Biot-Savartov zakon

[fogl]

Nekaj me zanima v zvezi z Biot-Savartovim zakonom. Po tej enačbi je B na nekem mestu (pri nekih tokovih v okolici) odvisen samo od permeabilnosti na tem mestu. Torej če bi primerjali B na razdalji npr. 10 cm od neizoliranega vodnika in B na isti razdalji od vodnika, pri čemer pa je v drugem primeru izolacija okoli vodnika debela 20 cm in je na mestu kjer merimo B majhna luknjica (mehurček) v izolaciji, bi v obeh primerih dobili enako. Je to res?

[Aniviller]

Bolj je to ocitno ce gledas kar Maxwellovo enacbo (brez premikalnih tokov):
\(\oint H dl=I\)
Torej, integral po zanki, ki objema tok, je enak toku. S tako zanko se tako izognes izolaciji (ce npr. integriras po krozni zanki okrog tvoje zice). Permeabilnost na mestu samem pa pride tukaj noter preko \(B=\mu\mu_0 H\).

[fogl]

Če uporabiš Maxvellovo enačbo iz nje pomoje ne moreš še nič sklepat, ker pravi samo da je \(\oint H dl=I\), to pa še ne pomeni da je \(H dl=konst\), iz česar bi potem lahko sklepal na B.

[ZdravaPamet]

Uf, tole pa ni tako enostavno vprašanje. Moram reči, da sem moral temeljito razmisliti glede same splošnosti tega zakona.
Biot-Savartov zakon, kakršen je napisan na oni strani, drži v poljubnem enotnem sredstvu, res je, v konceptu statičnega magnetnega polja. V resnici v primeru statičnega magnetnega polja v snovi venomer velja
\($\nabla\times \vec{H} = \vec{j}$\)
\($\nabla\cdot\vec{B}=0$\),
kjer je \(\vec{j}\) le "pravi" tok (tisti, ki ne vsebuje "vezanega" - vezani tok je enak rotoju magnetizacije \(\vec{M}\)). In seveda še definicija
\($\vec{B}=\mu_0(\vec{M}+\vec{H})$\).

Rešitev za \(\vec{H}\) je Biot-Savartova:
\($\vec{H}\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}d^3 \vec{r'}$\)
In če se sredstvo linearno odziva na zunanje magnetno polje (M linearno odvisen od H), velja \(\vec{B}=\mu\mu_0 \vec{H}\), torej
\($\vec{B}\left(\vec{r}\right)=\frac{\mu\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}d^3 \vec{r'}$\)
AMPAK! To velja zgolj za magnetno (približno = snovno) homogen prostor! Ti pa v prostor vnašaš dve snovi: zrak in izolacijo.
Primeren način reševanja bi bil morda lahko ta, ki ga predlaga Aniviller, tj. skozi integral H po zaključeni poti, če bi bil zračni mehurček ena sama točka (morda celo množica v prostoru z volumnom 0). Sicer pa je potrebno rešiti izvorne enačbe (Maxwellove oziroma Poissonovo za vektorski potencial A) ob primernih pogojih za polje na meji med zrakom in izolacijo. Ampak to reševanje daleč presega srednjo šolo.

Opomba: izolacija vodonikov ima navadno permeabilnost 1. Zgornje razmišljanje je sicer splošno, zato si lahko misliš namesto plastike železo.

[Aniviller]

Za uporabo Maxwellove enacbe sem si zamislil tale poskus: imas neko zico s tokom in integriras po neki zanki. Ta integral mora biti enak toku skozi zanko. Zdaj pri ISTI zanki vstavis feroelektrik nekam znotraj zanke. Ker je vsota tokov se vedno enaka, bo integral po zanki enak. Ce ima postavitev cilindricno simetrijo in integriras po krozni zanki okrog zice, potem ti to kar pove, da je H neodvisen od tega kaj je notri. Ce simetrije nimamo, potem feroelektrik lahko tudi popaci obliko polja. Se vedno pa velja, da zunaj feroelektrika (ali cesarkoli s permeabilnostjo razlicno od 1) ni zaradi tega nic vec polja kot sicer, cetudi je malo drugace razporejeno. To ti pove Maxwellova enacba za ohranitev cirkulacije.

[ZdravaPamet]

Sicer se strinjam s tabo, ampak foqljev problem nima polarne simetrije, zato ni mogoče "na dušek" reči, da ima polje kakršnokoli simetrijo znotraj ali zunaj izolacije. Če tiste luknjice v izolaciji ne bi bilo, potem seveda ni težav z direktno uporabo Maxwellove enačbe.