Re: energija polja
Objavljeno: 11.9.2012 9:15
Delitev kolicin na skalarje, vektorje, tenzorje,... je narejena glede na transformacijske lastnosti. Hkrati seveda to pomeni, da je tip in kolicina fizikalne informacije v tej kolicini razlicna.
Skalar: ob rotacijah koordinatnega sistema se skalar ne spremeni (temperatura in tlak ostaneta enaka ce obrnes glavo). Skalarna kolicina ima eno komponento.
Vektor: vektor se obraca, ko obracas koordinatni sistem (ce se postavis na glavo, gre predmet, ki je sel prej v tvojo desno, zdaj v tvojo levo). Ima smer in velikost. Ima toliko komponent, kolikor je dimenzija prostora (lahko ga pises kot spisek vrednosti, vendar mora bit jasno, da zapis velja le za izbran koordinatni sistem). Ni pa vsak nabor stevil vektor - vazno je, kako se transformira. Recimo hitrost (vx,vy,vz) je vektor, kolicina (vx^2,vy^2,vz^2) pa ni vektor, ker se napacno obnasa pri rotacijah.
Tenzor (tenzor 2. reda): tenzor popisuje razlicne "velikosti" v razlicnih smereh. Matematicno ga lahko zapises kot matriko (vendar ni vsaka matrika tenzor - samo tista, ki popisuje fizikalno kolicino, ki se pravilno obnasa pod transformacijami). Tenzorji so vecinoma simetricni - matriko lahko diagonaliziras, s cimer ugotovis, da ima tenzor pravokotne lastne osi in velikost v vsaki izmed teh smeri. Rotacija koordinatnega sistema ustreza rotaciji tega lastnega sistema glavnih osi. Tipicni tenzorji: vztrajnostni moment (ce telo ni zelo simetricno, je vztrajnostni moment odvisen od izbrane osi), dielektricnost, elektricna in toplotna prevodnost (recimo za anizotropne snovi kot je les, prevajanje v smeri letnic ni enako kot pravokotno na letnice), tlak (v plinih in tekocinah tlak lahko smatramo za skalar, ker je v vseh smereh enak in je torej tenzor kar skalar*identicna matrika, v trdni snovi pa je lahko notranja napetost porazdeljena neenakomerno po smereh v prostoru). Iz lastnosti matrik lahko vidis, da tenzor lahko opisuje zvezo med vektorjema v razlicnih smereh. Recimo anizotropen dielektricen tenzor pomeni, da je odziv polarizacije snovi (D) v drugi smeri kot zunanje polje (E). Pri prevajanju toplote to pomeni, da smer temperaturnega gradienta pozene toplotni tok v precni smeri. In pri vztrajnostnem momentu to pomeni, da vrtilna kolicina ne kaze v smeri osi (razen ce je os v smeri lastne osi), zaradi cesar os cuti navor.
Tenzorske kolicine se zreducirajo na skalarno obnasanje, ce so izotropne, saj je v tem primeru tenzor kar skalar krat identicna matrika, ta pa se pri rotacijah koordinatnega sistema seveda ne spremeni. Identiteta je pac identiteta, ce z njo pomnozis vektor, ga pusti pri miru v vsakem koordinatnem sistemu.
Ravno pri elektricnem in magnetnem polju iz transformacijskih lastnosti ugotovis, da nista prava vektorja. v 3D je vse v redu, ko pa gres v 4D, med transformacijami koordinatnega sistema niso samo rotacije ampak tudi Lorentzovi potiski (sprememba hitrosti koordinatnega sistema). Tam ugotovis, da namesto, da bi se komponenta E-ja transformirale kot nekaj, kar je del 4-vektorja, se elektricno in magnetno polje mesata. Nista torej samostojna vektorja ampak sta del nekega tenzorja - tenzorja elektromagnetnega polja.
Zgoraj sem govoril v elektromagnetnem polju v 4 dimenzijah. 3D tenzor elektromagnetne NAPETOSTI (in to ni misljena elektricna napetost ampak napetost v smislu tlaka), na katerega si naletel v Rudijevi skripti, je nekaj drugega - tukaj ne gres v relativnost ampak le zapises informacijo o elektromagnetnem polju na nekoliko drugacen nacin - v podobni obliki kot bi pisali napetost v tekocini ali trdni snovi. Z njim opisujes prenos gibalne kolicine, ki jo nosi elektromagnetno polje (iz polja smo torej izluscili kolicino, ki nam daje neko specificno informacijo). Ta tenzor ima posplositev v stiri dimenzije, kjer ugotovis, da je le "prostorski del" tenzorja (3x3 blok v 4x4 matriki), pri transformacijah pa se mesa z energijsko gostoto EM polja in gostoto gibalne kolicine polja, ki sta v preostalih komponentah tenzorja. Ta tenzor je tisti, ki nastopa kot izvor gravitacije oz. ukrivljenosti prostora v Einsteinovih enacbah polja. Ker je tenzorske narave, je tudi deformacija prostora bolj komplicirana kot zgolj skrcenje ali raztezanje. V splosnem imas vse: razlicne popacitve razdalj v razlicnih smereh, popacenje kotov med smermi,... Zato so kljub preprostemu zapisu te enacbe zelo zoprne za resevanje (poleg tega imas se problem s tem, da ce enacba opisuje ravno ukrivljenost koordinatnega sistema, naletis na problem v kaksnih koordinatah sploh zapisat celo rec).
Vpeljava tenzorja v snovi je problematicna, ker hocemo stlacit odziv snovi v kolicino, ki opisuje polje. Snov tudi sama nosi gibalno kolicino in energijo, kar privede do netocnosti v ohranitvenih zakonih. To je seveda za pricakovat, saj smo nekaj povprecili in vpeljali priblizke. Fizikalno je vse v najlepsem redu, le vpeljava D-ja in B-ja se odmakne od fundamentalnih zakonov narave in opise neko prakticno uporabno kolicino, ki pa skrije velik del dogajanja. To je problem, ki si ga prebral v Rudijevi skripti.
Skalar: ob rotacijah koordinatnega sistema se skalar ne spremeni (temperatura in tlak ostaneta enaka ce obrnes glavo). Skalarna kolicina ima eno komponento.
Vektor: vektor se obraca, ko obracas koordinatni sistem (ce se postavis na glavo, gre predmet, ki je sel prej v tvojo desno, zdaj v tvojo levo). Ima smer in velikost. Ima toliko komponent, kolikor je dimenzija prostora (lahko ga pises kot spisek vrednosti, vendar mora bit jasno, da zapis velja le za izbran koordinatni sistem). Ni pa vsak nabor stevil vektor - vazno je, kako se transformira. Recimo hitrost (vx,vy,vz) je vektor, kolicina (vx^2,vy^2,vz^2) pa ni vektor, ker se napacno obnasa pri rotacijah.
Tenzor (tenzor 2. reda): tenzor popisuje razlicne "velikosti" v razlicnih smereh. Matematicno ga lahko zapises kot matriko (vendar ni vsaka matrika tenzor - samo tista, ki popisuje fizikalno kolicino, ki se pravilno obnasa pod transformacijami). Tenzorji so vecinoma simetricni - matriko lahko diagonaliziras, s cimer ugotovis, da ima tenzor pravokotne lastne osi in velikost v vsaki izmed teh smeri. Rotacija koordinatnega sistema ustreza rotaciji tega lastnega sistema glavnih osi. Tipicni tenzorji: vztrajnostni moment (ce telo ni zelo simetricno, je vztrajnostni moment odvisen od izbrane osi), dielektricnost, elektricna in toplotna prevodnost (recimo za anizotropne snovi kot je les, prevajanje v smeri letnic ni enako kot pravokotno na letnice), tlak (v plinih in tekocinah tlak lahko smatramo za skalar, ker je v vseh smereh enak in je torej tenzor kar skalar*identicna matrika, v trdni snovi pa je lahko notranja napetost porazdeljena neenakomerno po smereh v prostoru). Iz lastnosti matrik lahko vidis, da tenzor lahko opisuje zvezo med vektorjema v razlicnih smereh. Recimo anizotropen dielektricen tenzor pomeni, da je odziv polarizacije snovi (D) v drugi smeri kot zunanje polje (E). Pri prevajanju toplote to pomeni, da smer temperaturnega gradienta pozene toplotni tok v precni smeri. In pri vztrajnostnem momentu to pomeni, da vrtilna kolicina ne kaze v smeri osi (razen ce je os v smeri lastne osi), zaradi cesar os cuti navor.
Tenzorske kolicine se zreducirajo na skalarno obnasanje, ce so izotropne, saj je v tem primeru tenzor kar skalar krat identicna matrika, ta pa se pri rotacijah koordinatnega sistema seveda ne spremeni. Identiteta je pac identiteta, ce z njo pomnozis vektor, ga pusti pri miru v vsakem koordinatnem sistemu.
Ravno pri elektricnem in magnetnem polju iz transformacijskih lastnosti ugotovis, da nista prava vektorja. v 3D je vse v redu, ko pa gres v 4D, med transformacijami koordinatnega sistema niso samo rotacije ampak tudi Lorentzovi potiski (sprememba hitrosti koordinatnega sistema). Tam ugotovis, da namesto, da bi se komponenta E-ja transformirale kot nekaj, kar je del 4-vektorja, se elektricno in magnetno polje mesata. Nista torej samostojna vektorja ampak sta del nekega tenzorja - tenzorja elektromagnetnega polja.
Zgoraj sem govoril v elektromagnetnem polju v 4 dimenzijah. 3D tenzor elektromagnetne NAPETOSTI (in to ni misljena elektricna napetost ampak napetost v smislu tlaka), na katerega si naletel v Rudijevi skripti, je nekaj drugega - tukaj ne gres v relativnost ampak le zapises informacijo o elektromagnetnem polju na nekoliko drugacen nacin - v podobni obliki kot bi pisali napetost v tekocini ali trdni snovi. Z njim opisujes prenos gibalne kolicine, ki jo nosi elektromagnetno polje (iz polja smo torej izluscili kolicino, ki nam daje neko specificno informacijo). Ta tenzor ima posplositev v stiri dimenzije, kjer ugotovis, da je le "prostorski del" tenzorja (3x3 blok v 4x4 matriki), pri transformacijah pa se mesa z energijsko gostoto EM polja in gostoto gibalne kolicine polja, ki sta v preostalih komponentah tenzorja. Ta tenzor je tisti, ki nastopa kot izvor gravitacije oz. ukrivljenosti prostora v Einsteinovih enacbah polja. Ker je tenzorske narave, je tudi deformacija prostora bolj komplicirana kot zgolj skrcenje ali raztezanje. V splosnem imas vse: razlicne popacitve razdalj v razlicnih smereh, popacenje kotov med smermi,... Zato so kljub preprostemu zapisu te enacbe zelo zoprne za resevanje (poleg tega imas se problem s tem, da ce enacba opisuje ravno ukrivljenost koordinatnega sistema, naletis na problem v kaksnih koordinatah sploh zapisat celo rec).
Vpeljava tenzorja v snovi je problematicna, ker hocemo stlacit odziv snovi v kolicino, ki opisuje polje. Snov tudi sama nosi gibalno kolicino in energijo, kar privede do netocnosti v ohranitvenih zakonih. To je seveda za pricakovat, saj smo nekaj povprecili in vpeljali priblizke. Fizikalno je vse v najlepsem redu, le vpeljava D-ja in B-ja se odmakne od fundamentalnih zakonov narave in opise neko prakticno uporabno kolicino, ki pa skrije velik del dogajanja. To je problem, ki si ga prebral v Rudijevi skripti.