se temperaturi izenačita. Potem tako nadaljujemo dokler ne porabimo vse tople vode. Maksimalno temperaturo bi dobili če bi uporabili diferencialno majhne balončke vode. Kako bi potem določil to temperaturo?
Neka vmesna temperatura bi bila \(T_n^{'} =\frac{m_1c_1 T_{n-1}^{'}+dm_2c_2T_2}{m_1c_1+dm_2c_2}\). Kako bi potem izračunal končno temperaturo. Se da to nekako integrirat (jaz ne znam), ali je to možno izvesti samo numerično? Če zadevo izračunam numerično, za 10.000 diferencialnih balončkov dobim končno temperaturo 32,64°C.
kako z neko snovjo najbolj segreti drugo snov
Re: kako z neko snovjo najbolj segreti drugo snov
To je podoben problem kot to, da segrejes kozarec tople vode na 70 stopinj in sproti pijes in dodajas hladno vodo pri 0 stopinjah, koliko vode spijes preden postane prevec mrzla (npr 20 stopinj). Tudi tukaj je resitev diferencialno dodajanje vode. Podobno je tudi vprasanje, kdaj dodati smetano v kavo, da bo najhitreje hladna.
Samo pravilno moras prerazporedit diferenciale.
Naj bosta kapaciteti enaki, da ne bo prevec pisanja, pa za temperaturo rezervoarja bom dal indeks R
\(T_n=\frac{T_{n-1} M+T_Rdm}{M+dm}=\frac{T_{n-1}}{1+dm/M}+T_R\frac{dm}{M}\)
V drugem ulomku lahko izpustis diferencial v imenovalcu, ker bi z razvojem prispeval le clen kvadraticnega reda (ker je eden ze v stevcu). Drugace je s prvim clenom, kjer moras razvit po Taylorju (obicajni razvoj binoma).
\(T_n=T_{n-1}-T_{n-1}\frac{dm}{M}+T_R\frac{dm}{M}\)
\(dT=T_n-T_{n-1}=(T_R-T)\frac{dm}{M}\)
\(\int_{T_0}^{T'}\frac{dT}{T_R-T}=\frac{m}{M}\)
\(\ln\frac{T'-T_R}{T_0-T_R}=-\frac{m}{M}\)
\(\displaystyle T'=T_R-(T_R-T_0)e^{-m/M}\)
Pri isti temperaturni razliki, vec mase ima drugi rezervoar, blizje je koncna temperatura \(T_R\).
Za tvoj primer je
\(T'=40^\circ C-e^{-1}20^\circ C=32.6424^\circ C\)
Za simulacijo bi lahko vzel tudi precej manj balonckov, pa bi bilo vseeno pravilno
Diferenciale moras vedno spravit v stevec, ne glede na to kje so in zavreci kvadraticne ali visje clene. Ce si prav delal morajo imeti na koncu vsi cleni enako diferencialno stopnjo. Ta proces je tocen, ker so diferenciali neskoncno majhni.
p.s. Tale naloga da precej kontraintuitiven rezultat, normalno bi clovek sklepal, da je najbolje ce vrzes vso vodo naenkrat noter, in da nasprotno krsi kaksen zakon. Finta je v tem, da je po tem procesu nekaj vode iz rezervoarja bolj mrzle kot bi bila ce bi takoj vrgli noter Ocena profita: popolna izmenjava toplote ima le namesto eksponentne funkcije \(\frac{1}{1+\frac{m}{M}}\), ki je do prvega clena enaka eksponentni - razlika se pa zelo pozna za velike m.
Samo pravilno moras prerazporedit diferenciale.
Naj bosta kapaciteti enaki, da ne bo prevec pisanja, pa za temperaturo rezervoarja bom dal indeks R
\(T_n=\frac{T_{n-1} M+T_Rdm}{M+dm}=\frac{T_{n-1}}{1+dm/M}+T_R\frac{dm}{M}\)
V drugem ulomku lahko izpustis diferencial v imenovalcu, ker bi z razvojem prispeval le clen kvadraticnega reda (ker je eden ze v stevcu). Drugace je s prvim clenom, kjer moras razvit po Taylorju (obicajni razvoj binoma).
\(T_n=T_{n-1}-T_{n-1}\frac{dm}{M}+T_R\frac{dm}{M}\)
\(dT=T_n-T_{n-1}=(T_R-T)\frac{dm}{M}\)
\(\int_{T_0}^{T'}\frac{dT}{T_R-T}=\frac{m}{M}\)
\(\ln\frac{T'-T_R}{T_0-T_R}=-\frac{m}{M}\)
\(\displaystyle T'=T_R-(T_R-T_0)e^{-m/M}\)
Pri isti temperaturni razliki, vec mase ima drugi rezervoar, blizje je koncna temperatura \(T_R\).
Za tvoj primer je
\(T'=40^\circ C-e^{-1}20^\circ C=32.6424^\circ C\)
Za simulacijo bi lahko vzel tudi precej manj balonckov, pa bi bilo vseeno pravilno
Diferenciale moras vedno spravit v stevec, ne glede na to kje so in zavreci kvadraticne ali visje clene. Ce si prav delal morajo imeti na koncu vsi cleni enako diferencialno stopnjo. Ta proces je tocen, ker so diferenciali neskoncno majhni.
p.s. Tale naloga da precej kontraintuitiven rezultat, normalno bi clovek sklepal, da je najbolje ce vrzes vso vodo naenkrat noter, in da nasprotno krsi kaksen zakon. Finta je v tem, da je po tem procesu nekaj vode iz rezervoarja bolj mrzle kot bi bila ce bi takoj vrgli noter
Ocena profita: popolna izmenjava toplote ima le namesto eksponentne funkcije \(\frac{1}{1+\frac{m}{M}}\), ki je do prvega clena enaka eksponentni - razlika se pa zelo pozna za velike m.Re: kako z neko snovjo najbolj segreti drugo snov
Slo bi tudi z limito: ce je m/M=x, ob izmenjavi spremenis temperaturno razliko za faktor
\(\frac{1}{1+x}\)
Ce z n-krat manjso maso ponovis proces n-krat:
\((1+x/n)^{-n}\)
limita:
\(\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac x n)^{-n}=e^{-x}\)
\(\frac{1}{1+x}\)
Ce z n-krat manjso maso ponovis proces n-krat:
\((1+x/n)^{-n}\)
limita:
\(\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac x n)^{-n}=e^{-x}\)