Ali zna kdo rešiti tole nalogo?
Izmenični tok z amplitudo I0 = 10 A in frekvenco ν = 50 Hz teče po ravnem vodniku. V
ravnini vodnika leži kvadratna zanka s stranico a = 20 cm, tako da je bližnja izmed njenih
stranic vzporedna z vodnikom in od njega oddaljena za d = 10 cm. Kolikšna je maksimalna
napetost, ki se inducira v zanki?
inducirana napetost okoli električnega vodnika
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
To je skoraj klasičen problem pri indukciji (morda je že bilo odgovorjeno na forumu).
Na kratko:
Osnova je indukcijski zakon: \(U_i=-\frac{d\Phi_m}{dt}\).
Magnetni pretok skozi ploskev zanke je treba dobiti z integriranjem:
\(\Phi_m=\int BdS\)
kjer je \(B=\frac{\mu_0I(t)}{2\pi r}\) gostota mag. polja na razdalji \(r\) od žice in \(dS=adr\) diferencialni košček ploskve zanke. Integracijski meji za \(r\) sta seveda \(d\) in \(d+a\) (pač kvadratna zanka z najbližjo stranico na razdalji \(d\) od žice).
Rezultat (integral je trivialen) bo oblike \(\Phi_m=kI(t)\) in če je tok sinusne oblike \(I(t)=I_0\sin(\omega t)\) z \(\omega=2\pi\nu\), bo inducirana napetost v zanki (pač odvod pretoka po času):
\(U_i=-k\omega I_0\cos(\omega t)\).
Maksimalna vrednost je seveda amplituda \(k\omega I_0\).
Na kratko:
Osnova je indukcijski zakon: \(U_i=-\frac{d\Phi_m}{dt}\).
Magnetni pretok skozi ploskev zanke je treba dobiti z integriranjem:
\(\Phi_m=\int BdS\)
kjer je \(B=\frac{\mu_0I(t)}{2\pi r}\) gostota mag. polja na razdalji \(r\) od žice in \(dS=adr\) diferencialni košček ploskve zanke. Integracijski meji za \(r\) sta seveda \(d\) in \(d+a\) (pač kvadratna zanka z najbližjo stranico na razdalji \(d\) od žice).
Rezultat (integral je trivialen) bo oblike \(\Phi_m=kI(t)\) in če je tok sinusne oblike \(I(t)=I_0\sin(\omega t)\) z \(\omega=2\pi\nu\), bo inducirana napetost v zanki (pač odvod pretoka po času):
\(U_i=-k\omega I_0\cos(\omega t)\).
Maksimalna vrednost je seveda amplituda \(k\omega I_0\).
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Hvala. Lepa razlaga.
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Imam še eno vprašanje oz. prosim za pomoč. Kako izpeljem enačbo za inducirano napetost v zanki v sledečem primeru:
Skozi ravni vodnik, ki je v osi x teče tok I. Kakšna napetost se inducira v štirikotni zanki v koordinatah: A(x1,y1), B(x2,y2), C (x2,y3) in D(x1,y4)?
V tem primeru imam spremembo tako d, kot x in y.
Skozi ravni vodnik, ki je v osi x teče tok I. Kakšna napetost se inducira v štirikotni zanki v koordinatah: A(x1,y1), B(x2,y2), C (x2,y3) in D(x1,y4)?
V tem primeru imam spremembo tako d, kot x in y.
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Ker je zanka trapez, jo lahko razbiješ na pravokotnik in dva trikotnika, posebej integriraš po teh likih in dobljeno sešteješ.
Rešitev za pravokotnik imaš iz prejšnjega primera, s tem da je \(a=y_4-y_1\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta: \(x_1\) in \(x_2\).
Za trikotnik pa je \(a=kx+n\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta spet: \(x_1\) in \(x_2\). Skratka: moraš določiti enačbo premice, ki gre skozi točki A in B (prvi trikotnik), in enačbo premice, ki gre skozi točki C in D (drugi trikotnik). Integral, ki ga v obeh primerih računaš, je oblike:
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{kx+n}{x}dx=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}(k+\frac{n}{x})dx\)
oz.
\(\displaystyle\frac{k\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}dx+\frac{n\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\)
P.S. Veljata predpostavki: \(x_2>x_1\) in \(y_3>y_4>y_1>y_2\).
Rešitev za pravokotnik imaš iz prejšnjega primera, s tem da je \(a=y_4-y_1\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta: \(x_1\) in \(x_2\).
Za trikotnik pa je \(a=kx+n\), spodnja in zgornja integracijska meja pa sta spet: \(x_1\) in \(x_2\). Skratka: moraš določiti enačbo premice, ki gre skozi točki A in B (prvi trikotnik), in enačbo premice, ki gre skozi točki C in D (drugi trikotnik). Integral, ki ga v obeh primerih računaš, je oblike:
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{kx+n}{x}dx=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}(k+\frac{n}{x})dx\)
oz.
\(\displaystyle\frac{k\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}dx+\frac{n\mu_0 I}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\)
P.S. Veljata predpostavki: \(x_2>x_1\) in \(y_3>y_4>y_1>y_2\).
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Hvala.
Saj do premic sem tudi sam že prišel, vendar sem potem nekaj zakompliciral s trojnim integralom pa se je vse skupaj ustavilo.
Saj do premic sem tudi sam že prišel, vendar sem potem nekaj zakompliciral s trojnim integralom pa se je vse skupaj ustavilo.
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Verjetno misliš na dvojnega: to je še najbolj sigurna pot.
Drugače sem pozabil povedati, da moraš pri enačbah premic paziti, kako izbereš \(n\): ta mora biti tak, da premica pri \(x_1\) seka x os. Če je \(k\) negativen, moraš tudi paziti na predznak vrednosti določenega integrala. Seveda se tem problemom izogneš z rabo dvojnega integrala.
Drugače sem pozabil povedati, da moraš pri enačbah premic paziti, kako izbereš \(n\): ta mora biti tak, da premica pri \(x_1\) seka x os. Če je \(k\) negativen, moraš tudi paziti na predznak vrednosti določenega integrala. Seveda se tem problemom izogneš z rabo dvojnega integrala.
Re: inducirana napetost okoli električnega vodnika
Ko je vse jasno, je vse enostavno. Trojni integral pa kot sem zapisal, sem z njim zakompliciral. Rešitev je z dvojnim integralom, če odmislim, da je zaradi mej integrala kar nekaj matematične telovadbe, je kar optimalna. Še enkrat hvala za sodelovanje.