Dvočleniki

[[Krypton]]

V šoli smo mi obravnavali dvočlenike na kvadrat in kubik torej npr:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

zaj pa smo v testu pisali malo težje primere katerih se nismo še učili npr: (1 - a)^5

ni mi problem zaj to zračunat samo bi vprašal če ma kdo kaki link, kjer so napisane formule za vse dvočlenike na neko potenco do (a + b)^10
torej za razlike in vsote dvočlenikov če pozna kdo kaki link(na katerem so formule).

LP

[ZdravaPamet]

Ni problema. V splošnem velja za naravno število n in poljubni realni števili a ter b tole:
\(\left(a+b\right)^{n}={n\choose 0}a^{n}b^{0}+{n\choose 1}a^{n-1}b^{1}+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n\choose n}a^{0}b^{n}\)
Formuli se reče binomska formula. Zapis \({n\choose k}\) imenujemo binomski simbol in ga izračunaš takole:
\({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), kjer je \(n!\) ali \(k!\) tak \(n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\). Še lažje ga izračunaš takole. Recimo
\({10\choose 5}=\frac{10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\)
Zgoraj sem petkrat zmnožil od deset navzdol spodaj pa vsa naravna števila med 1 in 5. Formula ne velja samo za naravne eksponente, ampak tudi za realne. Velja še dogovor \({n\choose 0}=1\)
Več tukaj
http://planetmath.org/encyclopedia/BinomialFormula.html
http://www.efunda.com/math/binomial/binomial.cfm

[[Krypton]]

po tej formuli naj bi blo: (1 - a)^5 =1 - 5a + 5a^2 - 5a^3 + 5a^4 - a^5

če sem se zmotil mi lahko prosim poveš kje sem naredil napako ali kje sem formulo narobe razumel.

LP

[ZdravaPamet]

Ne čisto tako. Binomske koeficiente si narobe izračunal. Takole:
\({5\choose 0}-{5\choose 1}a+{5\choose 2}a^{2}-{5\choose 3}a^{3}+{5\choose 4}a^{4}-{5\choose 5}a^{5}\). Kar prinese
\(1-5a+10a^{2}-10a^{3}+5a^{4}-a^{5}\)

[[Krypton]]

ok, hvala

[[Krypton]]

torej če sem pravilno razumel bi bilo: (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7?

Se to da zračunati še po kakšnem drugem načinu?

[ZdravaPamet]

Ja, tako. Lahko izračunaš takole
\((a+b)^{7}=(a+b)^{2}(a+b)^{2}(a+b)^{2}(a+b)\)
Dela je veliko več!

[ZdravaPamet]

Ali pa tudi drugače (ker poznaš kube dvočlenikov)
\((a+b)^{7}=(a+b)^{3}(a+b)^{3}(a+b)\)
Spet je potenciranja in množenja cel kup.