Kvarkadabra forum

Hm. Ce integriras s fiksnim korakom, potem je najbolje malo probat - splotaj si rezultat v odvisnosti od koraka in glej, kdaj dosezes zeljeno natancnost. Lahko uporabis oceno napake (za simpsonovo integracijo je npr. napaka sorazmerna z maksimalnim cetrtim odvodom funkcije)
\(\varepsilon\approx\frac{h^4(b-a)}{180}\mathrm{max}f^{(4)}(x)\)
Tudi samo funkcijo lahko splotas in pogledas kako komplicirana je, kaksna je skala najdrobnejsih detajlov (tale funkcija je v resnici precej dolgocasna). Za nizke x se splaca integrirat do nekje, od tam naprej pa uporabiti asimptoticni razvoj, ali pa od tam naprej obrniti integral, da nimas meje v neskoncnosti.

zdravo!
Bom kar tu zastavil nalogo.

Po razsežni planparalelni 5 cm debeli plošči iz neke snovi teče električni tok z gostoto 90 A/cm^2 vzdolž njene dolge osi. Plast iz obeh strani oblivamo z vodo pri temperaturi 0 celzija. Nekje znotraj plasti se zgodi fazni prehod, v katerem se toplotna prevodnost spremeni od 30 W/mK pri nižji temperaturi na 10 W/mK pri višji, imamo pa podate, da je temperatura faznega prehoda snovi enaka 70 stopinjam. Kolikšen delež snovi doživi fazni prehod ? kolikšna je temperatura na sredini plasti ? specifična upornost je \(10 \Omega mm^2 /m\) in se ob faznem prehodu ne spremeni.

Gledam en trak izrezan iz plošče višine d = 5 cm širine: a in dolžine: l gledam samo za zgornjo polovico, ker bo simetrično. Potem sem si izbral plast debeline dy. V tej plasti se proizvaja nek P zaradi električnega toka, nekej priteče od prejšnje plasi nekaj pa odteče v nasledno plast.

zapišem \(\mathrm{d} A / \mathrm{d} t = \zeta \frac{l}{a \mathrm{d} y } j_e^2 a^2 \mathrm {d} y^2 = \mathrm {d} P_e\) to je prispevek električnega toka.

sedaj moram nekako upoštevati še \(P = - \lambda S \frac{\mathrm{d} T } {\mathrm{d} y }\) potem pa se mi zatakne..........

nekako bi tole želel tako zapisat da bi se dalo pointegrirat v dveh delih in bi potem izrazil na kateri višini je meja 70 Stopinj ??
Hvala za odgovore

No, ker je planparalelna plast, lahko ze uganes iz izkusenj, da bo temperaturni profil parabolicen. Zanima te stacionarno stanje.
Recimo, da imas
\(\lambda \frac{d^2T}{dx^2}=-q\)
kjer je q volumska gostota moci (posledica elektricnega toka). Centriras koordinatni sistem na sredino in uvedes neznan x0, pri katerem imas fazni prehod. Potem velja
\(T=\begin{cases}-\frac{q}{\lambda_1}x^2+A & 0<x<x_0\\ -\frac{q}{\lambda_2}x^2+Bx+C & x_0<x<\frac{d}{2}
\end{cases}\)
Zdaj moras samo upostevat robne pogoje. Simetrijo sem ze uposteval z odsotnostjo linearnega clena v prvem delu. Veljati mora se:
* temperatura je zvezna na sticiscu x0
* toplotni tok je zvezen na sticiscu x0
* temperatura na sticiscu x0 je enaka temperaturi prehoda
* temperatura pri d/2 je enaka zunanji
Neznanke A,B,C,x0 dolocis iz teh 4 enacb

imam nekaj problemov pri sledeči nalogi
za začetek:
Imamo nek bazen z začetnim volumnom in začetno koncetracijo, potem noter začen pritekati nek tok čiste vode in ven iz bazena nek tok vode z polutantom. Poleg tega je treba upoštevati še, da se polutant v bazenu razkraja z neko časovno konstanto K (kg/s). ( vedno je dobro premešan bazen)

zastavil sem takole:
\(dm = - \rho (t) \phi_{out} dt\) spreminjanje mase polutanta v bazenu (1)
\(dV = \phi_{in} - \phi_{out}\)

\(dm / dt = - \rho(t) \phi_{out}\) zdej pa ta masa bo pomoje odvisna tud od volumna k se bo spreminjal in sem vzel totalni diferencial mase

\(dm = d\rho V + \rho(t) dV\) ter ga vstavil v gornjo enačbo

\(V d\rho/\rho(t) + (\phi_{in} - \phi_{out}) = - \phi_{out} dt\) ne vidim kako tole diferencialko razrešit?

Potem pa glavna težava kako upoštevam še razpad z časom ?

hvala za pomoč

če zapišem \(dm = -\rho(t)\phi_{out} - K \rho(t) V(t)\) me moti ker je tudi volumen funkcija časa

Volumen lahko resis posebej - gre le za navadno polnjenje,
\(dV=(\phi_{in}-\phi_{out})dt\)
in iz tega
\(V(t)=V_0+(\phi_{in}-\phi_{out})t\)
Pri tvojih zapisih se diferenciali ne izidejo, kar je najbrz delni razlog za tezave. Poleg tega se moras odlocit s cim izrazat - ce izrazas z maso, potem moras gostote (koncentracije) pretvorit. Ali obratno.
Za spremembo mase zapisi
\(dm=-\phi_{out}\frac{m(t)}{V(t)}dt-\lambda m(t)\,dt\)
kjer sem z \(\lambda\) zapisal karakteristicno konstanto spontanega razpadanja (=1/tau). Zdaj separiras spremenljivke:
\(\frac{dm}{m}=-\frac{\phi_{out}}{V(t)}dt-\lambda\,dt\)
Integriras:
\(\ln \frac{m}{m_0}=-\frac{\phi_{out}}{\phi_{in}-\phi_{out}}}\ln\frac{V_0+(\phi_{in}-\phi_{out})t}{V_0}-\lambda t\)
\(m=m_0 e^{-\lambda t}\left(\frac{V_0+(\phi_{in}-\phi_{out})t}{V_0}}\right)^{-\frac{\phi_{out}}{\phi_{in}-\phi_{out}}}}\)
Preveris lahko s ekstremne variante. Kot prvo opazis, da razpadanje samo pomnozi z razpadnim delezem. Ce nic ne priteka, potem dobis
\(m=m_0 e^{-\lambda t}\left(\frac{V_0-\phi_{out}t}{V_0}}\right)\)
To je prav (masa se zmanjsuje z delezem preostalega volumna zaradi odtekanja).
Druga skrajnost je, da sta hitrosti pritekanja in odtekanja enaki. V tej situaciji rabis limito: uvedes \(x=\phi_{in}-\phi_{out}\) in ostane
\(m=m_0 e^{-\lambda t}\left(1+\frac{xt}{V_0}\right)^{-\frac{\phi_{out}}{x}}}\)
To prepoznas kot limito ki vodi v eksponento funkcijo (v stilu (1+x/n)^n=e^x). Ostane
\(m=m_0 e^{-\lambda t}e^{\frac{-\phi_{out} t}{V_0}}\)
Ker volumen ostaja enak imas spet samo eksponentno popuscanje. To vidis tudi direktno, ce v diferencialni enacbi postavis ustrezne stvari na 0 in integriras ponovno.

no sedaj bi pa samo še tole preveril

1) Značilne časovne konstante gornje rešitve ? lahko rečem kar \(\lambda\) ali to pomeni poiskati kako se obnaša stvar ob t = 0 in t = neksončno

2) ali koncentracija doseže lokalni ekstrem in ob katerem času ? torej ob času t = 0 je največja koncetracija, ali moram preveriti še z odvodom po času

3) kaj pomeni člen \(| \phi_{in} - \phi_{out}| / V_0\) če je iztok večji od pritoka ? je prav če rečem: če bo to število 1 se bo bazen izpraznil, torej nek čelen praznjenja

hvala za pomoč

1) Dogajanje je na razlicnih casovnih skalah. Poleg lambde, ki je svoja neodvisna skala, imas se karakteristicni cas praznenja \(V_0/\phi_{out}\) (ki v primeru da je odtok in pritok enak, stoji kar v eksponentu, v ostalih primerih pa tudi lahko reces da pove vsaj nekaj v tem stilu). Tudi \(V_0/(\phi_{in}-\phi_{out})\) lahko reces, da ima neko vlogo: meri tipicen cas praznenja/ponjenja.

2) Koncentracija lahko samo pada. Odtekanje koncentracije ne spreminja, pritekanje koncentracijo niza, razpadanje pa tudi.

3) Tisti clen deluje v vsakem primeru, ne glede na predznak, samo absolutne vrednosti ne dodajat. Ce sta pretoka enaka, je ta clen 0 in je bazen skozi enako poln. Ce je iztok vecji od pritoka, se bazen izprazni (po casu, ki je reciprocna vrednost tega izraza), ce je pa pritok vecji, se pa lepo polni.

Pozdravljeni!

Imam zanimivo nalogo, in sicer opazujemo stebr z radijem R, ki se mu tok delcev z radijem a približuje z desne strani in se na njem elastično sipajo. Te delci
(ploščki) so enakomerno porazdeljeni po širini L. N št ploščkov je veliko. Gol je postavljen na oddaljenosti d od stebra in ima širino w, lahko predpostavimo
d>> R d>> w w>> a.

A) Kakšna je povezava med udarnim parametrom b in sipalnim kotom theta za delec?
B) Koliko ploščkov bo končalo v golu, koliko jih bo zadelo steber?

Rabil bi kakšen konkreten namig za tale sipanja.

vse kar mi je ratalo je, da sem poiskušal rutherfordovo sipanje prevest na 2D
\(\sigma(\Omega) \mathrm {d} \Omega = \mathrm{d} I / j\)

\(\mathrm{d} \Omega = 2 \pi \mathrm {d} \theta\)
\(\mathrm {d} I = j \mathrm {d} S\)
Kako tukaj upoštevam te odboje delcev od stebra ?
hvala za pomoč
\(\sigma(\theta) = \mathrm {d} S / 2\pi\mathrm{d}\theta\)

Tudi jaz imam problem...prosim za pomoč!
Imamo 3 matematična nihala (z lahkimi prečkami dolžine l in masami m), ki so povezana z dvema vzmetema s koeficientom k. Obravnavati moram zastojne točke in gibanje v njihovi okolici.

Kaj so zastojne točke?
Točke, kjer ima pot.+pr. energija ekstrem?

Ma to je navadno sklopljeno nihalo. In ja, zastojne tocke lahko poisces z odvajanjem, ampak tukaj je itak verjetno misljeno da resujes lineariziran sistem, kjer imas eno samo zastojno tocko (osnovno stanje) in harmonicno nihanje s tremi lastnimi nacini nihanja okoli te tocke. Ce delas poln sistem s kosinusi v potencialni energiji, potem je pa dvoumno kako so tiste vzmeti pripete. V tem primeru je seveda (nestabilna) zastojna tocka tudi ko so vsa tri nihala navpicna.