Kvarkadabra forum

Živijo,

imam problem z reševanjem diferencialne enačbe, natančneje z delom postopka, in bi prosil za kratko razlago.
\(y''+4y'+4y=e^{-2x}lnx\)

Z nastavkom poiščem splošno rešitev homogene enačbe, \(\eta=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)
Nastavek za partikularno rešitev nehomogene enačbe po metodi variacije konstant je: \(\bar{y}=u_1\eta_1+u_2\eta_2\) , kjer sta \(\eta_1=e^{-2x}\) in \(\eta_2=xe^{-2x}.\)
Ponavadi smo \(\bar{y}\) dvakrat odvajali in to vstavili v prvotno nehomogeno enačbo, so se členi odšteli in smo poračunali.
V tem primeru pa imam napisana samo dva pogoja, ki ju ne razumem.
\(u_1'\eta_1+u_2'\eta_2=0\)
\(u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x}lnx\)
Poleg tega smo izračunali še determinanto Wronskega funkcij \(\eta_1\) in \(\eta_2\), ki mora biti različna od 0 (enoličnost rešitve?).
\(\begin{vmatrix}
e^{-2x} & xe^{-2x} \\
-2e^{-2x} & e^{-2x}(1-2x)
\end{vmatrix}\neq0\)

Iz zgornjega sistema enačb dobimo \(u_1'\) in \(u_2'\), naprej mi je vse jasno. Zanima me samo kako smo prišli do tistih dveh enačb. Nalogo je reševal profesor zelo hitro, povedal pa bolj malo, ker se nam vedno mudi. Teoretično nisem podkovan skoraj nič, čeprav sem pregledal pomankljive zapiske.
Prosim, če se komu ljubi. Hvala vnaprej.

Naprosyn napisal/-a:Zanima me samo kako smo prišli do tistih dveh enačb.

Z odvajanjem nastavka za partikularno rešitev:

\(\bar{y}=u_1\eta_1+u_2\eta_2\)

\(\bar{y}'=u_1\eta_1'+u_2\eta_2'+\underbrace{u_1'\eta_1+u_2'\eta_2}_{0}\) (predpostavimo, da sta \(u_1\)in \(u_2\) konstanti - od tod prva zveza)

\(\bar{y}''=u_1\eta_1''+u_2\eta_2''+u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'\) (tu pa predpostavimo, da sta \(u_1\)in \(u_2\) funkciji)

Seveda velja:

\(\eta=u_1\eta_1+u_2\eta_2\)
\(\eta'=u_1\eta_1'+u_2\eta_2'\)
\(\eta''=u_1\eta_1''+u_2\eta_2''\)

Ko partikularno rešitev in njene odvode vstavimo v dif. en., dobimo:

\(\underbrace{\eta''+4\eta'+4\eta}_{0}+u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x} \ln x\) (\(\eta\) je pač rešitev homogene enačbe)

in od tod drugo zvezo:

\(u_1'\eta_1'+u_2'\eta_2'=e^{-2x} \ln x\)

Nalogo je reševal profesor zelo hitro, povedal pa bolj malo, ker se nam vedno mudi. Teoretično nisem podkovan skoraj nič, čeprav sem pregledal pomankljive zapiske.

Za teoretične osnove glej:

F. Križanič, I. Vidav: Navadne diferencialne enačbe, parcialne diferencialne enačbe, variacijski račun.

pozdrav vsem skupaj.
ti dve nalogi rešujem že par dni , pa kakorkoli obrnem, je rezultat napačen .
če bi se komurkoli dalo, naj ju poskusi rešiti.
vnaprej se vam zahvaljujem.
K_P

nalogi:

Prva: karakteristicna enacba ti da eksponente, da dobis
\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}\)
Partikularni del pa dobis tako da vstavis nastavek oblike \(Ae^{7x}\) in dolocis A.

Druga: samo trikrat integriras (ne pozabi integracijskih konstant - te dolocis iz zacetnih pogojev).

\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}-e^{7x}\)

\(y'=c_1 e^{x}+3c_2 e^{3x}-7e^{7x}\)

vstavim začetna pogoja, dobim \(c_1=\frac{1}{2}\) in \(c_2=\frac{5}{2}\)

vse to vstavim v enačbo, izračunam za \(x=1\), dobim \(-1045\) (pribl.),

ampak to naj ne bi bilo prav. kje sem naredil napako?

Vstavis x=0 in dobis
c1+c2-1=1
c1+3c2-7=1
Odstejes:
2c2=6
c2=3

Vstavis v prvo:
c1=2-3=-1

Povrsen si.

večkrat sem reševal in zmeraj dobil nekaj drugačnega.
očitno danes ni bil moj dan, glede na to, da mi še reševanje sistema dveh enačb ne gre.

najlepša hvala, ker si si vzel čas!

bi mi lahko nekdo razložil prosim, kako gre pri začetnih pogojih, ki jih vidimo na desni strani priponke

Ni mi jasno kaj vstavim v omego, oz. t ??

samo to, ostalo še nakako kapiram

Mene pa zanima kako naj rešim DE:
\((1-x^2)y'=1-y^2\).
V rešitvah pride \(y= \frac{x-C}{1-Cx}\).
Meni sploh noče priti prava rešitev, poskusila sem že skoraj vse.. Obravnavala sem jo kot DE z ločljivimi spremenljivkami, kot Ricattijevo (z dvemi različnimi rešitvami \(x\) in \(\frac{1}{x}\) in prevedbo na LDE ter Bernoullijevo). Ker sem obupala, upam da se bo komu dalo napisati rešitev, PROSIM

Kardioida napisal/-a:Mene pa zanima kako naj rešim DE:
\((1-x^2)y'=1-y^2\).
V rešitvah pride \(y= \frac{x-C}{1-Cx}\).
Meni sploh noče priti prava rešitev, poskusila sem že skoraj vse.. Obravnavala sem jo kot DE z ločljivimi spremenljivkami, kot Ricattijevo (z dvemi različnimi rešitvami \(x\) in \(\frac{1}{x}\) in prevedbo na LDE ter Bernoullijevo). Ker sem obupala, upam da se bo komu dalo napisati rešitev, PROSIM

Gre z ločevanjem spremenljivk, kar ti da:

\(\displaystyle\frac{dy}{1-y^2}=\frac{dx}{1-x^2}\).

Integrala sta elementarna:

\(\mathrm{artanh}\, y+D=\mathrm{artanh}\, x\)

oz.

\(\mathrm{artanh}\, x-\mathrm{artanh}\, y=D\)

Če upoštevaš (znana zveza) \(\mathrm{artanh}\, x-\mathrm{artanh}\, y=\mathrm{artanh}\, (\frac{x-y}{1-xy})\) in uvedeš \(D=\mathrm{artanh}\, C\), potem sledi navedena rešitev.

Najlepša hvala

1c in 1d, 2(u(x) in u(y) ne gre), 5, 6 vso(sicer sem rešil samo nisem ziher), 7 in 8

Kar navedi, do kod si rešil, kje se ti zatika...

Problem pri teh DE mi je predvsem v "nastavkih". Torej sploh štartni pogoj, da lahko začnem pisat.
Npr. pri 1c se mi takoj zatakne, sploh ne zaštarta, 1d sem probal preoblikovat v y'+ay=b stil, pa mi neke hude klobase ven pridejo in ne vem če je prav.

Za 2. Mi smo delali samo z nastavkom u(x) in u(y), tadva sem probal in ne gre čez. Drugih nastavkov pa se ne domislim.

5. spet ne vem kako zaštartat
6a) Karak. polinom sem izračunal in dobil +-i* nekaj(ne vem točno), potem pa se mi je zataknilo pri tem
b) šel sem z linearno super pozicijo in pri e^(-3x) sem šel spet s kar. pol. in na koncu mi 0=2(vsi členi na levi in na desno imajo nekaj*e^(-3x), pokrajšam in vsota na levi je 0, na desni pa 2), poleg tega je ničla kar. pol. dvojna in v zapiskih mi piše, da ni pametnega recepta za to reševanje
c)to sem šel na kompleksno reševanje, nastavil trešitev na e^(ix), vstavil karak. pol. dobil ven rešitev +-i, ko vstavim v enačbo se vse pokrajša in dobim 0=1
d) spet dvojna ničla

7,8 brez idej

Problem je, ker na predavanjih smo rešili samo znatno lažje probleme, na vajah pa smo komaj prišli do te snovi

edit: Se pravi, rabil bi bolj namige, kot pa to, da se dejansko kdo spravi do konca računat.

1c) to je eksaktna diferencialna enacba. Je oblike
\(\frac{df(x,y)}{dy}y'+\frac{df(x,y)}{dx}=0\)
resitev tega je pa
\(f(x,y)={\rm konst.}\)
Poskusi na isti nacin tudi f). Pri takih grdih se splaca vedno pogledat najprej ce je eksaktna (test z mesanimi odvodi). Ce ni, mogoce lahko celo najdes integracijski multiplikator in jo pretvoris na eksaktno.

2) Poskusi se s produktom u(x)*v(y). Drugace gres v splosnem lahko kar z u(x,y).

5) Poskusi z variacijo konstante, enacba za konstanto je potem nizjega reda (\(y=y_1(x)g(x)\) in potem \(h(x)=g'(x)\) substitucija).
Obstaja tudi izpeljan obrazec kako dobit drugo resitev ce eno ves.