Motore napisal/-a:bargo napisal/-a:Torej ni mogoče preslikati VSEH realnih števil na polkrožnico
Seveda je mogoče.
Motore napisal/-a:bargo napisal/-a:Torej ni mogoče preslikati VSEH realnih števil na polkrožnico
Seveda je mogoče.
Seveda, če imamo polkrožnico z neskočnim polmerom. Ni pa mogoče, če ima polkrožnica končen polmer. Eno je kardinalnost, drugo pa je celota. Celota v neskončnosti je problem.
Roman je podal trditev, da je mogoča bijektivna preslikava med
realnimi števili in polkrožnico z končnim polmerom in sicer takšna, ki vsebuje prav
vsa realna števila. Za predstavitev VSEH realnih števil je uporabil grafično upodobitev premico, ob predpostavki, da ta premica vsebuje prav VSA realna števila. Upodobitev ni nič drugega, kot neka preslikava med realnimi števili in premico in če je ta preslikava bijektivna, potem rečemo tej premici realna os.
Recimo; "vodoravno črto, ki naj ponazarja množico realnih števil" ta črta
bi naj bila bijektivna preslikava med realnimi števili in točkami!
Nekaj iz črvine.
Roman: Oh, joj, vsa realna števila je mogoče bijektivno preslikati v polovico krožnice.
Bargo : 
No, napiši to preslikavo, z končnim polmerom.
Roman : Najlažje je s sliko, ampak nisem nobene pametne našel na netu. Vzemi papir in svinčnik. Nariši spodnjo polovico kroga,
pod njim pa
vodoravno črto, ki naj ponazarja množico realnih števil.
Vzemi poljubno točko na "realni osi" in jo poveži s središčem kroga. Vsaki točki na premici ustraza natanko ena točka na krožnici.
Bo šlo?
....
Bargo: Če povečaš za malenkost polmer kroga r -> r+dr, se za veliko poveča "realna os", a ne?
Roman: Ne. Preslikava deluje enako ne glede na to, kako velik je polmer kroga, ena točka na polkrožnici ustreza eni točki na realni premici in narobe.
Bargo: Ja vsekakor. Vendar obstajajo točke na realni osi, ki nimajo slike na polkrožnici. To spoznaš šele, ko povečaš polkrožnico za dr. Predvideva, da tudi če je polmer krožnice velik kolikor želiš, ne uspeš najti transcedentih števil na realni osi.
...
Roman: Še to sem izpustil: bijektivnost pomeni še to, da se vse točke na polkrožnici preslikajo v realno os in narobe. Nobena točka ni izpuščena.
Bargo:(dodatni podnapisi) Torej, iz
enačb izhaja, da je mogoča bijektivna preslikava med daljico [-r,r] in polkrožnico, ter med (-r,r) in upodobitvijo premice, ki dobimo tako, da "Vzemi poljubno točko na
"realni osi" in jo poveži s središčem kroga. Vsaki točki na premici ustraza natanko ena točka na krožnici." Ni pa mogoča bijektivna preslikava med [-r,r] in konstruirano premico po zgornjem navodilu.
Problem je točka r, ki nima slike na tako konstruirani premici in točka r predstavlja neko REALNO ŠTEVILO, sledi, da tako konstruirana premica ni celotna REALNA OS.
Kako bi le bila, saj vendar ni mogoče neskončnosti narisati!!! To zna samo SIMON. 
....
Bargo: Vendar obstajajo točke na realni osi, ki nimajo slike na polkrožnici.
Roman: Ni res.
Preslikava je bijektivna, eni točki na polkrožnici ena na realni osi in obratno.
Bargo: Ja, ker si tako
konstruiral "realno os", ki je posledica, vlečeš premice iz središča kroga, skozi točko krožnice,
do točke na realni os. Ko to tvojo "realno os" prepoznaš kot celovito, ti jaz povečam polmer krožnice in potem ti spoznaš,
da tvoja prej konstruirana realna os ni celovita. To lahko nadaljujeva do zapovedane končnosti!
Roman: Kaj pa zdaj to pomeni,
realna os je mišljena kot celota, kot ilustracija množice realnih števil v celoti. Kakšno prepoznavanje imaš v mislih?
Bargo: Mišljena že, vendar še zdaleč ni celota.
Roman: Kako ni celovita? Kaj ji manjka?
Bargo: Manjka ji PI in še veliko drugih realnih števil. Poglej. Prav vsako točko na tvoji pol krožnici lahko projecirava na tvojo "realno os", pod pravim kotom. Tudi takšna preslikava je bijektivna. Tako dobiva samo en končen del realne osi, daljico, dolžine 2r, ki pa vsebuje neskončno točk.
Vsaka polkrožnica je torej množica točk čigar število elementov je neskončno.
Roman: Kako naj bi bilo to odvisno od polmera?
Bargo: Šele če je polmer neskončen, ti dajo vse pravokotne projekcije točk iz pol krožnice, realno os. Problem je samo tista premica, ki gre skozi središče polkrožnice in je vzporedna z realno osjo. Ta vsebuje 2 točki, ki jih ni mogoče pravokotno projecirati na realno os.
Evo, središče in dva krajca!
Bargo: Prav vsako točko na tvoji pol krožnici lahko projecirava na tvojo "realno os", pod pravim kotom.
Roman: Zakaj spreminjaš temo pogovora? Preslikava, ki sem jo jaz navajal, ni takšna. Jaz sem navedel preslikavo med polkrožnico in realno osjo (v celoti), ki je bijektivna, kar pomeni, da imata obe množici enako mnogo elementov.
Bargo: Tudi takšna preslikava (Pravokotna projekcija polkrožnice na premico!) je bijektivna.
Roman: Je, ampak ne med realno osjo in polkrožnico.
Bargo: Zakaj ne?
Saj, bi vendar naj šlo za dve bijektivni preslikavi, ki delujeta nad istimi množicami. Množico točk {pol krožnica} in {množico točk realna os}. Čisto vsaka točka na polkrožnici, glede na mojo podano bijektivno preslikavo, ima svojo sliko na realni osi, ki je daljica omejena navzdol in navzgor! {[0,2r]} torej je samo podmnožica realne osi.
Tvoja predlagana bijektivna preslikava je malce zavajajoča, a ne?
Bargo: Veš, hecno je, da bi pri tvoji predlagani preslikavi imela polkrožnica, celo 2 točki več. Tisti, ki ležita na vzporednici z realno osjo! Ko je kot enak 0 ali -+PI/4 !
Roman : Ti tve točki (do njiju prideš iz sreišča polkrožnice pod kotom 0 in pod kotom
\(\pi\)) nista bili vključeni.
Če bi bili, bi seveda motili bijektivnost.
Roman, lepo pove, da dve točki nista vključeni in seveda se postavi vprašanje, kaj predstavljata ti dve točki, ker očitno, glede na trditev, ne moreta predstavljati realnih števil?
Mogoče ve Mirkec in nariše Simon?
Poštar, nekaj zaključkov zate, mogoče se znebiš Kuharja.
The intuition behind a result is often more important than the result itself.
● Given the intuition, you can usually reconstruct the proof.
● Given just the proof, it is almost impossible to reconstruct the intuition.
● Think about compilation – you can more easily go from a high-level language to machine code than the other way around
