Kvarkadabra forum

Zakaj ne bi? Gre pač za reševanje sistema enačb za neznane koeficiente. Za to, da lahko neko racionalno funkcijo razširimo na vsoto parcialnih ulomkov, pa obstaja matematični izrek, ki v bistvu izhaja iz osnovnega izreka algebre.

Sedaj sem malo bolj poglobil v reševanje LDE, in sicer razumem da je splošna rešitev enaka homogenemu delu plus partikularni. Ampak ne razumem pa posebne rešitve, kakšen je postopek da pridemo do posebne rešitve.

Kakor sem si prebral v knjigi je v bistvu ta rešitev odvisna od razmer v električnem vezju. Sedaj berem eno od knjig ki se navezuje na vezja. Bi lahko nekdo podal primer. Sem iskal tudi z googlom in sicer: "special solution DE" vendar ne najdem nič pametnega.

hvala.

"Posebna" je ponavadi sinonim za "partikularno" rešitev. Lahko pa je tudi mišljena rešitev, ki je odvisna od začetnih/robnih pogojev, ki določajo vrednost integracijskih konstant.

Pri tej LDE me zanima kako pridemo do rešitve s kosinusom? Verjetno je to spet kakšna osnova, vendar le tukaj bi jaz rešil s karakterističnim polinomom, in dobil rešitev v obliki \(Ke^p\) ali nekaj podobnega. Razen če se tukaj z Eulerjevo enačbo nekako dobi potem kosinus?

Natanko tako: z Eulerjevo formulo se dobi drugo linearno kombinacijo (s kotnimi funkcijami), ki je za razliko od tiste z eksponentnimi funkcijami brez imaginarnih komponent, je pa ravno tako rešitev homogene LDE. Podobno je pri vektorjih: nek vektor se lahko izrazi s poljubno bazo linearno neodvisnih vektorjev (na ravnini npr. z dvemi linearno neodvisnimi vektorji).

Najbolje je to prikazati na tvojem primeru. LDE oblike:

\(\ddot{\theta}+\omega^2\theta=0\)

priredimo karakteristično enačbo:

\(\lambda^2+\omega^2=0\)

z rešitvama:

\(\lambda_{1,2}=\pm i\omega\)

tako da je rešitev LDE linearna kombinacija:

\(\theta_1(t)=e^{\lambda_1 t}=e^{i\omega t}\)

in

\(\theta_2(t)=e^{\lambda_2 t}=e^{-i\omega t}\)

t.j:

\(\theta(t)=C_1\theta_1(t)+C_2\theta_2(t)=C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i\omega t}\).

Ampak to ni edina možna linearna kombinacija, pravzaprav obstaja neskončno množic linearno neodvisnih rešitev. Do množice rešitev izraženih s kotnimi funkcijami lahko pridemo preko Eulerjeve formule:

\(\theta_1(t)=e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)\)

in

\(\theta_2(t)=e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)\).

S seštevanjem in odštevanjem dobimo:

\(\theta_1(t)+\theta_2(t)=2\cos(\omega t)\)

\(\theta_1(t)-\theta_2(t)=2i\sin(\omega t)\)

oz.

\(u_1(t)=\frac{1}{2}\theta_1(t)+\frac{1}{2}\theta_2(t)=\cos(\omega t)\)

\(u_2(t)=\frac{1}{2i}\theta_1(t)-\frac{1}{2i}\theta_2(t)=\sin(\omega t)\).

Množica rešitev \(u_1(t)\) in \(u_2(t)\) je tudi linearno neodvisna, tako da je tudi njuna linearna kombinacija rešitev LDE:

\(\theta(t)=K_1u_1(t)+K_2u_2(t)=K_1\cos(\omega t)+K_2\sin(\omega t)\).

Seveda se da linearno kombinacijo sinusa in kosinusa zapisati kot:

\(K_1\cos(\omega t)+K_2\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi)\).

Hvala shrink

Verjetno je tudi pravilno tako, da ker seštejemo dve Eulerjevi formuli se izniči sinus in s tem tudi imaginarna enota, ostane samo kosinus (2cos(wt)). Kar pomeni da je rezultat \(A\cos(\omega t+\varphi)\)

Aja, sem predhodno pozabil vprašat, če mogoče veš iz kje pride ta člen \(\omega\)? Ali je člen eksperimentalno izpeljan?

DirectX11 napisal/-a: ↑

12.4.2017 14:06

Hvala shrink

Verjetno je tudi pravilno tako, da ker seštejemo dve Eulerjevi formuli se izniči sinus in s tem tudi imaginarna enota, ostane samo kosinus (2cos(wt)). Kar pomeni da je rezultat \(A\cos(\omega t+\varphi)\)

V bistvu ne, ker \(\cos(\omega t)\) predstavlja le eno od dveh linearno neodvisnih rešitev, medtem ko \(A\cos(\omega t+\varphi)\) predstavlja obe rešitvi.

DirectX11 napisal/-a: ↑

12.4.2017 18:21

Aja, sem predhodno pozabil vprašat, če mogoče veš iz kje pride ta člen \(\omega\)? Ali je člen eksperimentalno izpeljan?

Primerjaj obliko LDE z \(\omega\) z LDE, ki si jo navedel.

Pri vektorjih je linearna kombinacija vsota pomnožena s poljubnimi koeficienti.

Kar pomeni da je rešitev tudi ta: (verjetno je zato neskončno rešitev):

\(A\theta_1(t)+B\theta_2(t)\)
kjer sta A in B števili iz množice celih števil.

Ne razumem pa dobro, kako si vedel da je potrebno sešteti ter odšteti oba izraza.

No, koeficienti so lahko kompleksni, ne samo celi, ampak te določajo robni (začetni) pogoji, zato to nima zveze z dejstvom, da obstaja neštevno mnogo množic linearno neodvisnih rešitev.

Tisto seštevanje/odštevanje pa ni nič drugega kot linearna transformacija iz enega vektorja (linearno neodvisnih rešitev) v drugega:

\(\begin{bmatrix}
u_1(t) \\
u_2(t)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2i} & -\frac{1}{2i}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\theta_1(t) \\
\theta_2(t)
\end{bmatrix}\)

Na ta način lahko s poljubno transformacijo dobimo novo množico linearno neodvisnih rešitev, če le transformacijo predstavlja matrika, ki ni singularna (torej z determinanto različno od 0).

Ja ker je neskončno takih matrik, ki niso singularne. Torej z seštevanjem in odštevanjem dobimo eno tako rešitev od vseh. Ker sta seštevanje in odštevanje dve edini linearni operaciji.

No, linearna transformacija je prav lepo definirana.