Nekaj matematičnih vprašanj

[tritium]

Imam nekaj vprašanj, na katera ne vem točnih odgovorov oz. ne vem če imam prav ali pa so kake nejasnosti.. No imam prvo vprašanje:
Kakšen je geometrijski pomen polarnega radija? (kompleksna števila)
Torej po moje je pravzaprav polarni radij enak absolutni vrednosti kompleksnega števila (razdalji točke a+ib od izhodišča)? Imam prav? Ali pa sem kaj izpustil in je polarni radij nekaj drugega? Ima kdo kako boljšo razlago potem?

[Jurij]

ja, velikost kompleksnega števila z je enaka njegovi oddaljenosti od koordinatnega izhodišča. če si kompleksno število predstavljaš kot vektor, je to velikost vektorja.

No, ko smo glih pri kompleksnih števil, mam še jaz eno vprašanje. Množica realnih števil in njene podmnožice so urejene. Hočm reči, da če imamo dve realni števili, lahko povemo, katero je večje. Ali se tudi kompleksna števil da urediti na podoben način?

[tritium]

Ok, mislim, da se kompleksnih števil ne da urejat po velikosti.

Imam pa še naslednja vprašanja iz vektorskih prostorov. Kakšen je geometrijski pomen skalarnega produkta? Kaj naj si predstavljam pod to? Recimo da je s.p. produkt dolžine vektorja a, dolžine vektorja b in kosinusa vmesnega kota med njima? (formule nisem napisal ker nimam primernega urejevalnika formul). Kakšen pa je geometrijski pomen mešanega produkta?

[ZdravaPamet]

Ja, v navadnem smislu je skalarni produkt točno to, kar si napisal. Lahko si misliš skalarni produkt dveh vektorjev \(\vec{a}\) in \(\vec{b}\) kot produkt dolzine \(\vec{a}\) in dolzine projekcije \(\vec{b}\) na \(\vec{a}\) ali obratno. Se pravi:
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\gamma\)
Skalarnih produktov pa je lahko več. Ni samo ta navaden, ki ga izračunaš po znanem pravilu \(\vec{a}\cdot \vec{b} = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\). Znani so recimo skalarni produkti v prostorih polinomov, ki so definirani z integrali. V končni fazi pa je moč skalarnega produkta v tem, da ko imaš enkrat definirano to zverino, lahko meriš razdalje in kote. Razdalje in koti odvisijo prav od skalarnega produkta. Lahko izračunaš tudi kote med funkcijami.

Pomen mešanega produkta. Mešani produkt treh vektorjev je kar prostornina paralelepipeda, ki ga napenjajo. Tako preprosto.

[Marsovec]

Ok, mislim, da se kompleksnih števil ne da urejat po velikosti.

Ne bo držalo. Res je, da za kompleksna števila nimaš "naravne" urejenosti, kot naprimer pri realnih številih. Vseeno pa jih lahko urediš, če definiraš ustrezno relacijo, ki ustreza aksiomom za delno urejenost (ali še kaj več). Če jih urediš recimo leksikografsko: (a+ib) je večje od (c+id), če velja a>c ali pa (a=c in b>d), dobiš celo linearno urejenost.

[tritium]

sem našel še nekaj vprašanj, na katera ne vem čist točnih in podrobnih odgovorov. Recimo iz poglavja sistemi linearnih enačb: Kdaj so rešitve sistema linearnih enačb odvisne od p parametrov? Potem iz funkcij: Razloži bisekcijo (postopek za iskanje ničel in ekstremov funkcij). Pa iz poglavja o odvodih: Kaj so odvedljive in zvezno odvedljive funkcije?

Reševal sem še tud eno nalogo. poišči globalne ekstreme funkcije:
f(x)=x^4/4 – x^3 + x^2 + 1 na intervalu [0,3].

Izračunam prvi odvod: f`(x)=x^3 - 3x^2 + 2x
poiščem rešitve f`(x)=0 in dobim x(x-2)(x-1)=0
pri f(1)=5/4 to naj bi bil globalni maksimum
kaj je pa potem z globalnim minimumom? Je pri vrednosti x=2 ali mogoče pri x=0, ali pri obeh vrednostih? Kak se pa naj prepričam, da sem res dobil globalni maksimum ali minimum in ne lokalnih (recimo brez grafa)?

[ZdravaPamet]

Na prva vprašanja ne bi odgovarjal, saj odgovore lahko prebereš v kakem učbeniku.

Za globalni ekstrem tvojega polinoma pridejo v obravnavo stacionarne točke (kjer je prvi odvod nič), lahko pa tudi vrednosti polinoma na krajiščih intervala. Ker je polinom na zaprtem intervalu precej lepa funkcija, so to vse možnosti za globalni ekstrem. Globalni maksimum bo v desnem krajišču.