Diferencialne enačbe

[psevdonim]

Živeli, ali kdo pozna program, s katerim bi dobil rešitve za 3., 4. in 5. nalogo na sliki

http://www.mediamax.com/psevdonim/Hosted/kolokv.jpg

Ali pa če kakšna glavca umira od dolgcajta in se mu / ji da tole rešiti ? Rešitve za 1., 2., 7. in 8. nalogo sem dobil z Derive, za 6. pa z Graph (padowan.dk) .
Hvala.

[ZdravaPamet]

Pri tretji loči spremenljivki in integriraj.
Pri četrti najprej poišči splošno rešitev homogenega dela, potem pa z nastavkom \(Ax+B\) poišči partikularno rešitev nehomogene. Vsota teh dveh je rešitev enačbe.
Pri peti ima enačba konstantne koeficiente, zato nastaviš karakteristični polinom in izračunaš njegove ničle. Rešitve bodo linearna kombinacija e\(^{nicla polinoma\cdot x}\).

[psevdonim]

Hvala za odgovor.
Ali bi tole bila rešitev 5. ?



Še vedno ostaja vprašanje, ali obstaja program za reševanje tovrstnih enačb.
___________

[ZdravaPamet]

Prvi koren je 1, druga dva pa sta 3 in dva, zato je rešitev:
\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}\)

[psevdonim]

seveda 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3 in tako naprej
Ostali dve nalogi si bom raje pustil za jutri
hvala.

[psevdonim]

za tretjo se mi zdi, da sem našel splošno rešitev:

Kaj pa naj zdaj s točkama (1,2) ?

[ZdravaPamet]

Mislim, da bo prav. Navadno jo sicer pišemo takole \(y=Ce^{x^{2}}\), ampak nič ne de. Da iz množice rešitev najdeš iskano, moraš določiti konstanto C glede na dani pogoj. Se pravi
\(y=2; x=1\)
\(2=Ce^{1}\)
\(C=2e^{-1}\)
Torej je iskana rešitev
\(y=2e^{-1}\cdot e^{x^{2}}=2e^{x^{2}-1}\)

[psevdonim]

hvala za odgovor.
Sicer sem jaz s svojimi matematičnimi akrobacijami prišel do rezultata c= -0.306 ,a se bom raje držal tvojega predloga.



http://www.mediamax.com/psevdonim/Hoste ... resena.jpg

Pri četrti pa sem treščil v zid - ne vem več naprej. Kam pride zdaj ta 3x ?



http://www.mediamax.com/psevdonim/Hosted/cetrta.jpg

[ZdravaPamet]

No, homogeni del si rešil in dobil splošno rešitev \(y=Ce^{-x}.\) Da dobiš splošno rešitev celotne enačbe, pa moraš poiskati še eno njeno partikularno rešitev, katerokoli netrivialno. Dobiš božanski navdih, da bo partikularna rešitev takele oblike:
\(y=Ax+B\),
kjer sta A in B parametra. Da ju določimo, vstavimo y v prvotno enačbo. Dobimo:
\(A+Ax+B=3x\)
Od tod je očitno \(A+B=0\)in \(A=3\), oziroma A=3 in B=-3. Partikularna rešitev za \(y'+y=3x\) je \(y=3x-3\) splošna rešitev te enačbe pa je vsota splošne rešitve homogenega dela in partikularne, torej:
\(y=Ce^{-x}+3x-3\)

[psevdonim]

A+Ax+B=3x
torej: Ax-3x = 0 in Ax=3x
delimo z x in dobimo A=3. Razumljivo.
Kako dobiš, da je A+B=0, je pa malo manj razumljiva zgodba.
A upam, da sem kolokvij pisal pozitivno in se mi nikoli več ne bo treba ukvarjati s tem.
Hvala za pomoč pri reševanju teh enačb.

[ZdravaPamet]

V resnici ne deliš z x, ampak primerjaš koeficiente pred x na levi in na desni, ter številke, ki nimajo x-a. Konec koncev mora veljati enakost.

[psevdonim]

Tako pride ven, če delaš nekaj po na pamet naučenih postopkih, brez da bi se ti sanjalo, za kaj sploh gre.
Če bi bilo vprašanje "Izračunaj obseg kvadrata s stranico 2 cm" - vem, kaj je obseg, kvadrat, stranica in cm, o tem imam slikovno / prostorsko predstavo - to znam rešiti brez da bi v matematičnem priročniku iskal ustrezno formulo, v skrajnem primeru bi kvadrat narisal in obseg izmeril.
Če pa piše "Poišči splošno in partikularno rešitev nehomogene diferencialne enačbe tretjega reda s konstantnimi koeficienti" (ali nekaj vsaj od daleč podobno temu vprašanju) - verjamem, da obstajajo na svetu ljudje, ki dejansko vedo, za kaj gre, a jaz, žal, nisem med njimi.
Toliko, če si slučajno učitelj matematike in poslušalstvo gleda bolj na uro, kdaj bo konec predavanj, kot na tablo.
Za vsako poglavje narediti najmanj en primer uporabnosti. Tako smo pri odvodih drugega reda (vsaj zdi se mi) računali, za koliko se spremeni volumen rezervoarja s stranico 2m, če pride do spremebe stranice za 1 mm in rezultat je menda bil presetljivih 12 litrov. In, ker gre za elektro smer, v kolikšnem času doseže tok skozi tuljavo 5 amperov. To pa je bilo pri logaritmih ali eksponentnih enačbah, ne vem več točno.
Ni težkih in lahkih predmetov, so pa dobri in slabi predavatelji.

[ZdravaPamet]

Imaš prav, "slab" predavatelj, pa naj bo zaradi lastne lenobe ali pa genov, povzroči marsikak siv las. Po drugi strani pa se mora študent v vsakem primeru potruditi mnogo bolj kot predavatelj, saj študira on, ne pa njegov profesor. Kar pa se tiče dif. enačb, pa je zadeva precej smiselno podana. Najbrž poznaš matematično-fizikalni rek, da diferencialne enačbe v bistvu delimo v dve skupini: take, ki jih znamo reševati in take, ki nastopajo v praksi. Ja! Večinoma ne gre drugače kot z numeričnimi metodami ipd. Tako da če ti raste pritisk, ker ne znaš rešiti vseh enačb, brez skrbi, takega ni pod soncem. Seveda, določene enačbe se da precej elegantno rešiti.
Recimo, da imaš linearno diferencialno enačbo drugega reda
\(y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)\).
Popolnoma vsake take enačbe se ne da kar tako rešiti. Teorija pa pravi: splošna rešitev bo vsota njene partikularne rešitve in splošne rešitve homogenega dela. Kaj to pomeni? Najprej postaviš desno stran enako 0 in rešiš tako imenovan homogen del. Tega se da lepo rešiti, če sta a(x) in b(x) konstanti, drugače pa se pogleda v priročnike, navadno so rešitve celo specialne funkcije. Ko si našel splošno rešitev tega homogenega dela, iščeš še partikularno. Partikularna rešitev je ena od netrivialnih (neničelnih) funkcij, ki reši prvotno enačbo. Ena je dovolj!
Poiščeš pa jo s kakimi nastavki. Zgoraj sem uporabil t.i. metodo nedoločenih koeficientov, ki je uporabna, če imaš na desni strani kak polinom, eksponentno funkcijo... dobil sem funkcijo \(y=3x-3,\) ki je, če preskusiš, rešila začetno enačbo.
Zanimiva metoda je tudi variacija parametrov, kjer za nastavek vzameš kar splošno rešitev homogenega dela in se delaš, da so konstante (C-ji, če hočeš) funkcije ustrezne spremenljivke.

[_eva]

Hej,

jaz bi pa prosila za pomoč pri dveh bolj teoretičnih vprašanjih.

1. Koliko partikularnih rešitev ima enačba x' + xy = x^2?
a) 0
b) 1
c) neskončno
d) nič od naštetega

2. Linearna diferencialna enačba prvega reda ima partikularne rešitve. Koliko jih je?
isti možni odgovori

Ker je partikularna tista rešitev, ki ima določeno konstanto, je torej takih rešitev neskončno mnogo. Muči pa me to, ker smo pri reševanju linearne de prvega reda napisali splošna rešitev=partikularna + homogena; pri čemer partikularna ne vsebuje nobene konstante in bi torej bila samo 1? Mi lahko kdo to pomaga razjasnit?

Hvala,

Lp

Eva

[shrink]

V bistvu si na vprašanje odgovorila že kar sama. Partikularna rešitev je vsaka rešitev, ki reši nehomogeno enačbo. Za lin. d.e. 1. reda je splošna rešitev:

\(y(x)=y_p(x)+Cy_h(x)\).

Partikularnih rešitev je neskončno mnogo, saj \(C\) lahko poljubno izbiramo. Za \(C=0\) je npr. partikularna rešitev \(y_p(x)\). Skratka: \(y_p(x)\) je samo ena od partikularnih rešitev.