Diferencialne enačbe

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 7.5.2014 10:23

delta napisal/-a:Imam Euler-Cauchyjevo enačbo:
\(y''x^2-2y'x+2y=K(x^3+1)\)
Homogeni del dobim:\(y=Ax+Bx^2\)
partik. naj bi bil:A:\(y_{pa}=x^3C\), \(y_{pa}=K/2x^3\),
\(y_{pb}=D->y_{pb}=K/2\), splošna je: \(y=Ax+Bx^2+C(x^3+1)\)
Kako smo dobili partikularni del?
Ponavadi greš kar z nastavkom, posebno pri teh posebnih sortah diferencialnih enačb, kjer veš kaj pričakovat. Lahko greš seveda tudi z variacijo konstante, ampak z nastavkom je dosti boljše. Levi del enačbe slika polinome v polinome (odvajanje in množenje z x), tako da veš, da mora biti rešitev polinom. Stopnja 3 je očitna iz tega, da nižje stopnje so že porabljene, višja pa ne more bit, ker bi ostali notri x^4 členi. Torej probaš s polinomom tretje stopnje.

tjasya
Prispevkov: 11
Pridružen: 9.8.2010 19:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a tjasya » 7.1.2015 9:18

Zanima me kako bi se rešila ta diferencialna enačba:
\(xyy'=x^2+2y^2\)
baje, da bi morala uvesti novo spremenljivko \(u=y/x\)

maxwell
Prispevkov: 96
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a maxwell » 7.1.2015 20:10

Ja nova spremenljivka je: \(y=ux\), to odvajaš da dobiš \(y'\). Dif.enačbo še deliš z \(xy\), da na levi dobiš samo \(y'\), na desni pa ostalo. V njo vstaviš novo spremenljivko in zamenjaš \(y'\).Na koncu dobiš enačbo: \(x (du/dx)=1/u\), ta pa je z ločljivmi spremenljivkami. To rešiš in na koncu še u-je zamenjaš za \(y/x\), da dobiš prvotne spremenljivke.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 7.1.2015 20:51

Na desni strani manjka en člen:

\(xu'=\frac{1}{u}+u\)

kar je tudi dif. en. z ločljivima spremenljivkama, le da se je treba integriranja po \(u\) lotiti s substitucijo.

maxwell
Prispevkov: 96
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a maxwell » 7.1.2015 21:19

hmmm ali ni tako da se u odšteje?

Če je \(y'=u+x(du/dx)\), je tukaj en u, pri členu \((x^2+y^2)/xy\) pa dobimo \(1/u+u\) in se u-ja odštejeta in ostane samo še \(xu'=1/u\)..

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 7.1.2015 23:21

maxwell napisal/-a:hmmm ali ni tako da se u odšteje?

Če je \(y'=u+x(du/dx)\), je tukaj en u, pri členu \((x^2+y^2)/xy\) pa dobimo \(1/u+u\) in se u-ja odštejeta in ostane samo še \(xu'=1/u\)..
Člen na desni je \(x^2+2y^2\).

tjasya
Prispevkov: 11
Pridružen: 9.8.2010 19:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a tjasya » 8.1.2015 11:21

Se pravi da potem se loči spremenljivke tako:
\(du/(u+1/u)=xdx\) ?
In naprej normalno z integriranjem, potem pa na koncu šele vstavimo nazaj y in x?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 8.1.2015 18:33

Pride \(dx/x\), pri u-ju pa moraš odpraviti dvojni ulomek, da vidiš, katero novo spremenljivko uvesti.

roy33
Prispevkov: 8
Pridružen: 10.9.2013 17:24

Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a roy33 » 19.4.2015 22:52

Prosim za pomoč pri dveh DE.

\(-y''=\lambda y'\)
\(-y''+xy= \lambda y\)

Prvo mislim da znam rešit. Z nastavkom \(y= e^{r x}\) dobimo karakteristično enačbo: \(r^{2}+\lambda=0\) ter rešitev
\(C_{1} \sin ( \lambda x) + C_{2}\cos (\lambda x)\).

Kako pa naj se lotim druge?
Hvala!

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 20.4.2015 16:13

roy33 napisal/-a:Prvo mislim da znam rešit. Z nastavkom \(y= e^{r x}\) dobimo karakteristično enačbo: \(r^{2}+\lambda=0\)
Če je na desni strani odvod y, potem je karakteristična enačba: \(r^{2}+\lambda r=0\).

A je na desni strani druge tudi odvod y?

roy33
Prispevkov: 8
Pridružen: 10.9.2013 17:24

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a roy33 » 20.4.2015 16:48

Pardon, moja napaka. Na drugi strani ni odvoda.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 20.4.2015 21:13

Če ni odvoda, potem gre za AIryjev tip diferencialne enačbe, ki ima za rešitev specialno (Airyjevo) funkcijo. Ampak v zvezi s to diferencialno enačbo si na forumu že spraševal:

viewtopic.php?p=83439#p83439

in že dobil odgovor:

viewtopic.php?p=83440#p83440

zato mi res ni jasno, zakaj ponovno sprašuješ.

roy33
Prispevkov: 8
Pridružen: 10.9.2013 17:24

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a roy33 » 21.4.2015 20:58

Še vedno ne znam rešit... :?

Mi rešujemo enačbo:
\(y''-(x+\lambda)y=0\), ki ni povsem enaka omenjeni enačbi.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 21.4.2015 22:31

roy33 napisal/-a:Še vedno ne znam rešit... :?

Mi rešujemo enačbo:
\(y''-(x+\lambda)y=0\), ki ni povsem enaka omenjeni enačbi.
Poglej bolje, enačba je ista. Reševanje takšnega tipa enačb pa analitično poteka po znanih metodah: s potenčnimi vrstami.

DirectX11
Prispevkov: 410
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a DirectX11 » 27.12.2016 16:47

Zakaj metoda nedoločenih koeficientov deluje?

Se zahvaljujem za obrazložitev.

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: Yahoo [Bot] in 7 gostov