Ekstremalni problem

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Tde
Prispevkov: 37
Pridružen: 12.6.2006 13:33

Ekstremalni problem

Odgovor Napisal/-a Tde »

Ali mi lahko prosim pomagate s sledečo nalogo:

Krožnici s polmerom 7 cm včrtamo enakokraki trikotnik z največjo ploščino. Izračunaj stranice trikotnika.

Problem nastane, ko moram iz neke druge enačbe izpostaviti eno izmed količin, da lahko potem izračunam odvod. (Če razumete kaj mislim).

Hvala in LP

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Pa odvajaj implicitno (če razumeš, kaj mislim).

Tde
Prispevkov: 37
Pridružen: 12.6.2006 13:33

Odgovor Napisal/-a Tde »

Hmm, nisem povsem prepričan da razumem. Mogoče nisem povsem jasno napisal, kaj mi dela težave.

Torej; ker gre dejansko za odčrtan krog enakokrakega trikotnika, lahko izrazim ploščino iz enačbe \(S=\frac{abc}{4R}\) in ker imam \(R\) podan (v kolikor razumem, \(R\) v tem primeru predstavlja polmer odčrtanega kroga) ter gre za enakokrak trikotnik, malo preuredim enačbo, ter dobim \(S=\frac{cb^2}{28}\)(z b-jem sem označil enaki stranici enakokrakega trikotnika)

Ker gre za maksimalno možno ploščino, moram izračunati odvod, torej \(S'=0\). Tu nastane težava, saj je nekje potrebno dobiti \(c\) in ga izraziti kot \(b\) (ali obratno). Tukaj se nato ustavi.

Mogoče bi moral izraziti ploščino drugače, torej kot običajno ploščino trikotnika \(S=\frac{c\cdot V_c}{2}\) ter si nato s pitagorovim izrekom pomagati, da bi izrazil višino (torej: \(V_c^2=(\frac{c}{2})^2 + b^2\), korenim ter vstavim v prvo enačbo malo preuredim in dobim \(S=\frac{c^2+2b}{4})\). Sedaj zopet potrebujem ali \(c\) ali \(b\).

Lahko bi si pomagal s polmerom, ki zgleda, da predstavlja \(\frac{2}{3}t_b\) vendar velja ta zveza le za enakostranični trik. Tako da s tega ne bo nič.
Ker potrebujem stranice, bi mi mogoče prav prišla heronova formula, uporabil bi lahko kosinusni ali sinusni izrek, vendar nimam kotov, razen tistega pri \(V_c\), ki meri \(90°\),...

Ampak sem prepričan, da je stvar zagotovo lažja, kot si jo sam delam. Tako da lepo prosim, za kak namig.

Hvala

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Nalogo si praktično že rešil. Ideja s pitagorovim izrekom je popolnoma zdrava, čeprav se na videz vidi, da si z njo ne boš dosti pomagal. Bom nadaljeval tvojo misel.
Višina trikotnika je \(\sqrt{b^2+(\frac{c}{2})^2}\)
Ploščina trikotnika je tedaj:
\(S=\frac{c}{2}\sqrt{b^2+(\frac{c}{2})^2}\)
Iz enačbe \(S=b^2c/(4R)\) izrazi \(b^2\) in ga vstavi v zgornjo enačbo. Dobiš kvadratno enačbo za spremenljivko S:
\(S^2-RSc-\frac{c^4}{16}=0\)
Izrazi S kot rešitev kvadratne enačbe, jo odvajaj po c in odvod enači z nič. C dobiš kot ničlo odvoda. Potem pa še izračunaš b iz ene od enačb.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Tde, ZdravaPamet:

V izrazu za višino trikotnika se je prikradel lapsus, saj je višina na \(c\) kateta. Pravilno je:

\(v_c^2 = b^2 - c^2/4\).

Sicer pa je pot dobra, čeprav vodi v odvajanje korenov, kar da za rezultat "klobaso".

Osebno bi izbral malo drugačno pot kot ZdravaPamet, pri kateri ni treba premetavati enačb za ploščino trikotnika in kasneje reševati kvadratno enačbo, da pa seveda popolnoma enak rezultat za \(S = f(c)\).

Na kratko:

\(S = 1/2cv_c = 1/2c(R+x) = 1/2c(R+ \sqrt{R^2-c^2/4})\),

kjer je \(x\) višina enakokrakega trikotnika z osnovnico \(c\) in krakoma \(R\).

Ko odvajamo \(S\) po \(c\) in odvod izenačimo z \(0\), dobimo \(c = R \sqrt{3}\).

Iz sinusnega izreka sledi:

\(\frac{c}{\sin \gamma} = 2R \Rightarrow \sin \gamma = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \gamma = 60 ^{\circ}\).

Iz vsote notranjih kotov v enakokrakem trikotniku seveda sledi:

\(2 \beta + \gamma = 180 ^{\circ} \Rightarrow \beta = 60 ^{\circ}\),

kar pomeni, da je včrtani enakokraki trikotnik z največjo ploščino ravno enakostranični.
Zadnjič spremenil shrink, dne 23.2.2007 16:09, skupaj popravljeno 1 krat.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Ja, vsekakor lepša pot.

ges
Prispevkov: 45
Pridružen: 20.7.2006 22:11

Odgovor Napisal/-a ges »

Bi prosil za pomoč pri podobni nalogi, le da se rešitev dobi prek temena kvadratne enačbe. In sicer:
Krogli s polmerom 4 dm včrtamo pokončni valj z največjim možnim plaščem. Izračunajte polmer in višino valja.

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Odgovor Napisal/-a Jurij »

nism zihr...
mamo dve enačbi:
\(2*\pi*r*h=max\)
in
\(4*r^2+h^2=4*4^2\)
izrazmo
\(h^2=4*(4^2-*r^2)\)
no tle je predpostavka k nism čist zihr:
\(2*\pi*r*h=max \rightarrow (2*\pi*r*h)^2=max\)
če daš za max f(r) in iščeš teme dobiš
\(f(r)= -16+\pi^2*r^4+1024*\pi^2*r^2

p=r^2=-\frac{b}{2a}=32

r=4*\sqrt2\)

Tde
Prispevkov: 37
Pridružen: 12.6.2006 13:33

Odgovor Napisal/-a Tde »

@ZdravaPamet, Shrink:

Nalogo sem rešil, hvala za napotke (in za popravke), vendar bi še nekaj vprašal; do rezultata sem prišel tako, kot mi je svetoval ZdravaPamet in sem se kar pošteno namučil z vsemi koreni in potencami,...
Shrink, podal si krajšo pot in hitro si nakazal da lahko iz enačbe \(S=\frac{1}{2}c\cdot V_c\) dobimo \(S=\frac{1}{2}c\cdot (R+x)\), vendar tega koraka ne razumem. Mogoče bi lahko na hitro pojasnil?
(\(x\) je višina in \(R\) je krak, ne vem pa, zakaj to sešteješ.)

P.S. V rešitvah piše da je rezultat \(c=7\sqrt{3}cm\) in \(a=b=7cm\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pojasnilo:
Ce ima enakokraki trikotnik ABC vrh v C in je O sredisce kroznice je v tem primeru x visina trikotnika ABO, kar je "spodnji del" visine celotnega trikotnika. Malo si narisi.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Glede gesove naloge. Jaz bi pisal kar v tej obliki:
\(S_{plasc}=4\pi r \sqrt{R^2-r^2}=4\pi\sqrt{r^2(R^2-r^2)}\)
Koren je monotona funkcija, zato bo dosegla največjo ploščino, takrat ko bo največji izraz pod korenom (ta stavek je slabo formuliran). Se pravi, da iščeš maksimum "kvadratne" funkcije \(f(r)=r^2(R^2-r^2)\) oziroma \(g(u)=u(R^2-u)\), kjer je \(u = r^2\).
R je polmer krogle, r polmer valja, h njegova višina.
Maksimum je očividno pri:
\(r^2 = \frac{1}{2}R^2\)
Torej: \(r=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) in \(h = 2\sqrt{R^2-r^2}=2\sqrt{2}\)

Tde
Prispevkov: 37
Pridružen: 12.6.2006 13:33

Odgovor Napisal/-a Tde »

Aniviller, hvala za pojasnilo. Se mi je zdelo, da je to to, vendar sem raje vprašal.
Hvala še enkrat.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Tde napisal/-a:@ZdravaPamet, Shrink:

Nalogo sem rešil, hvala za napotke (in za popravke), vendar bi še nekaj vprašal; do rezultata sem prišel tako, kot mi je svetoval ZdravaPamet in sem se kar pošteno namučil z vsemi koreni in potencami,...
Obstaja elegantna pot do rešitve, pri kateri se ogneš odvajanju korenov, je pa skupek vseh nasvetov, ki jih je dal ZdravaPamet 8) . Izhajamo iz kvadratne enačbe (zaradi prej omenjenega lapsusa se spremeni samo predznak pri zadnjem členu), ki jo je izpeljal:

\(S^2 - RSc + \frac{c^4}{16}=0\).

Namesto, da jo rešimo za \(S\), jo raje implicitno odvajamo (kakor je predlagal v prvem postu), pri tem moramo imeti v mislih, da je \(S = f(c)\):

\(2SS' - RS - RS'c + \frac{c^3}{4}=0\).

Od tod izrazimo \(S'\):

\(S' = \frac{RS - \frac{c^3}{4}}{2S - RC}\).

Ekstrem je seveda pri pogoju \(S' = 0\), kar pomeni, da mora biti števec enak \(0\):

\(RS - \frac{c^3}{4} = 0 \Rightarrow c^3 = 4RS\).

Če v zadnji enakosti upoštevamo \(S = \frac{b^2c}{4R}\), dobimo:

\(b=c\),

torej, da gre res za enakostranični trikotnik.

Sedaj samo še izenačimo obe enačbi za ploščino:

\(S = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \frac{c^2}{4}}\) in \(S = \frac{b^2c}{4R}\)

pri dobljenem pogoju \(b=c\).

Dobimo:

\(\frac{c^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{c^3}{4R}\)

in od tod:

\(c = R \sqrt{3}\).
Shrink, podal si krajšo pot in hitro si nakazal da lahko iz enačbe \(S=\frac{1}{2}c\cdot V_c\) dobimo \(S=\frac{1}{2}c\cdot (R+x)\), vendar tega koraka ne razumem. Mogoče bi lahko na hitro pojasnil?
(\(x\) je višina in \(R\) je krak, ne vem pa, zakaj to sešteješ.)
Upam, da je že dovolj dobro pojasnil Aniviller, dodal bi le, da je pot do zveze \(S = f(c)\) res krajša, vendar to ne odpravi problemov pri odvajanju korenov (na en ali drug način prideš do iste zveze). Sam seveda nisem odvajal in reševal enačb na roke, ampak sem to prepustil Maple-u; zato sem tudi napisal direktno rešitev \(c = R \sqrt{3}\). Vsekakor pa iz te rešitve (tudi brez uporabe sinusnega izreka) izhaja:

\(b = R \sqrt{3}\).

V to se lahko prepričaš, če iz \(c\) izračunaš najprej \(x\) (preko Pitagore), nato \(v_c\) in nazadnje \(b\) (spet preko Pitagore).
P.S. V rešitvah piše da je rezultat \(c=7\sqrt{3}cm\) in \(a=b=7cm\)
Ta rešitev je očitno napačna.

Tde
Prispevkov: 37
Pridružen: 12.6.2006 13:33

Odgovor Napisal/-a Tde »

Hvala za odgovor.

LP

ges
Prispevkov: 45
Pridružen: 20.7.2006 22:11

Odgovor Napisal/-a ges »

@ZdravaPamet, samo eno vprašanje zakaj je \(r=\sqrt{2}\) če je R=4, (drugače so rešitve enake kot v knjigi)?

Odgovori