Pozdravljeni,
zanima me kako je definirana matematična indukcija. Razmišljal sem ali se da z njo dokazati, kaj kar ni povsem pravilno, oz. zdrži le za spremenljivko 1 (bazo indukcije), potem pa v predpostavki predpostavimo nekaj kar v splošnem ne drži, v koraku pa uporabimo predpostavko da se znebimo dela izraza, drugi del pa potem slučajno tudi zdrži, ali lahko tako dokažemo nekaj kar sploh ne drži.
Npr. imamo ulomek (21n+4)/(14n+3) ni celo št. za noben naraven n, za n=1 očitno ne drži, kaj pa če drži za nek drug n, ali se tak primer lahko dokaže z matematično indukcijo.
Matematična indukcija
Re: Matematična indukcija
Najbolje je odgovoriti s primerom:
Imejmo enakost \(n^2=4n-3\). Očitno je, da velja le za \(n=1\) in \(n=3\), saj gre pač za kvadratno enačbo z razcepom \(n^4-4n+3=(n-1)(n-3)=0\).
Recimo, da skušamo z indukcijo pokazati veljavnost za poljuben \(n\). Za osnovo (1. korak indukcije) lahko vzamemo bodisi \(n=1\), bodisi \(n=3\). Če predpostavimo, da velja \(n^2=4n-3\) in dokažemo, da velja \((n+1)^2=4(n+1)-3\), potem lahko na osnovi matematične indukcije sklepamo, da velja za vsak naraven \(n\), ki je naslednik osnove v 1. koraku.
Torej:
\((n+1)^2=n^2+2n+1=4n-3+2n+1=6n-2\ne 4(n+1)-3\)
kar pomeni, da enakost ne velja za vsak naraven \(n\), ki je naslednik osnove v 1. koraku. In to je vse, kar lahko za dani primer na osnovi matematične indukcije sklenemo: ne moremo npr. sklepati o veljavnosti za posamezne \(n\).
P.S. Postov nima smisla podvajati v drugih temah, ker ne bo pripomoglo k hitrosti odziva.
Imejmo enakost \(n^2=4n-3\). Očitno je, da velja le za \(n=1\) in \(n=3\), saj gre pač za kvadratno enačbo z razcepom \(n^4-4n+3=(n-1)(n-3)=0\).
Recimo, da skušamo z indukcijo pokazati veljavnost za poljuben \(n\). Za osnovo (1. korak indukcije) lahko vzamemo bodisi \(n=1\), bodisi \(n=3\). Če predpostavimo, da velja \(n^2=4n-3\) in dokažemo, da velja \((n+1)^2=4(n+1)-3\), potem lahko na osnovi matematične indukcije sklepamo, da velja za vsak naraven \(n\), ki je naslednik osnove v 1. koraku.
Torej:
\((n+1)^2=n^2+2n+1=4n-3+2n+1=6n-2\ne 4(n+1)-3\)
kar pomeni, da enakost ne velja za vsak naraven \(n\), ki je naslednik osnove v 1. koraku. In to je vse, kar lahko za dani primer na osnovi matematične indukcije sklenemo: ne moremo npr. sklepati o veljavnosti za posamezne \(n\).
P.S. Postov nima smisla podvajati v drugih temah, ker ne bo pripomoglo k hitrosti odziva.
Re: Matematična indukcija
Pozdravljeni,
Zanima me kako se z indukcijo dokaze:
Vsota kvadratov petih zaporednih naravnih stevil ne more biti popoln kvadrat.
Zanima me kako se z indukcijo dokaze:
Vsota kvadratov petih zaporednih naravnih stevil ne more biti popoln kvadrat.
Re: Matematična indukcija
Pokaži, da za vsak \(n \in \mathbb{N}\) velja: \(\int_{0}^{1}x^nln^nxdx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}}\). Za \(n=1\) ni problem, kako sklep za \(n -> n+1\)? Per partes mi ne pomaga,...
Re: Matematična indukcija
Mislim, da bi moralo iti s per partes: navedi postopek.
Re: Matematična indukcija
Če prvi poskus ne deluje, potem je treba probati nekaj novega. Per partes pripelje do integrala \(\int_0^1x^nln^{n-1}x\,dx\). Torej bo najbrž lažje dokazati (z indukcijo na \(n\)), da je \(\int_0^1x^mln^nx\,dx=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}}\) za vsak \(m,n\ge 1\).
Re: Matematična indukcija
zdravo mene pa zanima nalogo z mat. indukcijo. kako jo lahko dokažem
naj bo a poljubno realno število. s pomočjo matematične indukcije dokaži, da za poljubno naravno število n velja:
√(a^2+√(a^2+⋯√(a^2 )) ) <|a|+1 (koren se n-krat ponovi)
naj bo a poljubno realno število. s pomočjo matematične indukcije dokaži, da za poljubno naravno število n velja:
√(a^2+√(a^2+⋯√(a^2 )) ) <|a|+1 (koren se n-krat ponovi)
Re: Matematična indukcija
Najprej baza indukcije (\(n=1\)): Potrebno je videti, da je \(\sqrt{a^2}<|a|+1\). To pa je očitno, saj je \(\sqrt{a^2}=|a|\).
Indukcijski korak: Predpostavimo, da trditev velja za nek \(n\). Pokažimo, da potem velja tudi za \(n+1\). Ker je koren strogo naraščajoča funkcija, je po indukcijski predpostavki \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\ldots\sqrt{a^2}}}\) (\(n+1\) korenov) manjše od \(\sqrt{a^2+|a|+1}\) (notranjih \(n\) korenov smo zamenjali z \(|a|+1\)), kar je manjše ali enako \(\sqrt{a^2+2|a|+1}=\sqrt{(|a|+1)^2}=|a|+1\).
Indukcijski korak: Predpostavimo, da trditev velja za nek \(n\). Pokažimo, da potem velja tudi za \(n+1\). Ker je koren strogo naraščajoča funkcija, je po indukcijski predpostavki \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\ldots\sqrt{a^2}}}\) (\(n+1\) korenov) manjše od \(\sqrt{a^2+|a|+1}\) (notranjih \(n\) korenov smo zamenjali z \(|a|+1\)), kar je manjše ali enako \(\sqrt{a^2+2|a|+1}=\sqrt{(|a|+1)^2}=|a|+1\).