Daljica VS premica

[semtvojavest]

Kje se nahaja več točk? Na daljici ali premici?

[Aniviller]

Enako jih je.

[Rokerda]

A jih ni na premici več? Obojih je res neskončno, vendar ni to podobno vprašanju katerih števil je več, racionalnih ali naravnih? Ena neskončnost je večja kot druga?

[Aniviller]

Ne, enaki sta. Pri obeh so tako na gosto kot realna stevila.

Daljico lahko poljubno raztegujes, ne da bi se poznalo na stevilu tock. Lahko jo raztegnes tudi v neskoncnost. Ce najdes preslikavo, ki preslika eno mnozico v drugo, potem sta enako veliki. In tukaj je to enostavno: preslikava recimo iz intervala (-pi/2,pi/2) na celo realno os je tangens. Ta ti iz daljice dolzine pi naredi premico (vsaki tocki x na daljici pripise tocko tan(x) na premici).

Tudi tako pomisli: ce imas stevno neskoncno daljic (recimo za vsako celo stevilo eno daljico) je stevilo tock v vseh teh daljicah skupaj se vedno enako kot v eni sami. In stevno neskoncno daljic lahko sestavis v premico (recimo prvo postavis na (0,1), drugo na (1,2), tretjo na (2,3), in enako v levo...) in dobis premico.


Z racionalnimi/realnimi stevili je drugace. Tam je sama "gosta" porazdelitev tock na mikroskopski ravni drugacna. Racionalna stevila so polna lukenj. Realna so pa zvezna.

[Roman]

Ena neskončnost je večja kot druga?

Je, ampak premica in daljica imata enako neskončnost.

[Rokerda]

Aha, potem nima nič vpliva, da je npr. ena končna, druga pa neskončna?

[Aniviller]

Ne, ker ima ze sama daljica nestevno neskoncno tock - kolikor je realnih stevil. Realna neskoncnost je vecja od stevne neskoncnosti.

Vse tole ima enako moc:
realna stevila, poljuben koncen interval v realnih stevilih, poljuben n-dimenzionalen realen/kompleksen prostor (\(\mathbb{R}^n\)), kompleksna stevila, samo iracionalna stevila (brez Q), mnozica vseh zaporedij naravnih stevil (logicno - zaporedje naravnih stevil smatras kot decimalni zapis realnega stevila).

Pazi: da imata mnozici enako moc se ne pomeni, da imata enako strukturo. Recimo \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}^2\) (itd.) imajo enako moc, vendar drugacno dimenzijo in temu primerno ni ZVEZNE preslikave med njimi. Podobno, iracionalnim stevilom manjkajo racionalna, torej so luknjasta (vendar ker so racionalna stevna, se realnim stevilom ne pozna, da manjkajo, ker jih je eno stopnjo neskoncnosti manj kot realnih).

Ce te zanima vec, glej wiki pod "cardinality, cardinal numbers, cardinality of continuum".

[Roman]

Aha, potem nima nič vpliva, da je npr. ena končna, druga pa neskončna?

Kaj pa pomeni v tem primeru končno ali neskončno? Daljica je po številu elementov enako neskončna množica točk kakor premica. Razlika je v omejenosti. Vse točke v daljici so končno daleč oddaljene recimo od enega roba. Končnost daljice pomeni končno število enot, s katerimi jo lahko izmerimo.

[Rokerda]

Aha, zanimivo.

hvala