Neki simple racun

[alexa-lol]

aha hvala
kaj torej det A vedno večja od nič pomeni, da je rang matrike 3 -> 0 parametrična rešitev...ker je sistem homogen -> samo trivialna rešitev -> dim(Ker(A)) = 0
je sklep pravilen?

lp

[Aniviller]

Da. Vedno velja
\(\dim(\mathop{\rm Im} A)=\text{rang}\)
\(\dim(\mathop{\rm Ker} A)=\dim(A)-\text{rang}\)
Za kvadratne matrike zato velja, da \(\det A\neq 0\) pomeni polno sliko in trivialno jedro.

[Aniviller]

Tole je sveta zadeva ko imas opravka s fundamentalnimi podprostori matrik:
http://en.wikipedia.org/wiki/Four_fundamental_subspaces

[alexa-lol]

aha..potem če je slučajno \(dim(Ker(A)) = n (n \in \mathbb{N} + {0})\) ... potem je v bazi še vedno samo \(1\) ničeln vektor?

[Aniviller]

Ne... samo ce je dimenzija kernela 0, je kernel brez baze (nicelni vektor se itak vedno preslika v nic, bazo rabis za nenicelne vektorje, da napnejo cel vektorski podprostor).
V splosnem rabis toliko baznih vektorjev kolikor je dimenzija kernela. Recimo ce je dimenzija kernela toliko kot velikost matrike, potem je matrika itak nicelna in se cela baza preslika v nic.

[alexa-lol]

aha..in kako potem dobimo bazne vektorje...npr matrika
\(\[ \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 0 \end{array} \right)\]\)

Dimenzija jedra je 1... kaj je pa bazni vektor jedra?
Za sliko vem... linearno neodvisni stolpci... kaj pa jedro?

Kaj pa v tem primeru
\(\[ \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]\)

Jedro je 2 razsežno..kaj pa bazni vektorji? Lahko vzamem poljubne.. torej \((1,0)\) in \((0,1)\)

[Aniviller]

Ja najti moras tisto bazo, ki se zares preslika v nic! Pri sliki isces, kot si povedal, linearno neodvisne stolpce (oz. ce naredis Gaussovo eliminacijo so to stolpci, ki so se preslikali v pivote). "coimage" oz. to od koder se preslika slika, so linearno neodvisne vrstice... jedro je pa tisto kar ostane, se pravi ce vzames nabor linearno neodvisnih vrstic, dopolnis bazo do stevila vseh vrstic - recimo z Gram-schmidtom.

[alexa-lol]

aha... kaj pa tole... ce mam matriko za iskanje baze slike...\(4 \times 4\) in vem, da je \(dim(Im)=3\) je potem baza lahko vektor \((0,0,0,1)\), torej \(4\)-razsežen?

pri nalogi pride tako..dobim matriko...
\(\[ \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\]\)

Torej prva in tretja vrstica sta očitno linearno odvisni...kaj je zdaj baza?
je \(B(Im(A))=\{(1,0,-1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}\) pravilno?

[Aniviller]

Dimenzija vektorja je kolikor pac je za trenutno matriko... dimenzija slike/jedra pomeni kolicino baznih vektorjev.

No ta matrika je simetricna tako da ravno ne vidis razlike... ampak slika je v prostoru stolpcev, ne vrstic.

[alexa-lol]

aja seveda...\(dim(Im) + dim(Ker) = dim U\) , kjer je \(U\) prostor iz katerega slikamo..zaradi tega ima \(dim(U)\)- dimenzionalne vektorje za bazo

ja tam vem, da moreš vzeti po stolpcih.. kot si omenil je stvar simetrična in pride ravno enako.

hvala
lp

[alexa-lol]

hej
mene zanima če kdo ve kako se konstruira krožni (cirkularni) graf Cir(n;S)?
Ne najdem na internetu nič konkretnega. npr za primer n=6

hvala
lp

[Aniviller]

Hm... to bos pa moral povedat kaj je s tem misljeno ker je ocitno nek zargon ki meni ni znan. Verjetno pa ni nic drugega kot polarni ali parametricni plot neke funkcije.

[alexa-lol]

ja to je iz diskretne matematike.. teorija grafov

sem potem odkril kako narediti... samo ne znam opisati postopka na dovolj lahek nacin

[alexa-lol]

hej nekaj me zanima iz linearne algebre

Katera izmed resitev sistema enacb
\(x - y + z - u = 0\)
\(2x + 3y - z + 2u = 0\)
\(x + 4y - 2z + 3u = 0\)
je glede na obicajni skalarni produkt najblizja tocki \((1, 0, 1, 0)\)?

Torej sel bi z metodo najmanjsih kvadratov...
\(||(1,0,1,0) - (1,-1,1,-1) - (2,3,-1,2)-(1,4,-2,3)|| ^2 = min\)

ampak gre za to, da jaz rabim vektor ne pa skalar...

ne vem kako bi nastavil enacbo, da bi resil nalogo

help

[Jurij]

mi smo to delal analogno kot v R3:
poiščeš prostor rešitev sistema enačb, potem pa to točko projeciraš na ta prostor;
če so rešitve vektorji v1,v2,v3, po tem je najbližja točka tvoji točki T enaka:
proj_{v1}(T) + proj_{v2}(T) + proj_{v3}(T)
projekcijo pa računaš kot:
proj_{a}(b)=<a,b>/<a,a> a