- IMG003.jpg (18.14 KiB) Pogledano 6000 krat
Rešitev naj bi bila za prvi primer: 1/3 in za drugi primer: 4/3.
Kakšen je postopek?
LP
mat - vsota vrste
mat - vsota vrste
Kako se izračuna vsota vrste za primera v priponki?
Rešitev naj bi bila za prvi primer: 1/3 in za drugi primer: 4/3.
Kakšen je postopek?
LP
Rešitev naj bi bila za prvi primer: 1/3 in za drugi primer: 4/3.
Kakšen je postopek?
LP
Re: mat - vsota vrste
Stevila 1,4,7,10,... so oblike 1+3n:
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(1+3n)(1+3(n+1))}\)
Imas cudne imenovalce s produkti, kar lahko poskusas spravit nazaj na vsoto dveh ulomkov (parcialni ulomki).
\(\frac{1}{(1+3n)(1+3(n+1))}=\frac{A}{1+3n}+\frac{B}{1+3(n+1)}\)
Ko to razresis, dobis A in B, ki pa sta nasprotna, A=-B. Ko razpises vsoto, se vmesni cleni paroma odstejejo in ostane le prvi del prvega in zadnji del neskoncnotega (ta je itak 0). Ker je A=1/3, B=-1/3, je rezultat 1/3.
Pri drugi pa itak razbijes na vsoto dveh geometrijskih vrst.
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(1+3n)(1+3(n+1))}\)
Imas cudne imenovalce s produkti, kar lahko poskusas spravit nazaj na vsoto dveh ulomkov (parcialni ulomki).
\(\frac{1}{(1+3n)(1+3(n+1))}=\frac{A}{1+3n}+\frac{B}{1+3(n+1)}\)
Ko to razresis, dobis A in B, ki pa sta nasprotna, A=-B. Ko razpises vsoto, se vmesni cleni paroma odstejejo in ostane le prvi del prvega in zadnji del neskoncnotega (ta je itak 0). Ker je A=1/3, B=-1/3, je rezultat 1/3.
Pri drugi pa itak razbijes na vsoto dveh geometrijskih vrst.
Re: mat - vsota vrste
Prva vrsta je
\(S_1=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(1+3n)(4+3n)}\). daš na parcialne ulomke: \(\frac{1}{(1+3n)(4+3n)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1+3n}-\frac{1}{4+3n})\). Zato je
\(S_1=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{1+3n}-\frac{1}{1+3(n+1)})=\frac{1}{3}\frac{1}{1}=\frac{1}{3}\).
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^n}{2^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\), ti dve vrsti pa znaš sešteti.
\(S_1=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(1+3n)(4+3n)}\). daš na parcialne ulomke: \(\frac{1}{(1+3n)(4+3n)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1+3n}-\frac{1}{4+3n})\). Zato je
\(S_1=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{1+3n}-\frac{1}{1+3(n+1)})=\frac{1}{3}\frac{1}{1}=\frac{1}{3}\).
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^n}{2^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\), ti dve vrsti pa znaš sešteti.
Re: mat - vsota vrste
Živjo, lepo prosim za odgovor...
Določi konvergenčno območje potenčne vrste:
\(\sum\limits_{i=1}^n n! x^{n!}\)
V rešitvah je zapisano: \(a_{n} = \left\{
\begin{array}{l l}
0 & \quad \text{$n$ ni oblike k! za noben k }\\
n & \quad \text{$n=k!$, $k \in \mathbb{N}$}
\end{array} \right.\)
Kako so dobili ta dva predpisa za splošni člen?
Določi konvergenčno območje potenčne vrste:
\(\sum\limits_{i=1}^n n! x^{n!}\)
V rešitvah je zapisano: \(a_{n} = \left\{
\begin{array}{l l}
0 & \quad \text{$n$ ni oblike k! za noben k }\\
n & \quad \text{$n=k!$, $k \in \mathbb{N}$}
\end{array} \right.\)
Kako so dobili ta dva predpisa za splošni člen?
Re: mat - vsota vrste
Hm.... ne vem ce je smiselno zapisano, ne bi moral nastopat v izrazu i? Gre vsota do neskoncno? Ker ce ne gre, potem itak konvergira, ker je polinom. In kaj je a_n?
Re: mat - vsota vrste
Ups....moja napaka, k sm copy-paste-u...tkole je prou
\(\sum\limits_{n=1}^\infty n!x^{n!}\)
\(\sum\limits_{n=1}^\infty n!x^{n!}\)
Re: mat - vsota vrste
Aja. To pa gre. Na prvi pogled izgleda grozno (n!) ampak ker je tudi v eksponentu, to pomeni, da gre v resnici za clene, kjer je eksponent kar enak predfaktorju (s tem, da sestejes samo tiste, ki so kdaj rezultat operacije n!). Tisto iz resitev je torej nadomestno zaporedje clenov... ampak v potencni vrsti nastopa "lim sup", torej na konvergencni radij ne vpliva, ce kup clenov manjka, ker gledas limito maksimalnih clenov. Konvergencni radij bo enak kot za vrsto
\(\sum_{n=0}^\infty n x^n\)
in konvergencni radij tega je 1. To lahko dobis po formulah za konvergencni radij - deluje in s kvocientom in s korenom, ali pa z dejstvom, da vrsta izgleda kot odvod geometrijske vrste (premik za 1 v eksponentu nima veze), in za geometrijsko vrsto ves, da je konvergencni radij 1.
\(\sum_{n=0}^\infty n x^n\)
in konvergencni radij tega je 1. To lahko dobis po formulah za konvergencni radij - deluje in s kvocientom in s korenom, ali pa z dejstvom, da vrsta izgleda kot odvod geometrijske vrste (premik za 1 v eksponentu nima veze), in za geometrijsko vrsto ves, da je konvergencni radij 1.
Re: mat - vsota vrste
Ok, hvala Vam....torej je za maximalne primere n!=n?
Re: mat - vsota vrste
No ne posplosuj prevec. Bistvo je, da potencne vrste sestevajo ponavadi po vrsti po eksponentih. V bistvu smo naredili menjavo spremenljivke k=n!, da imamo namesto x^n! normalen potencni clen x^k. Vsota mora seveda v tem primeru spustit vse clene, razen tistih, ki so oblike n!.
Hocem samo povedat, da luknje v vrsti ne vplivajo na konvergencni radij.
Hocem samo povedat, da luknje v vrsti ne vplivajo na konvergencni radij.
Re: mat - vsota vrste
aha...ok. Zato je tista 0 pri členih, ki niso oblike k! ?
Re: mat - vsota vrste
Ja. Ce razpises par clenov, je ocitno za kaj gre:
\(\sum_{n=1}^\infty n! x^{n!}=x+2x^2+0+0+0+6x^6+0+0+0+0+0+\)\(0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+24x^{24}+\cdots\)
\(\sum_{n=1}^\infty n! x^{n!}=x+2x^2+0+0+0+6x^6+0+0+0+0+0+\)\(0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+24x^{24}+\cdots\)