Kvarkadabra forum

Aniviller napisal/-a:Kot vedno pri vezanih ekstremih: dve moznosti. Eno so Lagrangeovi multiplikatorji - isces ekstrem
\(z-\lambda(x^2+y^2-2)\)
pri cemer je \(\lambda\) dolocen s tem, da resitev lezi na robu kroga.
Lahko pa vstavis polarne koordinate in isces ekstrem po kotu.

aha..sem mislil ce se da se na kaksen nacin

Kdaj je funkcije zvezno odvedljiva in kako se to dokaže? Primer \(|x|\sin x\)

alexa-lol napisal/-a:

Aniviller napisal/-a:Kot vedno pri vezanih ekstremih: dve moznosti. Eno so Lagrangeovi multiplikatorji - isces ekstrem
\(z-\lambda(x^2+y^2-2)\)
pri cemer je \(\lambda\) dolocen s tem, da resitev lezi na robu kroga.
Lahko pa vstavis polarne koordinate in isces ekstrem po kotu.

aha..sem mislil ce se da se na kaksen nacin

Cakaj kaj bi pa se rad... saj to da se da najti nove spremeljivke tako, da ni treba vezanih ekstremov je zelo redka prednost in jo takoj zagrabis ce se da. Ker imas trikrat manj dela!

Tisto drugo: izracunaj levi in desni odvod in poglej ce sta enaka.

aha hvala
Kakšno napako naredimo, če aproksimiramo \(\cos x\) aproksimiramo s Taylorjevim polinomom druge stopnje in za\(|a|<\frac{1}{2}\)?

Torej za napako gledamo kubični člen...
\(f'''\) je \(sin x\)
\(R_{n}=\frac{sin \xi}{3!}\times (x-a)^3\)

Torej kateri \(a\) vzamem? in kako izracunam
lp

hej naletel sem na nek paradoks, ki ga ne znam razlozit
Kakšno je \(D_{f}\) od \(f(x):=\log(|x-2|-|x|-1)\); \(\log\) je desetiški logaritem
Izhajam iz tega da je logaritem definiran samo za pozitivne logaritmande
Zadevo razdelim na tri dele...
,ko je \(x < 0\)
takrat dobim funkcijo -x+2+x-1 < 0 in pridem do protislovja 1 < 0 torej tukaj ne obstaja tak x, da bi bil logaritmand pozitiven

,ko je \(0 \leq x < 2\)
takrat dobim \(-x+2-x-1 > 0\)
\(-2x > -1\)
\(2x < 1\)
\(x < \frac{1}{2}\)
torej je na tem intervalu (\([0,2)\)) definirana od \(x < \frac{1}{2}\)

,ko je \(x \geq 2\) dobim pa, da je \(-3>0\) kar je spet protislovje

torej praviloma naj bi bila funkcije definirana samo na intervalu \([0, 0.5)\), zato me zanima zakaj pridemo do take slike
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... Log10.Log-


Je kaj narobe s to metodo? To mi ni jasno...

hvala
lp

PS. je morda razlog, da WolframAlpha za negativne \(x\) samo preslika graf čez \(y\) os?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lo ... Log10.Log-

Prvic:
-x+2+x-1 < 0
Zahteval si negativne argumente logaritma. Dobil si 1<0. Torej pri x<0 ni argument nikoli negativen in torej logaritem je definiran v realnih stevilih. To se vidi tudi iz grafa ki si ga prilozil (rezultat je realen za x<1/2).

Drugic:
Ne gre samo za preslikan graf! Spregledujes imaginarni del (rdeca krivulja). Logaritem je v kompleksnem definiran povsod razen v nicli - ce pa isces kje je rezultat realen moras pa gledat kje je imaginarni del enak nic.

ahah..hvala sem popravil..
torej je \(f: \mathbb{R} -> \mathbb{R}\) definirana na intervalu \((-\inf,\frac{1}{2})\)?

zdaj imam eno težavo z neko rekurzijo...
\(a_{1}=2\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+4)\)

Torej kaj je problem... čeprav je rekurzija linearna(mislim ,da je) mi je ne rata pretvoriti v parametrično obliko. Pridem do oblike \(2\lambda = 1 + \frac{4}{\lambda ^n}\)
Drug problem je pa, da ne vem kako matematično dokazati naslednje stvari...
- da je zaporedje navzgor omejeno z 4

Iz teorije vem, da je zaporedje navzgor omejeno če obstaja natančna zgornja meja \(M = sup a_{n}\), ta pa obstaja takrat, ko je a) je zgornja meja zaporedja in b) nobeno manjše število ni zogrnja meja. Problem je zdaj kako to aplicirati na konkreten problem.

- da zaporedje narašča: potem more veljati \(a>b => f(a) > f(b)\)
- Ali je zaporedje konvergentno? Če je, najdi njegovo limito.

Zaporedje {\(a_n\)} konvergira proti vrednosti \(a\), če leže v vsaki okolici števila \(a\) vsi členi zaporedja{\(a_n\)} od nekega člena naprej. Zaporedje, ki ima to lastnost, se imenuje konvergentno, število \(a\) pa limita zaporedja.

kako naj se lotim tega?
hvala
lp

Ja tisti logaritem velja za vse kar je levo od polovicke. p.s. poskusi \mathbb{R}\to\mathbb{R}.

alexa-lol napisal/-a:ahah..hvala sem popravil..
torej je \(f: \mathbb{R} -> \mathbb{R}\) definirana na intervalu \((-\inf,\frac{1}{2})\)?

zdaj imam eno težavo z neko rekurzijo...
\(a_{1}=2\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+4)\)

Torej kaj je problem... čeprav je rekurzija linearna(mislim ,da je) mi je ne rata pretvoriti v parametrično obliko. Pridem do oblike \(2\lambda = 1 + \frac{4}{\lambda ^n}\)

Ja tocno isto kot pri diferencialnih enacbah... homogeni del moras posebej resevat - ko vstavis nastavek \(\lambda^n\) moras brez tiste +4. Celotna resitev je potem kar \(a_n=A\lambda^n+b_n\) pri cemer je \(b_n\) partikularna resitev, A pa dolocis iz zacetnega pogoja (prvi clen).

Bolje je pisat
\(2a_{n+1}-a_n=4\)

Partikularno resitev nastavis ravno tako kot pri diferencialnih enacbah: za polinom na desni strani nastavis polinom iste stopnje (ali malo vecje, ce je poseben primer, ko je polinom tiste stopnje ze resitev homogenega dela).
Konstanten nastavek:
\(b_n=B\)
\(2B-B=4\)
B=4

Polna resitev je potem (iz homogenega dela sledi \(\lambda=\frac12\).
\(a_n=4+A 2^{-n}\)
Iz zacetnega pogoja \(a_0=2\) dobis A=-2 (pri geometrijskih zaporedjih je vedno bolje steti od nicle naprej!).

alexa-lol napisal/-a: Drug problem je pa, da ne vem kako matematično dokazati naslednje stvari...
- da je zaporedje navzgor omejeno z 4

Iz teorije vem, da je zaporedje navzgor omejeno če obstaja natančna zgornja meja \(M = sup a_{n}\), ta pa obstaja takrat, ko je a) je zgornja meja zaporedja in b) nobeno manjše število ni zogrnja meja. Problem je zdaj kako to aplicirati na konkreten problem.

- da zaporedje narašča: potem more veljati \(a>b => f(a) > f(b)\)
- Ali je zaporedje konvergentno? Če je, najdi njegovo limito.

Zaporedje {\(a_n\)} konvergira proti vrednosti \(a\), če leže v vsaki okolici števila \(a\) vsi členi zaporedja{\(a_n\)} od nekega člena naprej. Zaporedje, ki ima to lastnost, se imenuje konvergentno, število \(a\) pa limita zaporedja.

Konvergenca zaporedij je precej enostavna stvar. Za samo omejenost pac najdes neko stevilo in dokazujes da so vsi cleni manjsi (ali vecji - odvisno katera meja je). Ce imas splosni clen, samo resis neenacbo ki jo dobis - recimo \(2^{-n}<2\) je prakticno ocitno, lahko pa tudi logaritmiras.
Ce imas rekurzijo potem poskusi dokazat za naslednji clen, ce privzames da za enega ze velja.
Za narascanje je postopek popolnoma enak, le da ne primerjas enega clena z neko fiksno mejo, ampak primerjas dva zaporedna clena.

Za iskanje same limite pa pac obicajna pravila za limitiranje.

Ce najdes kaksen poseben primer ki ti dela tezave bo lazje razlozit prijeme.

aha hvala
npr.
\(a_1=\frac{1}{4}\)
\(a_{n+1}= 2 a_{n}(1-a_{n})\)

Ali je omejeno, ali konvergira in, če konvergira, kam?

zaporedje je navzgor omejeno z \(\frac{1}{2}\); verjetno se da dokazati z indukcijo, lahko pa upoštevaš dejstvo, da za vsak realen x velja \(x(1-x) \le \frac{1}{4}\) ( to se hitro dokaže z AG neenakostjo).
zračunaš nekaj členov:
\(a_2=\frac{3}{8}\)
\(a_3=\frac{15}{32}\)
zadeva narašča; to lahko dokažeš z indukcijo:
\(a_1<a_2\)
predpostavka: \(a_n<a_{n+1}\)
dokazujemo: \(a_{n+1}<a_{n+2}\)
\(2a_n(1-a_n)<2a_{n+1}(1-a_{n+1})\)
\(a_n-a_n^2<a_{n+1}-a_{n+1}^2\)
\(0<(a_{n+1}-a_n)(1-a_{n+1}-a_n)\)
to pa očitno drži, zaradi predpostavke in ker so vsi členi manjši od 1/2.
limita je tudi 1/2.

aha..hvala Jurij...kaj pa je to AG metoda?
torej, če sem pravilno dojel...naloga bi se rešila tako...

(a)Pokaži, da je zaporedje naraščajoče.
predpostavka: \(a_{n}<a_{n+1}\)
dokazujemo: \(a_{n+1}<a_{n+2}\)
\((a_n+6)^{(\frac{1}{3})} < (a_{n+1}+6)^{(\frac{1}{3})} /^3\)
\(a_n<a_{n+1}\)
Predpostavko smo potrdili
Je to pravilno?

(b) Pokaži, da je zaporedje navzgor omejena z 2.
AG metoda:
\(a_1=1.82\)
\(a_2=1.98\)
\(a_3=1.99\)
oz. če gremo po navodilih Anivillera

Ce imas rekurzijo potem poskusi dokazat za naslednji clen, ce privzames da za enega ze velja.

Predpostavljamo, da za \(a_n\) velja (za \(a_1\) velja)
Dokazujemo, da velja tudi za \(a_{n+1}\), torej
\(a_{n+1}< 2\)
\(a_n+6 < 8\)
\(a_n < 2\)
Torej dokler je predhodnik manjši od 2 to velja in ker je prvi člen manjši od 2 to velja za vse člene. Je to zadostna utemeljitev?

(c)

Zaporedje \({a_n}\) konvergira proti vrednosti \(a\), če leže v vsaki okolici števila \(a\) vsi členi zaporedja \({a_n}\) od nekega člena naprej. Zaporedje, ki ima to lastnost, se imenuje konvergentno, število \(a\) pa limita zaporedja.

Torej ker smo ugotovili, da je zaporedje navzgor omejeno (z 2) in ker vemo, da je naraščajoče iz tega sklepamo, da je konvergentno in ima limito 2.
Je to pravilen sklep?

hvala
lp

Sklepanja so v redu, utemeljitve so zadostne.

Mogoce bi le potek izpeljave lahko malo pocistil.
\(a_{n+1}<a_{n+2}\iff a_{n}<a_{n+1}\)
tukaj se nisi nicesar predpostavil.
Da sele na koncu uporabis predpostavko in pogledas ce je ob predpostavki dobljen izraz resnicen ali ne. Saj to si v bistvu naredil, samo moras potem tako zapisat da se jasno vidi do kje je splosno in kje vstopi predpostavka. Zaradi same preglednosti.

tist, kar snm js uporabu, ni metoda ampak neka splošna neenakost: AG neenakost oz. neenakost med aritmetično in geometrijsko sredino dveh poljubnih pozitivnih števil \(a\) in \(b\) pove sledeče:
\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
če vstaviš \(b=1-a\), dobiš \(\frac{1}{2} \ge \sqrt{a(1-a)}\), iz tega pa potem \(\frac{1}{4} \ge a(1-a)\) (to neenakost sem prej napisal; točen dokaz, da to velja za poljuben a je treba malo bolj razpisati).

k Anivillerju bi dodal: sklep za konvergenco je vredu, pri limiti pa ne; v tvojem primeru je limita sicer res 2, ampak lahko bi pa v dokazu za omejenost dokazal, da je zaporedje navzor omejeno s 5 (kar drži), še zdaleč pa 5 ni limita. limito računaš na sledeč način:
ker je zaporedje konvergentno, postane razlika med členi poljubno majhna; \(\lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = a\), torej limito a zračunaš iz enačbe \(a=\sqrt[3]{a+6}\) (ubistvu enačiš n-ti in n+1 člen).

Aja, tistega z limito sploh nisem opazil. Ja za limito moras pa se izenacit \(a_{n+1}=a_n=a\). To potem skupaj z monotonostjo in omejenostjo pomeni, da je a limita zaporedja.

btw, poznavanje AG izreka ni potrebno, x(1-x) omejis enostavno iz poznavanja lastnosti kvadratne parabole (obrnjena navzdol, najvecjo vrednost ima v temenu).

aha super
kako pa naj se lotim tega...

Znam: določit \(D_f\)
Ne znam: določit \(a\),\(b\), da bo zvezna oz. odvedljiva
Za zvezno odvedljivost sem pa že vprašal in dobil odgovor, da morem pogledati levo in desno limito v točki \(0\) (v tem primeru) in če sta enaki je zvezno odvedljiva.

Na kakšen princip se take naloge rešujejo?

hvala
lp

Aniviller: maš čist prov, sm se že preveč navadu komplicirat.

prvič, g more bit zvezna; torej pogledaš levo in desno limito od g(x) v točki 0.
desna limita: 2
leva limita: b
torej b=2.
g je iz dveh funkcij, ki sta sami zase očitno odvedljivi, torej je potencialno "slaba" točka kvečjemu 0. sedaj pogledaš levo in desno limito odvoda:
desna: 2a
leva: 1
torej a=1/2.
zdej je zvezna in odvedljiva.