Dejal si, da ce hoces, da je funkcija v kvadratu integrabilna, potem mora prej ali slej zamreti.
Lahko to malce obrazložiš?
Ja integral kvadrata je neke vrste celotna moc, ki jo signal odda (govorim v fizikalni prispodobi - kvadrat amplitude je ponavadi sorazmeren z mocjo, recimo pri elektricnem toku). In ce imas omejeno moc (integral ni neskoncno), potem bo dalec proti levi in desni signal sel proti nic.
Kvadratno integrabilnost zahtevas je pogoj, da je spekter tudi v kvadratu integrabilen in da je prava funkcija. Ravno periodicen signal (ki ima seveda neskoncno moc ker se signal nadaljuje v neskoncnost) je prikaz, kaj se zgodi ce nimas kvadratne integrabilnosti - spekter je mnozica delta funkcij, ki v kvadratu niso integrabilne in sploh niso prave funkcije.
Besedo signal uporabljam za funkcijo, ki jo razvijas (ponavadi je neodvisna spremeljivka cas in je zadeva res neke vrste signal - recimo zvok).
torej ko razvijamo funkcijo v vrsto, si izberemo poljubno periodo in na tem mestu dobimo črtast spekter oz. diracove funkcije, ki se z dodajanjem členov v neskončnost vedno bolj približujejo integralni površini 1...
S tem ko nabijamo te člene v neskončnost, se to dogaja samo na tej isti periodi in zaradi tega je diracova funkcija vedno ostrejša za neko omego.
Mogoce je smiselno se enkrat poudarit, da ce definicijsko obmocje ni neskoncno (koncna perioda), potem ta funkcija ki jo razvijas pravzaprav ni ista. Dva scenarija:
Razvijas isto funkcijo, recimo da je periodicna, vendar odrezes samo nek omejen del (ostalo postavis na nic - poslusas zvok samo omejen cas). V tem primeru imas zvezen spekter, ki je tem bolj oster, cim daljsa je perioda (vec signala upostevas). To je tale proces:
\(F(\omega)=const.\int_{-T}^{T}\sin \omega t f(t)\,dt\Rightarrow F(\omega)=const.\int_{-\infty}^{\infty}\sin \omega t f(t)\,dt\)
Rezanje signala pac vedno razmaze spekter. Ko prides do tega, da upostevas cel signal, potem se ti zvezni vrhovi izostrijo v delta funkcije (vendar le, ce je signal periodicen - v nasprotnem primeru spekter ostane zvezen, le bolj tocen je).
Drug primer pa je, da to neko funkcijo ne zafilas levo in desno z nulami ampak periodicno razsiris. V tem primeru je spekter itak vedno crtast (ker smo prisilili signal k periodicnosti). Je pa to nek drug signal kot prvoten - podobno kot ce musko das na loop. Ta crtastost je recimo forsirana s tem, da takoj uporabimo vsoto namesto integrala:
\(a_n=const.\int_{-T}^{T}\sin \omega_n t f(t)\,dt\)
Tukaj opazis drugo lastnost: frekvence so seveda
\(\omega_n=\frac{\pi n}{T}\). Razmik dveh frekvenc je potem
\(\pi/T\). Vecjo periodo vzames (vec signala poslusas preden ga spet ponovis od zacetka), bolj so te frekvence skupaj in bolj gost je crtast spekter. V limiti se te na gosto porazdeljene crte zlijejo v zvezen spekter (vendar le ce prvotni signal, ki smo ga rezali in periodicno razsirjali ni bil ze itak periodicen - v tem primeru tudi v limiti vecina crt izgine in ostanejo le diskretne crte).
Da povzamem:
Odrezan periodicen signal -> razmazane delta funkcije, pac neki vrhovi
Cel periodicen signal -> ostre delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)
Periodicno razsirjen del neperiodicnega signala -> delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)
Z daljso periodo razsirjen del neperiodicnega signala -> bolj skupaj delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)
Cel neperiodicen signal (recimo nekaj
takega) -> zvezen spekter
Če pa izvedemo transformacijo, si izberemo interval v neskončnost na obeh straneh osi x ter integriramo preko vseh mogočih frekvenc, ki so zaradi množičnosti porazdeljene zvezno.
Ja tocno tako.
