inducirana napetost okoli električnega vodnika

Tehnika. Kako deluje...? Zakaj ne moremo narediti...?
Odgovori
kvarkel
Prispevkov: 42
Pridružen: 27.1.2010 9:41

inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 2.12.2014 15:42

Ali zna kdo rešiti tole nalogo?
Izmenični tok z amplitudo I0 = 10 A in frekvenco ν = 50 Hz teče po ravnem vodniku. V
ravnini vodnika leži kvadratna zanka s stranico a = 20 cm, tako da je bližnja izmed njenih
stranic vzporedna z vodnikom in od njega oddaljena za d = 10 cm. Kolikšna je maksimalna
napetost, ki se inducira v zanki?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a shrink » 3.12.2014 2:44

To je skoraj klasičen problem pri indukciji (morda je že bilo odgovorjeno na forumu).

Na kratko:

Osnova je indukcijski zakon: \(U_i=-\frac{d\Phi_m}{dt}\).

Magnetni pretok skozi ploskev zanke je treba dobiti z integriranjem:

\(\Phi_m=\int BdS\)

kjer je \(B=\frac{\mu_0I(t)}{2\pi r}\) gostota mag. polja na razdalji \(r\) od žice in \(dS=adr\) diferencialni košček ploskve zanke. Integracijski meji za \(r\) sta seveda \(d\) in \(d+a\) (pač kvadratna zanka z najbližjo stranico na razdalji \(d\) od žice).

Rezultat (integral je trivialen) bo oblike \(\Phi_m=kI(t)\) in če je tok sinusne oblike \(I(t)=I_0\sin(\omega t)\) z \(\omega=2\pi\nu\), bo inducirana napetost v zanki (pač odvod pretoka po času):

\(U_i=-k\omega I_0\cos(\omega t)\).

Maksimalna vrednost je seveda amplituda \(k\omega I_0\).

kvarkel
Prispevkov: 42
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 3.12.2014 7:27

Hvala. Lepa razlaga.

kvarkel
Prispevkov: 42
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 5.2.2015 11:37

Imam še eno vprašanje oz. prosim za pomoč. Kako izpeljem enačbo za inducirano napetost v zanki v sledečem primeru:

Skozi ravni vodnik, ki je v osi x teče tok I. Kakšna napetost se inducira v štirikotni zanki v koordinatah: A(x1,y1), B(x2,y2), C (x2,y3) in D(x1,y4)?
V tem primeru imam spremembo tako d, kot x in y.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a shrink » 5.2.2015 13:29

Ker je zanka trapez, jo lahko razbiješ na pravokotnik in dva trikotnika, posebej integriraš po teh likih in dobljeno sešteješ.

Rešitev za pravokotnik imaš iz prejšnjega primera, s tem da je \(a=y_4-y_1\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta: \(x_1\) in \(x_2\).

Za trikotnik pa je \(a=kx+n\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta spet: \(x_1\) in \(x_2\). Skratka: moraš določiti enačbo premice, ki gre skozi točki A in B (prvi trikotnik), in enačbo premice, ki gre skozi točki C in D (drugi trikotnik). Integral, ki ga v obeh primerih računaš, je oblike:

\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{kx+n}{x}dx=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}(k+\frac{n}{x})dx\)

oz.

\(\displaystyle\frac{k\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}dx+\frac{n\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\)

P.S. Veljata predpostavki: \(x_2>x_1\) in \(y_3>y_4>y_1>y_2\).

kvarkel
Prispevkov: 42
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 5.2.2015 15:21

Hvala.
Saj do premic sem tudi sam že prišel, vendar sem potem nekaj zakompliciral s trojnim integralom pa se je vse skupaj ustavilo.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a shrink » 5.2.2015 17:01

Verjetno misliš na dvojnega: to je še najbolj sigurna pot.

Drugače sem pozabil povedati, da moraš pri enačbah premic paziti, kako izbereš \(n\): ta mora biti tak, da premica pri \(x_1\) seka x os. Če je \(k\) negativen, moraš tudi paziti na predznak vrednosti določenega integrala. Seveda se tem problemom izogneš z rabo dvojnega integrala.

kvarkel
Prispevkov: 42
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 9.2.2015 12:35

Ko je vse jasno, je vse enostavno. Trojni integral pa kot sem zapisal, sem z njim zakompliciral. Rešitev je z dvojnim integralom, če odmislim, da je zaradi mej integrala kar nekaj matematične telovadbe, je kar optimalna. Še enkrat hvala za sodelovanje.

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 3 gostov