Imamo tenzor vztrajnostnega momenta:
\(J=\begin{bmatrix}J &0&0 \\ 0 & J & 0 \\ 0 & 0 & J_z \end{bmatrix}\)
In kot je napisano: \(J_x = J_y = J\).
Kotna hitrost:
\(\omega = {\begin{bmatrix}\omega_x & \omega_y & \omega_z \end{bmatrix}}^T\)
To telo (vrtavko) postavimo v sistem \(\hat{i}'\), \(\hat{j}'\), \(\hat{k}'\).
\(\overrightarrow{L} = \underline{\underline{J}} \overrightarrow{\omega}\)
Vrtenje okoli ene osi, npr.:
\(\underline{\underline{J}} {\begin{bmatrix}\omega_x & 0 & 0 \end{bmatrix}}^T\), \(\omega_x \ne 0\)
razumem (se mi zdi).
Težava pa nastopi, če se vrti okoli dveh osi:
\(\underline{\underline{J}} {\begin{bmatrix}\omega_x & \omega_y & 0 \end{bmatrix}}^T\), \(\omega_x \ne 0\) in \(\omega_y \ne 0\).
Bi rekel, da se spremeni vztrajnosti moment, če je zadeva izmaknjena iz začetne lege. Torej, če zasukamo (ali sukamo) okoli osi y, vrtenje okrog x pač ni več isto.
Vrtavka in tenzorji
Re: Vrtavka in tenzorji
To ni ravno vrtenje okrog dveh osi. Se vedno se vrti okrog ene osi, le da je ta usmerjena drugam (v smer vektorja kotne hitrosti). Vrtenje pac ni komutativno v 3D in zasukov zato ne mores kar sestevati. Ce vrtenje ne poteka okrog lastne osi, potem sploh ni enostavno opisljivo ce vrtavke v to os ne vpnemo (da ne pride do proste precesije).
No, zdaj pa odgovor na vprasanje: vztrajnostni moment za rotacijo okrog poljubne osi preberes iz vztrajnostnega elipsoida. Formalno prides do tega iz ohranitve energije:
\(\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\mathrm{J}\boldsymbol{\omega}\)
Nastopa v bistvu skalarni produkt vrtilne kolicine in kotne hitrosti. Ta dva vektorja v splosnem nista vzporedna. Za neko smer s lahko potem definiras vztrajnostni moment:
\(\displaymath J(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{s}\mathrm{J}\mathbf{s}}{||\mathbf{s}||^2}\)
No, zdaj pa odgovor na vprasanje: vztrajnostni moment za rotacijo okrog poljubne osi preberes iz vztrajnostnega elipsoida. Formalno prides do tega iz ohranitve energije:
\(\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\mathrm{J}\boldsymbol{\omega}\)
Nastopa v bistvu skalarni produkt vrtilne kolicine in kotne hitrosti. Ta dva vektorja v splosnem nista vzporedna. Za neko smer s lahko potem definiras vztrajnostni moment:
\(\displaymath J(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{s}\mathrm{J}\mathbf{s}}{||\mathbf{s}||^2}\)
Re: Vrtavka in tenzorji
In če prav razumem, lahko rotacijo opišemo takole
\(\overrightarrow{L} = J_x \omega_x \hat{i}' + J_y \omega_y \hat{j}' + J_z \omega_z \hat{k}'\)
le v primeru, ko se vrti okoli lastnih osi in tako ima tudi tenzor diagonalne elemente.
\(\overrightarrow{L} = J_x \omega_x \hat{i}' + J_y \omega_y \hat{j}' + J_z \omega_z \hat{k}'\)
le v primeru, ko se vrti okoli lastnih osi in tako ima tudi tenzor diagonalne elemente.
Re: Vrtavka in tenzorji
Ja, to je v diagonalnem primeru. Saj zato pa imas splosno zapisano v tenzorski obliki, kjer se lahko komponente pomesajo med seboj. Ce poznas prehodno matriko v lastni sistem, se tenzor seveda transformira takole:
\(J'=TJT^{-1}\)
(T je seveda ortonormirana). Obratno, lastni sistem in lastne vztrajnostne momente vedno lahko poisces z diagonalizacijo tenzorja (lastne vrednosti & lastni vektorji matrike).
\(J'=TJT^{-1}\)
(T je seveda ortonormirana). Obratno, lastni sistem in lastne vztrajnostne momente vedno lahko poisces z diagonalizacijo tenzorja (lastne vrednosti & lastni vektorji matrike).