Ponavadi greš kar z nastavkom, posebno pri teh posebnih sortah diferencialnih enačb, kjer veš kaj pričakovat. Lahko greš seveda tudi z variacijo konstante, ampak z nastavkom je dosti boljše. Levi del enačbe slika polinome v polinome (odvajanje in množenje z x), tako da veš, da mora biti rešitev polinom. Stopnja 3 je očitna iz tega, da nižje stopnje so že porabljene, višja pa ne more bit, ker bi ostali notri x^4 členi. Torej probaš s polinomom tretje stopnje.delta napisal/-a:Imam Euler-Cauchyjevo enačbo:
\(y''x^2-2y'x+2y=K(x^3+1)\)
Homogeni del dobim:\(y=Ax+Bx^2\)
partik. naj bi bil:A:\(y_{pa}=x^3C\), \(y_{pa}=K/2x^3\),
\(y_{pb}=D->y_{pb}=K/2\), splošna je: \(y=Ax+Bx^2+C(x^3+1)\)
Kako smo dobili partikularni del?
Diferencialne enačbe
Re: Diferencialne enačbe
Re: Diferencialne enačbe
Zanima me kako bi se rešila ta diferencialna enačba:
\(xyy'=x^2+2y^2\)
baje, da bi morala uvesti novo spremenljivko \(u=y/x\)
\(xyy'=x^2+2y^2\)
baje, da bi morala uvesti novo spremenljivko \(u=y/x\)
Re: Diferencialne enačbe
Ja nova spremenljivka je: \(y=ux\), to odvajaš da dobiš \(y'\). Dif.enačbo še deliš z \(xy\), da na levi dobiš samo \(y'\), na desni pa ostalo. V njo vstaviš novo spremenljivko in zamenjaš \(y'\).Na koncu dobiš enačbo: \(x (du/dx)=1/u\), ta pa je z ločljivmi spremenljivkami. To rešiš in na koncu še u-je zamenjaš za \(y/x\), da dobiš prvotne spremenljivke.
Re: Diferencialne enačbe
Na desni strani manjka en člen:
\(xu'=\frac{1}{u}+u\)
kar je tudi dif. en. z ločljivima spremenljivkama, le da se je treba integriranja po \(u\) lotiti s substitucijo.
\(xu'=\frac{1}{u}+u\)
kar je tudi dif. en. z ločljivima spremenljivkama, le da se je treba integriranja po \(u\) lotiti s substitucijo.
Re: Diferencialne enačbe
hmmm ali ni tako da se u odšteje?
Če je \(y'=u+x(du/dx)\), je tukaj en u, pri členu \((x^2+y^2)/xy\) pa dobimo \(1/u+u\) in se u-ja odštejeta in ostane samo še \(xu'=1/u\)..
Če je \(y'=u+x(du/dx)\), je tukaj en u, pri členu \((x^2+y^2)/xy\) pa dobimo \(1/u+u\) in se u-ja odštejeta in ostane samo še \(xu'=1/u\)..
Re: Diferencialne enačbe
Člen na desni je \(x^2+2y^2\).maxwell napisal/-a:hmmm ali ni tako da se u odšteje?
Če je \(y'=u+x(du/dx)\), je tukaj en u, pri členu \((x^2+y^2)/xy\) pa dobimo \(1/u+u\) in se u-ja odštejeta in ostane samo še \(xu'=1/u\)..
Re: Diferencialne enačbe
Se pravi da potem se loči spremenljivke tako:
\(du/(u+1/u)=xdx\) ?
In naprej normalno z integriranjem, potem pa na koncu šele vstavimo nazaj y in x?
\(du/(u+1/u)=xdx\) ?
In naprej normalno z integriranjem, potem pa na koncu šele vstavimo nazaj y in x?
Re: Diferencialne enačbe
Pride \(dx/x\), pri u-ju pa moraš odpraviti dvojni ulomek, da vidiš, katero novo spremenljivko uvesti.
Diferencialne enačbe
Prosim za pomoč pri dveh DE.
\(-y''=\lambda y'\)
\(-y''+xy= \lambda y\)
Prvo mislim da znam rešit. Z nastavkom \(y= e^{r x}\) dobimo karakteristično enačbo: \(r^{2}+\lambda=0\) ter rešitev
\(C_{1} \sin ( \lambda x) + C_{2}\cos (\lambda x)\).
Kako pa naj se lotim druge?
Hvala!
\(-y''=\lambda y'\)
\(-y''+xy= \lambda y\)
Prvo mislim da znam rešit. Z nastavkom \(y= e^{r x}\) dobimo karakteristično enačbo: \(r^{2}+\lambda=0\) ter rešitev
\(C_{1} \sin ( \lambda x) + C_{2}\cos (\lambda x)\).
Kako pa naj se lotim druge?
Hvala!
Re: Diferencialne enačbe
Če je na desni strani odvod y, potem je karakteristična enačba: \(r^{2}+\lambda r=0\).roy33 napisal/-a:Prvo mislim da znam rešit. Z nastavkom \(y= e^{r x}\) dobimo karakteristično enačbo: \(r^{2}+\lambda=0\)
A je na desni strani druge tudi odvod y?
Re: Diferencialne enačbe
Pardon, moja napaka. Na drugi strani ni odvoda.
Re: Diferencialne enačbe
Če ni odvoda, potem gre za AIryjev tip diferencialne enačbe, ki ima za rešitev specialno (Airyjevo) funkcijo. Ampak v zvezi s to diferencialno enačbo si na forumu že spraševal:
viewtopic.php?p=83439#p83439
in že dobil odgovor:
viewtopic.php?p=83440#p83440
zato mi res ni jasno, zakaj ponovno sprašuješ.
viewtopic.php?p=83439#p83439
in že dobil odgovor:
viewtopic.php?p=83440#p83440
zato mi res ni jasno, zakaj ponovno sprašuješ.
Re: Diferencialne enačbe
Še vedno ne znam rešit...
Mi rešujemo enačbo:
\(y''-(x+\lambda)y=0\), ki ni povsem enaka omenjeni enačbi.
Mi rešujemo enačbo:
\(y''-(x+\lambda)y=0\), ki ni povsem enaka omenjeni enačbi.
Re: Diferencialne enačbe
Poglej bolje, enačba je ista. Reševanje takšnega tipa enačb pa analitično poteka po znanih metodah: s potenčnimi vrstami.roy33 napisal/-a:Še vedno ne znam rešit...
Mi rešujemo enačbo:
\(y''-(x+\lambda)y=0\), ki ni povsem enaka omenjeni enačbi.
Re: Diferencialne enačbe
Zakaj metoda nedoločenih koeficientov deluje?
Se zahvaljujem za obrazložitev.
Se zahvaljujem za obrazložitev.