Enačba relativnosti; znanost ali relikvija

[Rozman]

Objekt se mi približuje z veliko hitrostjo in se v trenutku 't' nahaja na razdalji 'r'. Njegovo gibanje opišem z enačbo posebne teorije relativnosti r*2-(ct)*2 =k*2. Prvi člen r*2 se ob približevanju s časom zmanjšuje, drugi člen (ct)*2 se s časom zmanjšuje zaradi negativnega predznaka. Vsota dveh členov, ki se s časom oba zmanjšujeta ne moreta ob poljubnem času tvoriti konstante k*2. Enačba nima rešitve! Enačba pa ima rešitev, če znak minus nadomestim z znakom plus, kar pa ni skladno s teorijo relativnosti. Ali mi lahko kdo pomaga iz zagate? LP FR

[zupan]

r^2- (ct)^2 je konstanta le pri Lorentzovih transformacijah, to je pri transformaciji iz enega opazovalnega sistema iz drugega. Nikakor pa to ni konstanta gibanja (kot si ze sam ugotovil). Edina izjema je gibanje (recimo fotona) s svetlobno hitrostjo skozi izhodisce, kjer
r^2- (ct)^2=0
Razlog je, da je to pac hkrati tudi enacba tira za foton (oz. enacba geodetke v ravnem prostoru)

[Rozman]

r^2- (ct)^2 je konstanta le pri Lorentzovih transformacijah, to je pri transformaciji iz enega opazovalnega sistema iz drugega. Nikakor pa to ni konstanta gibanja (kot si ze sam ugotovil). Edina izjema je gibanje (recimo fotona) s svetlobno hitrostjo skozi izhodisce, kjer r^2- (ct)^2=0

Ali to pomeni, da bi morala držati enačba r1^2- (ct1)^2=r2^2- (ct2)^2, kjer sta r1 in t1 parametra v enem sistemu opazovanja in r2 in t2 parametra v drugem sistemu opazovanja? LP FR

[Rozman]

r^2- (ct)^2 je konstanta pri transformaciji iz enega opazovalnega sistema iz drugega.

Enačba posebne teorije relativnosti (STR) govori o štiri razsežnem prostoru (prostor, čas) in sicer, da je razmik v štiri razsežnem prostoru med dvema točkama enak v katerem koli sistemu opazovanja. To ugotovitev še bolj dosledno, kot v omenjeni enačbi, lahko zapišem takole:
r^2-c^2t^2= r'^2-c^2.t'^2

r in t prostor in čas v enem sistemu opazovanja
r' in t' pa prostor in čas v drugem sistemu opazovanja.

Enačbo preizkusim na približujočem se fotonu (ali drugemu zelo hitremu delcu), ki se približuje k opazovalcu. V opazovalčevem sistemu opazovanja foton opazujem v času t in t+dt. V fotonovem sistemu oziroma pa v času t' in t'+dt'

V času t+dt za približujoč foton enačba dobi obliko:
(r-dr)^2-c^2(t+dt)^2= (r'-dr')^2-c^2.(t'+dt')^2

polinome kvadriram
r^2-2rdr+dt^2-c^2t^2-2c^2tdt-c^2dt^2= r'^2-2r'dr'+dr'^2-c^2t'^2-2c^2t'dt'-c^2dt'^2

pri hitrosti opazovanega fotona c veljata relaciji
dr=cdt in dr'=cdt'

vnesem relaciji
r^2-2rcdt+c^2dt^2-c^2t^2-2c^2tdt-c^2dt^2= r'^2-2r'cdt'+c^2dt'^2-c^2t'^2-2c^2t'dt'-c^2dt'^2

dva člena se izničita in ostane
r^2-2rcdt-c^2t^2-2c^2tdt = r'^2-2r'cdt' -c^2t'^2-2c^2t'dt'

Rešitev enačbe je ena sama in sicer

r=r' in t=t'

Enačba nam daje naslednje sporočilo: Foton se približuje opazovalcu po Newtonovih zakonitostih, brez transformacij časa in prostora.

Edina izjema je gibanje (recimo fotona) s svetlobno hitrostjo skozi izhodisce, kjer r^2- (ct)^2=0

Tudi ta izjema ne drži za primer približevanja fotona izhodišču. Prvi člen enačbe (r^2) se s časom zaradi približevanja fotona zmanjšuje. Drugi člen enačbe ((ct)^2) se s časom zmanjšuje zaradi negativnega predznaka. Vsota dveh členov, katerih enega in drugega vrednost se s časom zmanjšuje, ne moreta v različnih časih dajati vrednost nič. Enačba r^2- (ct)^2=0 v fazi pred prispetjem fotona v izhodiščno točko nima rešitve za t in t+dt. Enačba torej kljub zahtevani simetriji STR ne opisuje dogajanja pred prispetjem fotona do opazovalca.

Niti z eno niti z drugo obliko enačbe STR, ki se jo v literaturi navaja kot relikvija teorije relativnosti, mi v praksi ne potrjuje STR. LP FR

[mirko]

Rešitev enačbe je ena sama in sicer

r=r' in t=t'

Ampak, če si se postavil v opazovalni sistem, v katerem foton miruje, potem je pogoj, da je r'=konstanta.
Pa še nekaj: če praviš, da enačba r^2-c^2t^2= r'^2-c^2.t'^2 velja za razmik v štiri razsežnem prostoru med dvema točkama, potem bi moral tudi upoštevati, da se ta druga točka v obeh sistemih zapiše s samimi ničlami, da torej koordinatni izhodišči obeh opazovalnih sistemov v štirirazsežnem prostoru sovpadata.

Naj torej v skladu s tem popravkom nek predmet miruje v izhodišču opazovalnega sistema O':r'=0, t' poljuben. S tem seveda z desno stranjo enačbe nimamo več kaj početi.
Prestavimo se zdaj v opazovalni sistem O, ki se giblje glede na predmet. Koordinate tega predmeta zapišemo z r,t in po zgornji enačbi dobimo
r^2-(ct)^2=0-(ct')^2, malo premečemo in dobimo:

t'^2+r^2/c^2 = t^2

Torej: ob istem dogodku ima čas v mirujočem opazovalnem sistemu manjšo vrednost kot čas v gibajočem. Pa tudi eksperiment pokaže, da se razpadni čas radioaktivnih delcev pri hitrostih, ki so znaten del svetlobne, poveča...

[shrink]

Če nadaljujem mirkovo izpeljevanje:

Denimo, da se opazovalni sistem O giblje s hitrostjo v glede na O' v smeri osi x. Potem velja: x = v*t, y = 0, z = 0 in iz tega sledi: r = x = v*t.

Dobimo:

t'^2+v^2*t^2/c^2 = t^2

in iz tega:

t = t'/sqrt(1-(v/c)^2)

kar je enačba za dilatacijo časa v PTR.

Zadeva torej "štima".

[mirko]

Shrink, res je.
Po vsem tem pa sem se začel spraševati, od kod Rozmanu enačba

r*2-(ct)*2 =k*2,

saj je najmanj pri delcu v mirovanju precej očitno, da mora biti k*2 negativen.
Malo sem pogledal na
wikipedijo:http://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime
Če sem prav razumel, je tako, da med dvema dogodkoma, ki sta v vzročni zvezi, celo mora biti k^2 negativen. Očitno je potem, da k spada med kompleksna števila.
Predpostavka, da mora bit k^2 vedno pozitiven, pa nas res lahko spravi v hudo zadrego.

[Rozman]

Hvala Mirko in Shrink za poglobljena odgovora na moje razumevanje enačbe STR.

Enačba STR še kar verodostojno opisuje dogajanje v primeru, ko dva objekta zletita iz koordinatnega izhodišča, vsak v svojo smer. Običajno se enačbo STR dokazuje na primeru dveh objektov, ki se oddaljujeta in dokaz je posledično v okviru nam dostopnih opažanj tudi uspešen.

Odlika enačbe splošne teorije relativnosti naj bi bila tudi v neodvisnosti od smeri gibanja opazovanih objektov. Mene torej zanima drug primer, kako se obnaša enačba iz stališča dveh objektov, ko sta opazovana objekta v izhodišču na neki medsebojni razdalji in se drug drugemu približujeta.

predmet miruje v izhodišču opazovalnega sistema O':r'=0, t' poljuben

Koordinatno izhodišče lahko postavim na foton oziroma hiter delec, vendar to ne pomeni, da je r' = 0. V enačbi r' pomeni razdalja, ki jo foton zaznava do drugega opazovanega objekta (do opazovalca) in ne do koordinatnega izhodišča. Predpostavka r'=0 bi bila sprejemljiva ob istočasni predpostavki r=0, kadar bi oba objekta v času t=0 izhajala iz koordinatnega izhodišča, kar pa mene v tem primeru ne zanima. Zanima me približevanje dveh objektov iz neke medsebojne razdalje, kar pa pomeni da je tako r kot r' različen od nič, ne glede na izbiro koordinatnega izhodišča. Enačbe torej ni mogoče poenostaviti v smislu opustitve enega člena in ostaja v celoti aktualno moje izhodiščno razmišljanje. LP FR

[mirko]

Koordinatno izhodišče lahko postavim na foton oziroma hiter delec, vendar to ne pomeni, da je r' = 0. V enačbi r' pomeni razdalja, ki jo foton zaznava do drugega opazovanega objekta (do opazovalca) in ne do koordinatnega izhodišča.

Ravno tu je past: enačba pravi, da je razdalja med dvema točkama (dogodkoma) v štirirazsežnem prostoru neodvisna od opazovalnega sistema. To pomeni, da moramo iz dveh različnih sistemov opazovati en in ist par točk (dogodkov). Poleg tega morata biti koordinatni izhodišči obeh sistemov, tako kot je enačba (in tudi Lorentzova transformacija) postavljena, v isti točki (dogodku).
Naj malo razložim z enim primerom, upam, da ne bom dolgovezil:
Imejmo v prostoru dva opazovalca, ki se gibljeta eden glede na drugega. Zdaj v neki točki v prostoru zasveti, recimo rdeča luč. Opazovalca se dogovorita, da se je ta dogodek zgodil na r=0, t=0 in tudi v drugem sistemu na r'=0, t'=0. Zdaj recimo prvi opazovalec ugotavlja, da se rdeča luč od njega oddaljuje po enačbi x=v*t, drugi opazovalec pa, da rdeča luč miruje, seveda pri r=0. Skratka, imeti moramo nek referenčni dogodek (ali točko v štirirazsežnem prostoru), da uskladimo koordinatna izhodišča, sicer bi morali Lorentzovo transformacijo drugače formulirati.
Potem nekje v prostoru v neki točki zasveti zelena luč. Opazovalca bosta izmerila različni razdalji med rdečo in zeleno lučko v trirazsežnem prostoru, pa tudi čas, ko zasveti zelena luč, bo različen. A razdalja v štirirazsežnem prostoru :r2-ct2 bo enaka. V tem primeru smo opazovali razdaljo v štirirazsežnem prostoru med zeleno lučjo in koordinatnim izhodiščem (rdečo lučjo). Seveda bi zdaj lahko še nekje posvetila oranžna lučka in bi računali razdaljo med zeleno in oranžno lučko, vendar bi enačbo morali modificirati v (r1-r2)^2-c(t1-t2)^2 = ..isto s črtico.

Pri prejšnjem primeru smo torej računali razdaljo v štirirazsežnem prostoru med fotonom in skupnim koordinatnim izhodiščem. Na desni strani v opazovalnem sistemu, kjer foton miruje, na levi strani v sistemu, kjer se foton giblje. Foton smo postavili v izhodišče samo zaradi lažjega računanja.

Rozman, če zdaj pogledamo tvoj problem - enega opazovalca imamo v sistemu, kjer se foton giblje, drugega v sistemu, kjer foton miruje. Oba sistema naj imata skupno koordinatno izhodišče - opazovalca sta se uskladila o referenčnem dogodku, ki pomeni (0,0,0,0) v obeh sistemih. Prvi opazovalec opazuje razdaljo med recimo lučko, ki posveti na fotonu, in (0,0,0,0), drugi opazovalec pa opazuje razdaljo med recimo lučko, ki posveti na prvem opazovalcu in (0,0,0,0). Torej ne opazujeta istega para točk (dogodkov)! Zato tudi ne moreta pričakovati, da bo zgornj izraz r2-ct2 v obeh sistemih dal isto vrednost. V takem primeru zgornje enačbe ne smemo uporabiti.

[Rozman]

morata biti koordinatni izhodišči obeh sistemov, tako kot je enačba (in tudi Lorentzova transformacija) postavljena, v isti točki (dogodku).

Skušam se vživeti v tvojo zgodbo. Izberem referenčno točko na fotonu (0,0,0,0). Izbor referenčne točke v štiri razsežnem prostoru ni trivialen. Lahko jo izberemo tako, da ima točka ves čas vrednost (0,0,0,0) ali pa tako, da je njena vrednost stalna le v trirazsežnem prostoru in s časom dobiva vrednost (0,0,0,t')

Varianta a (0,0,0,0): Enačbo v tem primeru lahko napišemo v obliki r^2 - c^2.t^2 =0 Napišem še enačbo za primer približevanja objekta v času t+dt: (r-dr)^2 - c^2.(t+dt)^2=0 Tako prvi kot drugi člen enačbe se ob povečanju časa od t na t+dt zmanjšata. Če je vrednost leve strani enačbe enaka nič v času t, ne more biti enaka nič v času t+dt, ko se oba člena enačbe zmanjšata. Enačba nima rešitve.

Varianta b (0,0,0,t'): V tem primeru je koordinatno izhodišče utrjeno v trirazsežnem prostoru. Enačbo lahko napišem tako: r^2 - c^2.t^2= - c^2.t'^2 . Enačbo v času t+dt lahko za v primeru približujočega se opazovalca lahko zapišem (r-dr)^2 - c^2.(t+dt) ^2= - c^2.dt'^2 (t' v izhodišču je enak nič, ni pa t enak nič). Enačbo preuredim: (r-dr)^2 = c^2.(t+dt) ^2 - c^2.dt'^2
Levi del enačbe se s časom zmanjšuje, zato ima enačba rešitev, če je dt'^2>(t+dt) ^2 Ker sta časa t in t' v izbranem štiri razsežnem koordinatnem izhodišču za v trirazsežnem prostoru lokacijsko razdvojeni točki različna t<>t', pomeni da tudi ta enačba nima rešitve.
Tudi izbira skupnega koordinatnega izhodišča nama torej ne pomaga do rešitve. LP

[mirko]

Skušam se vživeti v tvojo zgodbo. Izberem referenčno točko na fotonu (0,0,0,0). Izbor referenčne točke v štiri razsežnem prostoru ni trivialen. Lahko jo izberemo tako, da ima točka ves čas vrednost (0,0,0,0) ali pa tako, da je njena vrednost stalna le v trirazsežnem prostoru in s časom dobiva vrednost (0,0,0,t')

Referenčna točka mora biti ena in ista v vseh opazovalnih sistemih. Podobno kot naprimer v geometriji, kjer rečemo, da ima točka A koordinate (2,3) v prvem in (6,7) v drugem koordinatnem sistemu. Ker vemo, da gre za isto točko, lahko denimo sklepamo na medsebojni položaj koordinatnih sistemov.
Priznam, uporabljam zmedeno terminologijo. Mešam točke in dogodke, in pri tem včasih še ne povem, ali mislim točko v tri ali štiri razsežnem prostoru: Točka v štirirazsežnem prostoru naj bi bil dogodek. Enemu in istemu dogodku v različnih opazovalnih sistemih v splošnem določimo različne x,y,z,t . Ne more točka imeti ves čas vrednosti (0,0,0,0), ker čas je četrta komponenta. Če imamo dva opazovalna sistema in se zgodi dogodek, potem ne sme biti sporno, da oba opazovalca zaznata ISTI dogodek, seveda pa mu lahko pripišeta vsak svoje x,y,z in t.

Mogoče sem bil tudi nedosleden pri tem stavku:

Pri prejšnjem primeru smo torej računali razdaljo v štirirazsežnem prostoru med fotonom in skupnim koordinatnim izhodiščem.

Mislil sem na dva dogodka. Za prvi dogodek vemo, da se v obeh opazovalnih sistemih zapiše z (0,0,0,0), za drugega pa, da se v opazovalnem sistemu, kjer foton miruje, zapiše z (0,0,0,ct'). Problem je zdaj v tem, da določimo x,y,z in t za ta isti drugi dogodek v opazovalnem sistemu, v katerem se foton giblje.

Pa še nekaj: kot je rekel že Zupan, r^2- (ct)^2 ni konstanta gibanja. Pravilno opažaš, da ta vrednost ne more biti v enem in istem opazovalnem sistemu enaka ob vseh časih. Vzemi, recimo, mirujoč delec, r=0, in vidiš da je ta vrednost -(ct)^2, torej odvisna od časa.
Ko praviš

Če je vrednost leve strani enačbe enaka nič v času t, ne more biti enaka nič v času t+dt, ko se oba člena enačbe zmanjšata

, pravzaprav vzameš dva dogodka. Prvi se zgodi na (x,y,z,t), drugi na (x+dx,y+dy,z+dz,t+dt). Tisto, kar mora biti zdaj v vseh opazovalnih sistemih enako, je razdalja med tema dogodkoma v štirirazsežnem prostoru (morda bi bilo bolje, če bi rekel prostoru-času):
dx^2+dy^2+dz^2-(c*dt)^2.

[Rozman]

Mirko, navdušen sem nad najinimi razpravami. Ta izmenjava mnenj popravlja moj prvi vtis o forumu Kvarkadabre.
K stvari - točka v štiri razsežnem prostoru STR je seveda dogodek v prostoru. Mislim da tu ne bi smelo biti nesporazumov.

ne more točka imeti ves čas vrednosti (0,0,0,0). Mislil sem na dva dogodka. Za prvi dogodek vemo, da se v obeh opazovalnih sistemih zapiše z (0,0,0,0), za drugega pa, da se v opazovalnem sistemu, kjer foton miruje, zapiše z (0,0,0,ct').

Tu bi lahko razpravljala vendar se skušam vživeti v tvoje razmišljanje in preveriti, ali "drži vodo".

vzameš dva dogodka. Prvi se zgodi na (x,y,z,t), drugi na (x+dx,y+dy,z+dz,t+dt). Tisto, kar mora biti zdaj v vseh opazovalnih sistemih enako, je razdalja med tema dogodkoma v štiri razsežnem prostoru.

Ta enačba opisuje oddaljevanje točk (točka,dogodek) štiri razsežnega prostora, kar pa ni primer, ki ga želim sam opisati. Želim opisati dogajanje, ko se mi dogodki približujejo. V tem primeru enačbe ne smem napisati tako kot ti (r+dr)^2-c^2.(t+dt)^2=k^2. Razmik se v mojem primeru zmanjšuje in na koncu izniči, zato moram enačbo napisati z minus med r in dr takole (r-dr)^2-c^2.(t+dt)^2=k^2.

Enačba s plusom med r in dr ima rešitev zato, ker se prvi člen povečuje, drug člen enačbe pa se zmanjšuje in vsota je pod določenimi pogoji lahko konstanta. Ko v enačbi zamenjamo plus z minus se oba člena enačbe s časom zmanjšujeta, kar ima za posledico, da enačba nima rešitve. Enačba STR torej ne opisuje zmanjševanja razmika v štiri razsežnem prostoru. LP FR

[mirko]

Moj komentar zaradi odsotnosti mogoče nekoliko pozno; moram reči, da so tudi meni take debate v stilu 'kje je napaka' v veselje, še posebej pri PTR, tako zanemarljivo malokrat uporabni, a zato toliko bolj vznemirljivi za nas navadne smrtnike.

Enačba s plusom med r in dr ima rešitev zato, ker se prvi člen povečuje, drug člen enačbe pa se zmanjšuje in vsota je pod določenimi pogoji lahko konstanta.

Lahko bi imel plus med r in dr, in bi dr imel negativno vrednost...V splošnem gre pri r, t, dr, dt za realna števila.

Ko v enačbi zamenjamo plus z minus se oba člena enačbe s časom zmanjšujeta, kar ima za posledico, da enačba nima rešitve.

Sploh ni res, da bi v enačbi r^2-(ct)^2 = k^2, k bila konstanta, neodvisna od r in t. Poleg tega je k^2 lahko negativen (k je lahko tudi imaginarno število).

Poskušal bom kar obdelati tvoj primer približevanja, zaradi enostavnosti samo v smeri x. Mislim, da bo kar lepo povzel večino stvari, o katerih je tekla debata.
Imamo predmet P1, ki miruje v koordinatnem izhodišču opazovalnega sistema skupaj z opazovalcem O1. Imamo tudi predmet P2, ki miruje v koordinatnem izhodišču opazovalnega sistema skupaj z opazovalcem O2.
O1 trdi, da za predmet P2 velja enačba gibanja x = x0 - v*t, y=0, z=0.
Torej se tudi opazovalec O2 giblje glede na O1 s hitrostjo -v.
Za prehod iz O1 v O2 velja Lorentzova transformacija:

x' = (x - v*t)/sqrt(1-v^2/c^2) ,
y'=y,
z'=z,
t' =(t - v*x/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2),

Na začetku opazovalec O1 trdi, da je na P2 zaznal dogodek (x0,0,0,0).
Opazovalec O2 pravi, da je v njegovem sistemu ta dogodek (0,0,0,0).
Sedaj nastopi težava z Lorentzovo transformacijo: opazovalca nista uskladila položajev, saj se tudi iz zgornjih enačb vidi, da x=x0 in t=0 ne da x' =0.
Težavo rešita naprimer tako, da se O1 premakne v x0, tako da tudi on zdaj pravi, da je na P2 zaznal dogodek (0,0,0,0). Mirovanje predmeta P1 v njegovem sistemu zdaj opiše kot (-x0, 0,0, c*t), gibanje P2 pa kot (-v*t, 0,0,c*t).
V malo bolj zapletenih primerih taka uskladitev ne zahteva samo premikov opazovalcev, ampak tudi nastavitev opazovalčevih ur. Seveda pa še vedno mora veljati, da se tudi po uskladitvi opazovalca gibljeta z enakima hitrostima kot prej, kar velja tudi v našem primeru.

Če nas sedaj zanima, kako opazovalec O2 vidi predmet P1, ni treba drugega, kot narediti Lorentzovo transformacijo na (-x0, 0,0,c*t), upoštevajoč, da se O2 giblje s hitrostjo -v glede na O1.
Tako dobimo:

x' = (-x0+v*t)/sqrt(1-v^2/c^2), t' = (t-v*x0/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2)

Zdaj iz t' izrazimo t in ga vnesemo v izraz za x'.

Tako dobimo: x' = - x0*sqrt(1-v^2/c^2) - v*t',

kar je enačba gibanja predmeta P1 v sistemu O2, oziroma x'(t').


Lahko se tudi prepričamo, da x^2 - (ct)^2 ni konstanta, neodvisna od x in t, pač pa je vedno enaka x'^2 - (ct')^2. To je že lastnost Lorentzove transformacije same po sebi, podobno kot je naprimer lastnost transformacije
x' = sqrt(x^2+y^2)*cos(fi),
y' = sqrt(x^2+y^2)*sin(fi),
da je x^2+y^2 enako x'^2+y'^2, ne glede na vrednost funkcije y(x).

[Rozman]

Lahko bi imel plus med r in dr, in bi dr imel negativno vrednost...V splošnem gre pri r, t, dr, dt za realna števila

Res je, in za mnoge primere enačba ima rešitev. Ne bova se ukvarjala z tistimi oblikami enačbe, ki imajo rešitev ampak ugotoviva, ali ima enačba rešitev za približevanje dveh objektov. Tak primer izberem tako, da izberem le pozitivna realna števila in med r in dr postavim znak minus. Omejim se torej le na ozko izbrano področje mojega zanimanja, za katerega enačba mora imeti rešitev, če je splošna.

Sploh ni res, da bi v enačbi r^2-(ct)^2 = k^2, k bila konstanta, neodvisna od r in t.

Se strinjam. Je pa enačba izvorno napisana in predstavljena tako, da je četverni razmik v štiri razsežnem prostoru iz katerega koli inercialnega sistema konstanten. Ko so fiziki spoznali, da k ne more biti konstanta, raje uporabljajo to enačbo v obliki r1^2-(ct1)^2 = r2^2-(ct2)^2 . Ta enačba se od prejšnje razlikuje toliko, da zahteva enakost razmika iz dveh inercialnih sistemov, kakršen koli že je. Tudi ta enačba nima rešitve v primeru približevanja, kot sem že opisal.

Poleg tega je k^2 lahko negativen (k je lahko tudi imaginarno število).

Enačbo razumem kot zakonitost, ki opisuje dogajanje v realnem svetu. Imaginarnega k ni možno preslikati v realni svet. Enačba (x-dx)^2-(c(t+dt))^2 = k^2 me ob imaginarnem k vodi v naslednji paradoks: Objekta (dogodka) se po koordinati x približujeta drug drugemu (y=0, z=0). Vsako približevanje po tej enačbi ob imaginarnem k pomeni povečevanje (ne zmanjševanje!) njunega razmika v štiri razsežnem prostoru. Posledično se po zadostnem številu dr objekta (dogodka) znajdeta v isti točki. Takrat je tudi njun razmik v štiri razsežnem prostoru enak nič. Enačba tega ne pokaže, ker se po enačbi ob imaginarnem k od neke medsebojne oddaljenosti dveh objektov (dogodkov) ves čas le-ta še naprej oddaljujeta. LP FR

[mirko]

Najprej moram spet opozoriti na svoj spodrsljaj pri računanju, ki pa je ostal neopažen:

Tako dobimo: x' = - x0*sqrt(1-v^2/c^2) - v*t',

,
V resnici dobimo
x' = - x0*sqrt(1-v^2/c^2) + v*t'
Po daljšem času se P1 seveda nahaja na pozitivnem delu x osi opazovalca O2....

Zdaj pa še k tvojem prepričanju, da negativni k^2 pripelje do paradoksov: Zdi se mi, da bi se morala najprej poskušati nekako uskladiti v bolj preprostih stvareh, najbrž sta najini predstavi preveč različni:
Vzemiva samo en opazovalni sistem O.
Dogodek 1 naj se zgodi pri x=0,y=0,z=0,ct=0.
Dogodek 2 naj se zgodi pri x=0,y=0,z=0,ct=c*t0.
Naj bo t0=1s oziroma c*t0 ena svetlobna sekunda.
Najbrž se strinjaš, da gre za dogodka ki se zgodita na istem mestu, med dogodkoma preteče čas ene sekunde.

Kolikšen je kvadrat razmika med tema dogodkoma v štiri razsežnem prostoru?
Je vrednost kvadrata razmika pozitivna, negativna ali nič?
Zanima me tvoj odgovor in njegova utemeljitev.
Moj odgovor bi bil - negativna, in sicer minus ena svetlobna sekunda na kvadrat.
Utemeljitev je naslednja:
Reciva, da nama je matematična definicija kvadrata razdalje jasna, ponazoril jo bom na pet razsežnem prostoru:
T1(x1,y1,z1,u1,w1)
T2(x2,y2,z2,u2,w2)
d^2(T1,T2) = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 + (u2-u1)^2 + (w2-w1)^2
Ko pa govoriva o PTR, imamo neko posebnost:
V prostoru-času je kvadrat razdalje med dogodkoma ravno zaradi lastnosti Lorentzove transformacije definiran kot
T1(x1,y1,z1,c*t1,)
T2(x2,y2,z2,c*t2)
d^2(T1,T2) = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 - c^2*(t2-t1)^2

Če bi se držali strogo matematične definicije kvadrata razdalje, bi torej morali ves čas poudarjati, da je c*t čisto imaginarno število. V primeru, da vzamemo za c*t realno število in upoštevamo matematično definicijo kvadrata razdalje, dobimo pred zadnjim členom predznak plus. Na žalost pa tak izraz potem ne da vrednosti, ki ima pri PTR v vseh opazovalnih sistemih ob istih T1 in T2 enako vrednost.