vezani ekstrem

[whistler]

Pozdravljeni!
Težave imam pri naslednji nalogi:

Poišči največjo in najmanjšo vrednost funkcije f(x,y) = x² - xy² + 2y² na območju D = {(x,y); x² + y² ≤ 16 in x,y ≥ 0}

Težave se pojavijo pri: izračunu stacionarnih točk, drugi mešani parcialni odvod ni enak, drugi parcialni odvod po x je konstanta - kako naj sklepam o min, max funkcije? - to so težave pri računanju znotraj območja. Pri izračunu na robu območja (vezani ekstrem) pa sploh ne pridem nikamor.

Vsak odgovor in namig je dobrodošel!

[maxwell]

Jaz dobim enaka druga mešana odvoda, si se mogoče kje zmotil?

\(f_{xx}=2, f_{xy}=-2y=f_{yx}, f_ {yy}=-2x+4\), iz teh sestavi Hessovo matriko za določitev max,min.

Iz prvih odvodov pa izračunaj stacionarno tocko.

Ko upoštevaš še območje sestavis funkcijo F(x,y,t), katera vsebuje tvojo f(x,y) in t*(x² + y² ≤ 16). Odvajaš po x,y in t, enacis z 0 in izračunaš t,x,y. Nato še preveriš katera je max in min.

[shrink]

Seveda sta mešana odvoda enaka, drugače priporočam ogled že odprtih tem:

viewtopic.php?f=22&t=5208

viewtopic.php?f=22&t=3065

viewtopic.php?f=22&t=4580

[whistler]

Hvala za odgovora! Mešana odvoda sta seveda enaka, moja napaka.
Kako pa sklepaš o min/max funkcije, če je drugi parcialni odvod po x konstanta ali pa 0? V tem primeru je 2, torej je večji kot 0 in imamo vedno minimum?
Potreben pogoj za ekstrem je tudi, da je determinanta Hessejeve matrike večja od nič, če je manjša ekstrema ni. Kaj pa če je enaka 0?

[maxwell]

tudi če je drugi odvod \(f_{xx}\) konstanten zanj še vedno lahko preveriš \(f_{xx}\)>0 ali \(f_{xx}\)<0. Če je 2 je minimum, ker 2>0.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point

Če imaš funkcijo večih spremenljivk uporabiš Hessovo matriko. http://en.wikipedia.org/wiki/Second_par ... ative_test
V linku vidiš, če je determinanta=0, ta metoda odpove.

[shrink]

Za \(f(x,y)\) imaš 4 možnosti glede na determinanto Hessejeve matrike \(D\) in \(f_{xx}\):

1. \(D>0\) in \(f_{xx}(x_0,y_0)>0\): stacionarna točka je lokalni minimum.

2. \(D>0\) in \(f_{xx}(x_0,y_0)<0\): stacionarna točka je lokalni maksimum.

3. \(D<0\): stacionarna točka je sedlo.

4. \(D=0\): sklep ni možen.