Pozdravljeni!
Naprošam vas za pomoč pri reševanju problema, ki se v praksi pojavlja pri gradnji jeza.
Vprašanje:
S kolikšno silo moramo podpreti stranico kocke, ki je do vrha napolnjena z vodo.
Natančneje:
Imamo kocko s stranico dolgo 1 m. V njo do vrha natočimo vodo. Vsi ostali dejavniki so zanemarljivi (stanje zračnega tlaka, temperatura ipd.). Zanima nas, s kolikšno silo moramo podpreti stranico kocke (pri čemer *ne* mislimo na stranico na dnu kocke, ampak na eno stransko ploskev).
Hvala!
Svendej
Sila na stranico kocke, napolnjene z vodo
Stransko ploskev razdelimo na rezine z višino \(dz\). Ploščina rezine je:
\(dS = a dz\).
Če se rezina nahaja na globini \(z\), potem voda nanjo izvaja tlak \(p = \rho g z\) in posledično silo:
\(dF = p dS = \rho g a z dz\).
Celotno silo na stransko ploskev dobimo seveda z integriranjem:
\(F = \int_0^a dF = \int_0^a \rho g a z dz = \frac{1}{2} \rho g a^3\).
Za \(a = 1 \rm{~m}\), \(g = 10 \rm{~m/s^2}\) in \(\rho = 1000 \rm{~kg/m^3}\) dobimo:
\(F = 5000 \rm{~N}\).
Za določitev prijemališča te sile, je potrebno izračunati še navor (glede na zgornji rob kocke):
\(M = \int_0^a z dF = \int_0^a \rho g a z^2 dz = \frac{1}{3} \rho g a^4\).
Prijemališče sile F se nahaja na globini:
\(h = \frac{M}{F} = \frac{\frac{1}{3} \rho g a^4}{\frac{1}{2} \rho g a^3} = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3} \rm{~m}\).
\(dS = a dz\).
Če se rezina nahaja na globini \(z\), potem voda nanjo izvaja tlak \(p = \rho g z\) in posledično silo:
\(dF = p dS = \rho g a z dz\).
Celotno silo na stransko ploskev dobimo seveda z integriranjem:
\(F = \int_0^a dF = \int_0^a \rho g a z dz = \frac{1}{2} \rho g a^3\).
Za \(a = 1 \rm{~m}\), \(g = 10 \rm{~m/s^2}\) in \(\rho = 1000 \rm{~kg/m^3}\) dobimo:
\(F = 5000 \rm{~N}\).
Za določitev prijemališča te sile, je potrebno izračunati še navor (glede na zgornji rob kocke):
\(M = \int_0^a z dF = \int_0^a \rho g a z^2 dz = \frac{1}{3} \rho g a^4\).
Prijemališče sile F se nahaja na globini:
\(h = \frac{M}{F} = \frac{\frac{1}{3} \rho g a^4}{\frac{1}{2} \rho g a^3} = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3} \rm{~m}\).