Diferencialne enačbe

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 31.12.2012 0:18

Hvala za trud. izračunala sem z wolphram alpho, ne vidim, kje je manjka -
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%281%2Bx%29
izračun z Mapleom mi je jasen, razen ne vem kje dobimo C=1/3 in D=0.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 31.12.2012 11:38

delta napisal/-a:Hvala za trud. izračunala sem z wolphram alpho, ne vidim, kje je manjka -
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%281%2Bx%29
No, mislil sem na to, da s substitucijo \(t=1+x \Rightarrow dt=dx\) dobimo:

\(-1/3 \int \log (1+x)dx=-1/3 \int \log (t) dt=\)\(-1/3(t \log (t)-t)+C=-1/3((1+x) \log (1+x)-(1+x))+C\)

Seveda lahko 1/3 upoštevamo v C, tako da niti ne gre za napako.
izračun z Mapleom mi je jasen, razen ne vem kje dobimo C=1/3 in D=0.
V bistvu konstante dobljene v \(v_1\) in \(v_2\) lahko izpustimo, saj se v partikularni rešitvi množijo z \(y_1\) in\(y_2\) in jih tako lahko štejemo h koeficientom v rešitvi homogene enačbe. Tako je tudi tista 2 (ki sem jo spregledal) v imenovalcu partikularne rešitve izračunane z Mapleom odveč, ker jo lahko štejemo k rešitvi homogene enačbe.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14100
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a shrink » 31.12.2012 12:35

Ne v imenovalcu: v števcu.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 2.1.2013 13:33

Ali kdo ve vprašanji 29.12.2012 ob in 14:04 in še naslednjo objavo?\(\)

Kako se v Mathematici reši nehom. sistem dif. enačb, s katero fjo, poskušala sem z DSolve.
Imam sistem:
\(y'=-y+z+x\)
\(z'=-4y+3z\)
Najprej hom. del, dobim: \(X=\begin{bmatrix}e^x & x e^x+e^x\\2e^x& 2x e^x \end{bmatrix}\), nato z variacijo konst. še partikularno rešitev, dobim:
\(\vec{x}=X \vec{c}=\begin{bmatrix}1+Dx e^x+(C+D)e^x\\ 2x+4+2Ce^x+2Dxe^x \end{bmatrix}= X \vec{c}+\begin{bmatrix}1\\2x+4 \end{bmatrix}\), kjer je \(\vec{c}=\begin{bmatrix} C&D\end{bmatrix}^T\)rešitev je
\(y=-5-3x+c_{1}e^{x}+c_{2}x e^x\)
\(z = -8-4x+2c_{1}e^x+c_{2}e^x+ 2c_{2}x e^{x}\)
Ne vem, kje delam napako. Prosim za pomoč.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 28.1.2013 22:32

Zanima me, če sem se prav lotila sistema nde.
1. \(x''=4y'-5x\)
\(y''=4x'-5y\)
Vzela sem: \(x'=u, y'=v, u'=4v-5x,v'=4u-5y\)
potem moram rešiti determinanto:4x4, razvijam po vrsticah in stolpcih in dobim: \(\lambda ^4-6\lambda ^2 +25\), za kar ne dobim rešitev. :? Ali je postopek pravi?
Ali kdo ve, kako se bi rešilo:
2. Za sistem NDE \(x'=x^2-y^2, y'=2xy\) poišči prvi integral in skiciraj fazni portret.
najgrša:
3. , kako jo začneš??
\(({\frac{y''}{18}})^3=\frac{y}{3}\), ki zadošča pogojem \(y(0)=-3, y'(0)=-9\)
Lepo prosim, če ima kdo kakšno idejo.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 28.1.2013 22:58

1) Kompleksne resitve so dovoljene seveda. To je fizikalno takoj jasno - spomni se na matematicno nihalo (popolnoma imaginarne lambde, resitev sinusi in kosinusi) ali na duseno matematicno nihalo, kjer so lambde kompleksne in imas duseno nihanje, produkt eksponentne funkcije in kotne funkcije.

Postopek te bo pripeljal do resitve (kvadratna enacba za lambda^2, potem pa se plusminus koren in si na koncu). Ni pa to najlazji nacin. Posebej hitro ti v oci pade, da je ta sistem zelo poseben, ker so koeficienti pred istostopenjskimi odvodi enaki. Edini problem je zamenjava x in y pri prvem odvodu. Ideja? Uvedes
z=x+iy
drugo enacbo pomnozis z "i" in ju sestejes. Kar s tem naredis je le, da namesto dveh realnih komponent vektorja (x,y) gledas vektorje kot kompleksna stevila. Dobis eno samo enacbo
\(z''=4iz'-5z\)
Oziroma po nastavku \(z=e^{\lambda t}\)
\(\lambda^2-4i\lambda+5=0\)
od koder sledi
\(\lambda=\frac{4i\pm i\sqrt{96}}{2}\)
Ocitno so resitve celo povsem imaginarna. Imaginarna resitev pomeni krozenje v kompleksni ravnini. In ker je enacba drugega reda, je resitev vsota dveh krozenj z razlicnima amplitudama (dolocenima z zacetnimi pogoji) in razlicnima frekvencama. Dobis lahko torej v posebnih primerih krozenje, sicer pa kaksna bolj splosna navitja (kot recimo sledenju lune, ki krozi okrog zemlje, ki krozi okrog sonca).

2. Ista finta. Opazis tocno realni in imaginarni del izraza (x+iy)^2. Fazni portret je kar sledenje resitvi na kompleksni ravnini.

3. \(y'=t\)
\(y=t^4+x\)
odvajas po t:
\(\dot{y}=4t^3+\dot{x}\)
kjer pikica odvaja po t. Druga enacba je pa \(y'=t=dy/dx=\dot{y}/\dot{x}\) oziroma \(\dot{y}=t\dot{x}\)
Zdaj imas navaden sistem 2 linearnih diferencialnih enacb.

4. Ker x manjka, lahko das substitucijo v=y' in y''=v*dv/dx in preides na diferencialno enacbo prvega reda, z neodvisno spremenljivko y. To resis s separacijo spremenljivk. S tem dobis v(y). Potem moras resit samo se enacbo v(y)=dy/dx, ki je en sam integral.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 29.1.2013 13:44

Najlepša hvala za pomoč, ampak še ne razumem vsega.
Hm, ali je možno tudi rešiti od dobljenih lambd dalje?\(\lambda ^4-6 \lambda ^2 +25\), potem ko dobimo lambde, kako dobimo končno rešitev?
1. ne razumem čisto, kako
2. kako bi našli prvi integral?
3. jasno
4.
Aniviller napisal/-a:y''=v*dv/dx
kako to dobimo? To potem vstavimo v enačbo, kako to izračunamo do konca?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 29.1.2013 15:20

1) V principu lahko... ko dobis lastne vrednosti, moras poiskat se lastne vrednosti, da imas matriko diagonalizirano. Potem sistem diferencialnih enacb - ki ga lahko napises kot \(\dot{a}=A\vec{a}\), kjer je v=(x,y,u,v), mnozis spremenis takole:
\(\dot{a}=PDP^{-1}\vec{a}\)
Mnozis z P^-1, nova spremenljivka \(\vec{b}=P^{-1}\vec{a}\),
\(\dot{b}=D\vec{b}\)
To so zdaj 4 neodvisne enacbe, ki dajo vsaka svojo eksponentno funkcijo (s poljubno kompleksnimi lambdami). Potem samo mnozis b nazaj s P, da dobis (x,y,u,v) skombinirane iz linearne kombinacije teh eksponentnih funkcij.

2)
Zapisi kot totalni diferencial. Zelimo si, da bi obstajala funkcija F(x,y), ki bi bila konstantna na resitvi diferencialne enacbe, torej \((F_x,F_y)\cdot(x',y')=0\)
oziroma
\(F_x (x^2-y^2)+F_y (2xy)=0\)
To kaj pomaga?

4)
To je standardna substitucija, ki jo lahko uporabis, ce neodvisna spremenljivka ne nastopa v enacbi. Posebej koristna je v fiziki, saj ti ravno pretvori vsak newtonov zakon v ohranitveni zakon. V resnici gre le za
\(y''=v'=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dy} v\)
Iz tega dobis (zdaj bo crtica kar odvod po y, in dobis
\(\frac{v v'}{18}=y^{1/3} 3^{-1/3}\)
\(v\, dv=18\cdot 3^{-1/3} y^{1/3} dy\)
integriras
\(\frac{v^2}{2}=18\cdot 3^{-1/3}\frac{3}{4}y^{4/3}+C\)
izrazis v, obrnes in nadajujes z integracijo. C lahko takoj dolocis, ce vstavis v=-9 in y=-3. Upam da ni kak predznak kje narobe in da koncni integral ni prevec grozen. Ce je C=0 potem bo slo.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 29.1.2013 23:51

Najlepša hvala :)
4. vse ok, tudi razumem to s substitucijo
2. hm, ne vem kako poiskati prvi integral in potem naprej izračunati za fazni portret, nismo omenjali diferenciala: za fazni portret smo rekli, da ga lahko narišemo:1. če eksplicitno izrazimo(redko), 2. s prvim integralom, 3. ali s pomočjo fiksnih točk

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 30.1.2013 1:02

No, pa si oglejva resitve...
\(z=x+iy\)
\(\dot{z}=z^2\)
\(-\frac{1}{z}=t+(a+bi)\)
\(z=-\frac{1}{t+a+bi}\)
Zavedat se je treba, da je integracijska konstanta v splosnem kompleksna, ker je z kompleksen. t je pa realen.
\(x={\rm Re\,}z=-\frac{t+a}{(t+a)^2+b^2}\)
\(y={\rm Im\,}z=\frac{b}{(t+a)^2+b^2}\)
Ce ti uspe eliminirat t (oziroma t+a, ker a te samo premika po krivulji naprej in nazaj) dobis implicitno enacbo krivulj v faznem prostoru.

Vsota kvadratov ti v stevcu da isto kot je v imenovalcu:
\(x^2+y^2=\frac{(t+a)^2+b^2}{((t+a)^2+b^2)^2}=\frac{1}{(t+a)^2+b^2}\)
Sicer imas na desni se vedno nekaj, kar vsebuje t+a, ampak na sreco to zlahka izrazis iz y:
\(x^2+y^2=\frac{1}{(t+a)^2+b^2}=y/b\)
to lahko predelas v
\(x^2+(y-\frac{1}{2b})^2=\frac{1}{4b^2}\)
oziroma ker je b prosta integracijska konstanta, lahko pises 1/2b=r in
\(x^2+(y-r)^2=r^2\)
kar je kroznica, premaknjena navzgor ravno toliko, da gre skozi izhodisce. Ce isces prvi integral, lahko pa izrazis b iz tistega dve enacbi visje, ko nastopa samo na eni strani:
\(b=\frac{y}{x^2+y^2}\)

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 30.1.2013 11:31

Še enkrat hvala, zdaj razumem. :)
Pri 1. pa ne vem, kako smo dobili:\(z''=4iz'-5z\), člen \(4iz'=4ix'-4y'\) namesto \(4iz'=4ix'+4y'\)??
Naloga:(nariši fazni portret)
\(x'=1/2xy-x\)
\(y'=1/2xy-y\)
Poiščem fiksne točke:\((0,0),(2,2)\), dobim lastne vrednosti:\(\lambda_{1,2}=-1\) in \(\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1\) pri drugi smo dobili last. vektorja \(v_{1}=(1,1), v_{2}=(1,-1)\). Vse razumem, razen,..kako smo dobili ta dva last. vektorja.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 30.1.2013 12:09

Sem ugotovila: \(Av_{1}=\lambda_{1}v_{1}\) :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 30.1.2013 14:34

Pri prvi: moja napaka, spregledal da ni minusa tam v prvotnih dveh enacbah. Potem ta nacin ni v redu in moras it naokrog (kompleksna konjugacija bi prisla noter, se pravi ni vec vse izrazeno z z-jem). Si pa zapomni ta trik za drugic.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a delta » 30.1.2013 17:47

Imam Euler-Cauchyjevo enačbo:
\(y''x^2-2y'x+2y=K(x^3+1)\)
Homogeni del dobim:\(y=Ax+Bx^2\)
partik. naj bi bil:A:\(y_{pa}=x^3C\), \(y_{pa}=K/2x^3\),
\(y_{pb}=D->y_{pb}=K/2\), splošna je: \(y=Ax+Bx^2+C(x^3+1)\)
Kako smo dobili partikularni del?

assya
Prispevkov: 6
Pridružen: 2.12.2009 13:42

Re: Diferencialne enačbe

Odgovor Napisal/-a assya » 7.5.2014 9:31

Živjo,
imam vprašanje, ki spada po diferencialne enačbe.
Naredit rabim seminar z naslovom Krivulje s konstantnimi dotikalnimi elementi, problem je da se mi niti ne sanja, kaj je to, oziroma kje naj to iščem. Navodila profesorja so bila, da moram rešit 4 primere, pri katerih dobim različne rešitve... Zelo bi bila vesela kakšrne koli info, usmeritve, kjer niti ne vem kje iskat.
Hvala! :)

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 9 gostov