Neki simple racun

[Jurij]

še malo drugače:
naj bo Z zrcaljenje čez premico y=2x.
izbereš si glede na zrcaljenje primerno bazo: npr. \(a=(1,2)\) in \(b=(2,-1)\). veš tudi \(Za=a\) in \(Zb=-b\).
sedaj pa izrazi standardno bazo i in j z bazo a in b (to mal od deleč pogledaš in ti samo vn pade):
\(i=\frac{a+2b}{5}\)
\(j=\frac{2a-b}{5}\)
sedaj pa upoštevaš: \(Zi=Z\frac{a+2b}{5}=\frac{1}{5}(Za+2Zb)\), Za in Zb pa poznaš. tako si dobil sliko i-ja, podobno še za j in sestaviš v matriko zrcaljenja v std. bazi.

[gnu]

Bom pa še jaz svoj pogled podal

Zrcaljenje čez premico \(y=kx\) je kompozitum rotacije koordinatnega sistema in zrcaljenja čez os x, ter rotacije nazaj: \(R^{-1}(Z(R(\vec x)))\)
\(R^{-1}(\phi)=R(-\phi)\)
\(R(\phi) = \begin{bmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ -sin(\phi) & cos(\phi) \end{bmatrix} Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \phi = arctg(k)\)

Pomnožimo matrike:

\(R^{-1} \circ Z \circ R = \begin{bmatrix} cos(2 \phi) & sin(2 \phi) \\ sin(2 \phi) & -cos(2 \phi) \end{bmatrix}\)

Sicer za reševanje konkretne naloge ni pripravno, je pa uporabno npr. za programiranje takega zrcaljenja.
Pa če bi šel na več dimenzij, je potrebno rotirati tako, da je zadnji bazni vektor (pri -1) v smeri zrcaljenja (kot je napisal Aniviller).

[Aniviller]

To je seveda res. Problem je da v vec kot 2D je potem vedno grse iskat rotacijo ki vrti koordinatni sistem v neko smer (pa se neskoncno moznosti je kako lahko to naredis). Pa z mnozenjem matrik izgubljas in cas in zaokrozitveno natancnost. Pa pazit moras da ponesreci ne rotiras ravno v nasprotno smer.
S projektorji je lazje, ze zato ker ni nobenih rotacij, kotov,... ampak samo skalarni produkti. Niti matrik ni treba - in pri programiranju je precej veselo ce ti ni treba implementirat celega kupa funkcij da predstavis matrike in njihovo mnozenje, obracanje,...

[gnu]

Aniviller: se popolnoma strinjam. Mislil sem na programe, kot so 3d igrice ipd., ki itak delajo vse z matrikami in vektorji.
Je pa projektor vsekakor numerično stabilnejši.

[alexa-lol]

sem potem rešil s polarnimi koordinatami...
je pa zanimiva ta ideja, da transformiras bazo in potem racunas (danes smo ravno imeli transformacije baz)

Kaj so ti. projektorji?

[Aniviller]

S polarnimi koordinatami je grdo... imas dva pretvarjanja na kote in nazaj. Same kotne funkcije, namesto par mnozenj.

Kaj so ti. projektorji?

Projekcijo na nek vektor poznas... to je tisto kar sem zapisal. No, matrika ki projecira na nek vektor "s" je
\(M_{ij}=s_{i}s_{j}\)
in ji pravimo projektor (lastnost - v bistvu definicija - projektorjev je, da se pri potenciranju ne spreminjajo - M^n=M. To zato ker ko je ze projecirano, projektor ne naredi vec nic).
In zrcaljenje naredis enostavno tako, da originalnemu vektorju odstejes dvakratnik projekcije na pravokotnico "zrcala".

[alexa-lol]

Veš mogoče za kako nalogo, ki bi jo lahko na ta način rešil (razen y=2x)? Da malo povadim

[Aniviller]

Preslikaj tocko (1,2,3) najprej preko ravnine z normalo (1,-1,1), ki gre skozi koordinatno izhodisce, in za tem se preko ravnine z normalo (1,2,1). Zapisi matriko, ki naredi celo transformacijo naenkrat. Poskusi izraziti to matriko z vektorji (obdrzi izrazavo z vektorji pri mnozenju matrik).
Ne pozabi na normalizacijo.

bonus vprasanje: je dobljena preslikava izrazljiva z zrcaljenjem preko neke druge ravnine? Zakaj (ne)?

[gnu]

bonus vprasanje: je dobljena preslikava izrazljiva z zrcaljenjem preko neke druge ravnine? Zakaj (ne)?

kar tako, za 2d, zrcaljenja ne tvorijo grupe, ker (glej moj zgornji post)

\(Z_1 = \begin{bmatrix} cos(a) & sin(a) \\ sin(a) & -cos(a) \end{bmatrix} Z_2 = \begin{bmatrix} cos(b) & sin(b) \\ sin(b) & -cos(b) \end{bmatrix}\)


Pomnožimo matriki:

\(Z_1 \circ Z_2 = \begin{bmatrix} cos(a)cos(b)+ sin(a)sin(b)& cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b) \\ sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) & sin(a)sin(b)- cos(b)cos(a) \end{bmatrix}\)
\(Z_1 \circ Z_2 = \begin{bmatrix} cos(a-b) & -sin(a-b) \\ sin(a-b) & - cos(a+b) \end{bmatrix}\)

Vidimo, da rezultat ni zrcaljenje. Če ne velja za 2d, ne velja niti v višjih dimenzijah (kajti podprostor bi moral biti podgrupa).

[Aniviller]

Ok ja to je ocitno tudi brez grup. Zrcaljenje ima determinatno -1. Rotacije ohranjajo determinanto. Liho stevilo zrcaljenj ima vedno nasproten predznak kot obicajne rotacije.

[gnu]

Ok ja to je ocitno tudi brez grup. Zrcaljenje ima determinatno -1. Rotacije ohranjajo determinanto. Liho stevilo zrcaljenj ima vedno nasproten predznak kot obicajne rotacije.

Ali lahko pokažemo, da preslikave, ki ne ohranjajo predznaka determinante, ne tvorijo grupe?

[Aniviller]

Nad matrikami je grupna operacija mnozenje. determinanta produkta matrik je produkt determinant. Deteriminanta je homomorfizem med grupo obrnljivih matrik in abelovo grupo za mnozenje realnih/kompleksnih stevil.
Nas nabor matrik naj bi bila podgrupa splosne grupe vseh obrnljivih matrik. Ce determinante teh matrik ne tvorijo grupe za mnozenje, tudi matrike ne tvorijo grupe.

Mnozica {-1} ni grupa za mnozenje, torej sama zrcaljenja ne tvorijo grupe. Zrcaljenja+rotacije pa tvorijo grupo, ker {-1,1} je grupa za mnozenje. Saj tako si lahko izmislis se kaksno grupo. Recimo iz matrik z determinantami \(a^n, n\in \mathbb{Z}\) lahko sestavis grupo (ce zagotovis ostalim grupnim pogojem).

[gnu]

Uhh, zdaj sem videl, da sem se zmotil pri produktu zrcaljenj.. očitno je, kar praviš (da je produkt zrcaljenj rotacija)

Pomnožimo matriki ..

\(Z_1 \circ Z_2 = \begin{bmatrix} cos(a-b) & -sin(a-b) \\ sin(a-b) & {\bf cos(a-b)} \end{bmatrix}\)

Še več, zrcaljenje in rotacija se razlikujeta le po predznaku determinante.

[alexa-lol]

hej zanima me nekaj iz algebre..linearnih preslikav
\(\vec a \in \mahbb{R}^3\)
\(A\vec x = \vec x - \vec a \times \vec x\)

vzamem za \(\vec a = (a,b,c)\)
in dobim matriko (v standardni bazi)
\(\[ \left( \begin{array}{ccc}
1 & c & -b \\
-c & 1 & -a \\
b & -a & 1 \end{array} \right)\]\)

kako naj iz tega dobim bazo jedra in slike? Kaj naj razčlenim na pogoje za \(a, b, c\) in potem iz tega naprej? Al je kakšna bolj elegantna rešitev

hvala
lp

[Aniviller]

Ne kompliciraj s komponentami! Iz pomena vektorske enacbe se vidi kaj ta pocne. Ker je \(\vec{a}\times\vec{x}\) vedno linearno neodvisen od \(\vec{x}\) (celo pravokotna sta), se clena nikoli ne odstejeta: za nenicelne x torej nikoli ne dobis nic - jedro je trivialno (samo nicelni vektor).
Po drugi strani vidis tudi to: edina preferencna smer v preslikavi je "a" - ostali dve smeri, pravokotni na "a" sta enakovredni. "a" je zagotovo v sliki (Aa=a). Pravokotne smeri pa tudi dobis (za vsak x, ki ni sorazmeren z a, dobis nekaj, kar je pravokotno na a), se pravi slika preslikave cel prostor (baza je pac poljubna).

To vidis tudi iz tega, da je determinanta preslikave vedno vecja, kvecjemu enaka 1.

p.s. matriko imas narobe zapisano, minusi so cisto narobe.