Diferencialne enačbe

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
_eva
Prispevkov: 19
Pridružen: 5.1.2006 21:15

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a _eva » 19.11.2012 18:16

Samo eno vprašanje še, kako plotati funkcijo u(x) v mathematici?
Poskusila sem z manipulate, pa mi ne nariše grafa, niti mi ga ne nariše, če vstavim realne vrednosti namesto konstant.

_eva
Prispevkov: 19
Pridružen: 5.1.2006 21:15

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a _eva » 19.11.2012 19:00

Sem že zrihtala :)

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 21.11.2012 10:55

Zanima me, kako smo tu izračunali partikularni del. Oz od kje dobimo A=1? (objava 2.6.2010)
Aniviller napisal/-a:Prva: karakteristicna enacba ti da eksponente, da dobis
\(y=c_1 e^{x}+c_2 e^{3x}\)
Partikularni del pa dobis tako da vstavis nastavek oblike \(Ae^{7x}\) in dolocis A.
Hvala, :) lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 21.11.2012 15:04

Ce je nastavek eksponentne oblike, z eksponentom, ki ne nastopa ze v homogeni resitvi, nastavis resitev v isti obliki.
\(y''-4y'+3y=-24e^{7x}\)
Vstavis \(y=Ae^{7x}\)
\(7^2Ae^{7x}-4\cdot 7 Ae^{7x}+3Ae^{7x}=-24e^{7x}\)
\((49-28+3)A=-24\)
\(A=-1\)

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 24.11.2012 0:14

Rešitve pri homogeni enačbi dobimo:
\(y(x)=c1 \exp{(3+2i)x}+c2 \exp{(3-2i)x}\)
\(=c1\exp{3x}(\cos{2x}+i \sin{2x})+c2\exp{3x}(\cos{2x}-i \sin{2x})\)
\(= A\exp{3x} \cos{2x}+B \exp{3x} \sin{2x}\)
To naj bi bila pretvorba na realno, ni mi jasno, zakaj je \(B=i c1-i c2\) realno.??

7.12.2011
Aniviller napisal/-a:6) Ja imaginarne resitve pomenijo imaginarne eksponente v eksponentni funkciji, ki pa so le linearna kombinacija sinusa in kosinusa. Partikularni del je pa itak y=x/5+2/5.
Kako partikulani del? Mi smo delali tako, da smo v prvo vrstico matrike zapisali rešitvi, v drugo odvode, nato pa po fli \(\vec{c}'=X^{-1} \vec{f}\)izračunali konstante, pri čemer je \(\vec{f}=[0,...,0,x]^T\), samo na koncu ven še vedno dobimo nekaj odvisno s konstantami. Kako se to naredi na krajši način, kot je bila dobljena zgornja rešitev? Lepo prosim za pomoč :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 24.11.2012 1:33

delta napisal/-a:Rešitve pri homogeni enačbi dobimo:
\(y(x)=c1 \exp{(3+2i)x}+c2 \exp{(3-2i)x}\)
\(=c1\exp{3x}(\cos{2x}+i \sin{2x})+c2\exp{3x}(\cos{2x}-i \sin{2x})\)
\(= A\exp{3x} \cos{2x}+B \exp{3x} \sin{2x}\)
To naj bi bila pretvorba na realno, ni mi jasno, zakaj je \(B=i c1-i c2\) realno.??
Saj ni treba da je realno. A in B sta odvisni od zacetnih pogojev. Ce isces realno resitev z realnimi zacetnimi pogoji, potem bosta A in B realna. c1 in c2 sta pa v splosnem kompleksna tudi ce je resitev realna, ker si izbral drug razcep na neodvisni resitvi.

Resevanje diferencialnih enacb ni samo surovo sledenje postopku. Nacinov je vec, izkusnje in intuicija pa zelo pomagata. Za partikularno resitev gres lahko z variacijo konstante: vzames homogeno resitev, pri cemer so zdaj konstante odvisne od neodvisne spremenljivke in dobis enostavnejso diferencialno enacbo za neznane konstante. Za linearne enacbe gres lahko po v naprej pripravljenih postopkih ampak po mojem mnenju je tole kar predlagas nepotrebno kompliciranje. Za linearne enacbe s konstantnimi koeficienti, je zelo dober nacin kar resevanje z nastavkom: ce je desna stran eksponentna ali trigonometricna funkcija, potem ves, da bo resitev ravno tako eksponentna/trigonometricna funkcija, z neznano konstanto spredaj. Izjema je, ce je ravno ista funkcija ze resitev homogenega dela (ce se karakteristicni eksponent ujema). Potem imas isti sistem kot pri veckratnih niclah: pripisujes potence "x" pred eksponentno/trigonometricno funkcijo. Po drugi strani, ce je desna stran polinom, je tudi resitev polinom (nastavis lahko polinom iste stopnje kot na desni, razen v posebnih primerih, recimo ko clen z y manjka). To pomaga v tem primeru. Noter gres z Ax+B in dolocis obe konstanti.

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 24.11.2012 16:55

Hvala za odgovor. :) Razumem, samo kaj pa vzameš, takrat ko manjka člen y?

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 24.11.2012 17:48

Zanima me še kako rešiš 7.a) z variacijo konstant pridem do:\(A''(x)\cosx-2A'(x)\sinx+B''(x)\sinx+2B'(x)\cosx=\frac{1}{\sin x}\) naprej pa ne vem kako.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 24.11.2012 18:11

No variacija konstant je zelo enostavna za enacbe prvega reda. Za visje rede je pa zoprna, ker imas dodatne pogoje. V bistvu je to tisto kar imas ti v formalno navedeno v matricnemu zapisu. Tiste dodatne vrstice v matriki so pogoji, ki jim morajo konstante zadostit. Zato je nastavek tako eleganten, ker se izognes resevanju sistema diferencialnih enacb in samo poisces ustrezne predfaktorje. Ce seveda nastavek ne prime, lahko vedno poskusis s tem splosnejsim nacinom.

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 24.11.2012 23:07

Po splošnejšem načinu potem dobim pravo rešitev. Hvala. :) Ali je treba v matriko vedno vstaviti realno rešitev, t.j. \(sin x, cos x\)? In kako potem vemo, kdaj naj uporabimo nastavek in kdaj matriko: Ali nastavek pač takrat ko imamo na desni strani enačbe nekaj kar je v obliki homog.rešitve? matriko pa takrat ko ni podobno. Zanima me še zakaj pride do razlike, če imamo polinom in ni y. Kako potem rešujemo?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 24.11.2012 23:32

Ce ni y, potem uvedes novo spremenljivko y'=u in nadaljujes kot obicajno, s tem da potem na koncu se enkrat integriras da dobis y.

Za matriko je samo vazno, da so linearno neodvisne resitve, kakrsnekoli kombinacije ze izberes.

Pri enacbah s konstantnimi koeficienti lahko uporabis nastavek za vse eksponentne, trigonometricne in polinomske desne strani. Za nekonstantne koeficiente moras bit malo bolj inovativen in malo poskusat ampak z vajo tudi tiste lahko vcasih razresis z nastavkom.

_eva
Prispevkov: 19
Pridružen: 5.1.2006 21:15

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a _eva » 17.12.2012 18:53

Pozdravljeni.

Zanima me rešitev naloge
Slika

Ali je maksimalen tlak 5,5 ob času 2,75?

Hvala za odgovor.

LP,
Eva

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 25.12.2012 22:32

Zanima me, kako bi rešili:
1.\(yy'''=y'y''\)
2.\(x^2y'''=y''^{2}\)
3.\(yy'y''=y'^3+y''^2\)
4.\(yy''=x^2y^2+y'^2\)

1.po substituciji \(y'''=(z'z)'z\) dobimo:\(y(z''z+z'^{2})=z z'\) kako od tu naprej?
2.dobim: \(y=\frac{Fx^2}{2}-\frac{F^2}{2}x (\log{\frac{1}{F}}+\log{(x+F)})+Dx+E\), rešitev:\(y=-C^2(x+C)\log{(x+C)}+\frac{Cx^2}{2}+Dx+E\)
3. po subst. \(y'=z\) dobim: \(y \dot{z}-z=\dot{z}^2\) kako se naj lotim zadnje enačbe?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.12.2012 23:42

Huh. Malo po inspiraciji.

1)
\(y y'''-y' y''=0\)
To izgleda kot odvod kvocienta (zaradi minusa), vidis da v enem clenu je en odvajan enkrat prevec in drugi enkrat premalo. Ujemalo se bo, ce das z=y''/y. V tem primeru velja
\(z'=\frac{y y'''-y'y''}{y^2}\)
Pod pogojem, da y ni nikoli nic, je ta izraz ekvivalenten zgornjemu in imas
\(z'=0\)
\(z=y''/y=C\)
\(y''-Cy=0\)
Kar ima seveda za razlicne C lahko za resitev pare kosinus/sinus, ali pare eksponentnih funkcij, za vse lahko preveris z vstavljanjem v prvotno enacbo da dejansko deluje (celo v izoliranih tockah ko je y=0, je vse ok).

2) Zapisi z=y'', pa dobis
\(\frac{z'}{z^2}=\frac{1}{x^2}\)
Integriras na obeh straneh
\(-\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}+C\)
Od koder izrazis z in se dvakrat integriras, karkoli ze pac pride. Nisem preverjal ce dobim isto kot ti. Preveri ce nista celo obe resitvi enaki, samo v drugacni obliki.

3) To postaja vedno bolj komplicirano in tezko iskat vzorce. Recimo moj prvi instinkt je bil tole: y''^2 ne spada k ostalim, ker je kvadratnega reda, ostali so kubicni. Das kubicne na isto stran:
\(y y' y''-y'^3=y''^2\)
\(y'(y y''-y'^2)=y''^2\)
Zdaj spet vidis na levi znani vzorec, povezan z odvodom izraza y'/y. Ni pa to najboljsa ideja ker nimas kam naprej in red enacbe ostane visok.

Tvoja pot (menjava na odvod po y iz odvodov po x) je bila moja naslednja ideja.... nakazuje na vrsto enacbe, ki ima za resitev druzino premic \(\dot{z}=k\), \(z=ky+n\):
\(yk-ky-n=k^2\)
\(n=-k^2\). Ponavadi je poleg druzine premic, v tem primeru \(z=ky-k^2\), resitev tudi ogrinjaca druzine.

4.
No tukaj bo pa ideja iz prejsnje tocke pomagala, saj se da takoj zapisat
\(\frac{yy''-y'^2}{y^2}=x^2\)
z=y'/y
\(z'=x^2\)
\(z=\frac{x^3}{3}+C\)
in dobis linearno enacbo prvega reda za y (z nekonstantnimi koeficienti, ampak nic hudega).

delta
Prispevkov: 419
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 26.12.2012 13:52

Najlepša hvala za pomoč. :)
1. Kako vemo, da so rešitve dif. enačbe:\(y''-Cy=0\) pari sin/cos in pari eksponentnih fcij?
2. vmes dobim integral: \(\int{(\ln{cx+1})dx}\), s per partes ne pride nič pametnega, kako bi se rešilo?
3.
Aniviller napisal/-a:nakazuje na vrsto enacbe, ki ima za resitev druzino premic \dot{z}=k
, kako pridemo do tega sklepa?
Aniviller napisal/-a:resitev tudi ogrinjaca druzine.
ali lahko navedete kakšen primer
4. vse o.k.

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 19 gostov