Ekstremalni problem

[ZdravaPamet]

Zato, ker sem se zmotil, verjetno sem na dušek privzel, da je \(R=2\). Bolj prav bo tole: \(r=2\sqrt{2}\)

[ges]

Aha, ok, hvala, končno razumem .

[superca]

jaz mam tudi nelogo na to temo
1.)
zgraditi želimo bazen s kvadratnim dnom in prostornino 256 m3. Kakšne morajo
biti njegove dimenzije, da bo za betoniranje sten in dna potrebno najmanj materiala?

2.) iz enega metra žice -elimo izdelati enakostranični trikotnik in kvadrat. Kolikšni
morata biti stranici obeh likov, da bo vsota njunih ploščin največja?

[Jurij]

1. \(S=a^2+5ah\), h pa izraziš iz \(V=a^2h\), potem pa S odvajaš po a.

2. stranica trikotnika: \(a\), stranica kvadrata: \(\frac{1-3a}{4}\). potem pa maksimiziraš \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+(\frac{1-3a}{4})^2\).

[superca]

Ob ogliščih pravokotnega kartona z roboma 24dm in 12dmizrežemo skladne kvadrate in iz ostanka sestavimo škatlo brez pokrova.
a) kako veliki morajo biti kvadrati , da bo imela škatla največjo možno prostornino?
b) preveri, da je bobljena rešitev res maksimum
c) Koliko škatel moramo izdelati, če želimo , da bo njihova skupna prostornina vsaj \(50 m^3\) ?

[Aniviller]

Ja izrazi stranice skatle z dimenzijami kartona in stranico kvadratov ki jih izrezes - ena skica pa je problem resen. Potem samo maksimiziras glede na stranico kvadrata.

[superca]

pri tej nalogi , že prej omenjeni ...zgraditi želimo bazen s kvadratnim dnom in prostornino 256 m3. Kakšne morajo
biti njegove dimenzije, da bo za betoniranje sten in dna potrebno najmanj materiala
kaj je tukaj a ? Za v je 256 . zanima me kaj je a

sicer pa ja.. rauno dobro ne razumem teh nalogic ekstremalnih problemov... tko da bi bila zelo vesela rešenih nalog oz postopkov

[Aniviller]

Vsi ti prakticni ekstremalni problemi so cisto predstavljiva stvar: vse izrazis z neko kolicino, ki jo "spreminjas" dokler ne najdes optimalne resitve. Matematicno to naredi nicla odvoda, lahko je pa tudi fizicno izvedljivo (recimo pri trikotniku s fiksnim obsegom si lahko predstavljas sklenjeno vrvico in tri bucike, ki jih prestavljas tako, da bo ploscina najvecja). Zato lahko govorimo o optimizaciji/prilagajanju/variaciji (namesto da zares spreminjas spremeljivko in gledas kdaj bo ekstrem, to naredi matematicni postopek).

Pri bazenu s KVADRATNIM dnom lahko hitro ugotovis kako smo se odlocili oznacit kolicine (pa se dokaj standardne oznake so). Recimo da oznacis stranico kvadrata z a, visino bazena pa s h:
\(S=a^2+4ah\)
Iz pogoja \(V=a^2h\) zdaj izrazis neko spremeljivko (ni vazno katero, s tem samo izbiras katero spremeljivko prilagajas pri iskanju ekstrema, druga mora pa itak sledit da ohranja volumen). Recimo ce izberes a:
\(S=a^2+4a\frac{V}{a^2}=a^2+\frac{4V}{a}\)
Odvajas, poisces niclo:
\(S'=2a-\frac{4V}{a^2}=0\)
\(a=\sqrt[3]{2V}\)

Ce izberes "h", potem dobis pa
\(S=\frac{V}{h}+4\sqrt{V/h}h=\frac{V}{h}+4\sqrt{Vh}\)
odvajas zdaj po "h"
\(S'=-\frac{V}{h^2}+2\sqrt{V/h}=0\)
\(h=\left(\frac{\sqrt{V}}{2}}\right)^{2/3}\)

Obe resitvi sta seveda enaki, le drugo spremeljivko smo gledali ko smo spreminjali obliko bazena (itak sta povezani preko volumna).

Za to nalogo kjer izrezes okvir skatle je pa takole: ce narises "nacrt" take zgibanke, vidis ce iz pravokotnika s stranicama a,b izrezes na robovih 4 kvadrate s stranico x, bo po prepogibanju visina skatle "x", sirina "b-2x" in dolzina "a-2x", volumen bo torej
\(V=x(a-2x)(b-2x)\)
Zdaj samo isces x pri katerem je volumen najvecji (spet odvajas in poisces niclo).

[superca]

\(V=(24-2a)(12-2a)*a\)
\(V= 4a^3 -72a^2+ 288a\)
\(V'= 12a^2 -144a +288 = 0\)
\(v'= 24a -144 = 0\)
... \(a = 6-2*\sqrt{3}\)
\(a= 2,53\)

a vstavim v formulo \(24*2,53 -144 = -83.28\)

[Aniviller]

Ja. Edino formalno najdes dva ekstrema (kvadratno enacbo imas) in en je maksimum, en je minimum (kar preveris z drugim odvodom).

Imam se to pripombo: ce uporabljas latex, pisi v lepi formalni obliki (nobenih zvezdic za mnozenje - v vecini primerov se mnozenja ne pise, ce pa moras, recimo med dvema stevilkama, je pa lepse \cdot).

[superca]

aha potem je biu minimum ...
in max je .. \(6+2\sqrt{3} = 9,46\)
\(24\cdot 9,46 - 144 = 83.04\)

kako pa primer c?

[Aniviller]

Ne prej je bilo prav. Minimum ima pozitiven 2. odvod in maksimum negativnega. Poleg tega lahko tudi v volumen vstavis in vidis ce dobis smiselne rezultate.

c? Ja zdeli z volumnom ene skatle.

[superca]

\(V= 4\cdot 2,53^3 -72\cdot2,53^2 +288\cdot2,53 = 332\)
\(332: 50 = 6,64\)

[Aniviller]

Aha zdaj te je pa zasralo to kar pocnes ze skozi: ignoriras enote. Potrebujemo skupen volumen 50m^3, ti imas pa 332dm^3. Deljenje imas narobe obrnjeno in enote se ti ne izidejo. In potem moras navzgor zaokrozit rezultat ker te sprasuje koliko skatel potrebujes, da bo VSAJ 50m^2 (nocemo strganih polovicnih skatel ampak cele).

[superca]

\(332dm^3 = 0,332m^3\)

\(\frac{50m^3}{0,332m^3} = 150\)