pomoč za izpit iz matematike II (graf funkcije)

[praznoglavec]

Prvo en lep pozdrav vsem uporabnikom foruma.
Imam sledeči problem. Tega tipa naloge nisem nikakor pretuhtat. Kolikor vem je funkcija liha. Tu se pa moje znanje konča

Nariši graf funkcije a0+ a1 cosx + b1 sinx, ki je delna vsota Fourierove vrste funkcije f(x)=1, za x, ki je absolutno manj kot 2π/4, in 0 drugje, s periodo 2π:



nato se naloge le še bolj zapletejo

Nariši graf funkcije a0+ a1 cosx + b1 sinx, ki je delna vsota Fourierove vrste funkcije f(x)=-1 za negativen x, ki je absolutno manj kot 2π/3 in je 1 za poziteven x, ki je absolutno manj kot 2π/3 in 0 drugje, s periodo 2π:


Za vsak nasvet, formule (baje sta dve: za sode in lihe funkcije, ki pa jih ne dobim) postopek bom izredno hvaležen.

[ZdravaPamet]

Razviti moraš funkcijo f v Fourierovo vrsto samo do prvih treh členov in narisati te tri člene. Formule za razvoj so pa najbrž znane.
\($f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(a_{n}\cos \frac{n\pi}{l}x +b_{n}\sin \frac{n\pi}{l}x}\right)$\)
Perioda je \(2l\).
Koeficiente dobiš iz Eulerjevih formul:
\($a_{0}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)\;dx$\)
\($a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\;dx$\)
\($b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\;dx$\)
Ni ti treba računati vseh koeficientov, tako da bo mogoče malo lažje. Izračunaš 0-ti in 1. a ter 1. b.

[Aniviller]

Prvi graf ne prikazuje dane funkcije (f(x)=1 za x<pi/2). Ta funkcija je soda, zato je sinusni clen enak 0. a0 in a1 moras izracunat. a0 se da ponavadi na pamet ker gre zgolj za povprecno vrednost funkcije. (v tem primeru je a0=1/2)

Drgua funkcija pa je liha (oba grafa jo prikazujeta), za lihe funkcije so kosinusni cleni enaki nic (vkljucno s konstantnim clenom, premisli zakaj), tako da moras izracunat samo b1. Formule ti je dal ze Zdrava Pamet.

Edina finta za lihe/sode funkcije je, da lahko polovico clenov vrzes stran in integriras samo po eni polovici intervala ker je stvar simetricna. Tako dobis za sode funkcije
\(a_0=\frac{1}{l}\int_0^lf(x)\mathrm{d}x\)
\(a_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}}\mathrm{d}x\)
za lihe pa
\(b_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}}\mathrm{d}x\)
Primerjaj formule s tistimi splosnimi.

[praznoglavec]

Uf ja sem opazil da sem dvakrat isto slikco prilepil
Kako pa vpliva pri drugem primeru navodilo: za negativen x... za pozitiven x... na meje integrala? pri prvem primeru sta meji 0 in pi/2 kako je pa pri drugem?

ps vem da utrujam, ampak mi je izpit zadnje upanje za izredno napredovanje v 3. letnik

[Aniviller]

Meje dolocis iz periode, tisto za pozitiven x in za negativen x itd... ti samo pove kaksna je funkcija (liha, soda, oblika funkcije...). Seveda integracija tam kjer je funkcija 0 ne prinese nicesar, tako da v koncni fazi mejo spremenis tako, da integriras samo tam, kjer je funkcija razlicna od 0, integral postane
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}1\cos{\frac{n\pi x}{\pi}\mathrm{d}x\)
za prvo funckijo (razen nicti clen, ki ima spredaj koeficient drugacen).
Za drugo funkcijo pa
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi/3}1\sin{\frac{n\pi x}{\pi}\mathrm{d}x\)

Eksplicitno sem poudaril, da je tvoj f(x) enak 1 (tam kjer je nic pa itak ne integriras).

Da bo malo bolj jasno, ce bi npr. za drugo funkcijo spregledal da je liha in racunal splosno (tudi ne negativni strani) bi bilo
\(\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-2\pi/3}^0 -1\sin{\frac{n\pi x}{\pi}\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi/3} 1\sin{\frac{n\pi x}{\pi}\mathrm{d}x\)
Lahko se prepricas da na koncu pride isto.

[praznoglavec]

aha se mi zdi, da sem končno nekaj uštekal torej če bi bil v prvi funkciji f(x)=-2, bi integriral -2 cos... oz bi -2 dali pred itergal ker je konstanta

[praznoglavec]

No mi je le uspelo preštudirat ta tip nalog. Res 100x hvala vsem, ki ste mi pomagal. Super ste

[praznoglavec]

Naredu izpit z 7/7

še enkrat hvala za ves trud in potrpljenje

[gregec]

da ne bom odpiral nove teme za ma2, Aniviller mi lahko pomagaš pri tejle nalogi, nekak se mi je zataknilo.. no lahko pomaga tudi kdo drug, da ne bo pomote



lp,
grega

[Aniviller]

Prvi del: gre precej lazje. Rabis samo normalo. Vektor projeciras tako, da mu odstejes komponento v smeri normale (ki jo moras seveda normirat). Torej:
\(\vec{x}'=\vec{x}-\vec{n}\frac{\vec{n}\cdot \vec{x}}{||n||^2}\)
Ce hoces to predstavit z matriko, je prvi clen identiteta, drugi pa \(\frac{1}{||n||^2}\vec{n}\vec{n}^T\) (ce x pomnozis s tem bos videl zakaj).
\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}-\)\(\frac{1}{11}\begin{bmatrix}1&3&-1\\3&9&-3\\-1&-3&1\end{bmatrix}\)
\(A=\frac{1}{11}\begin{bmatrix}10&-3&1\\-3&2&3\\1&3&10\end{bmatrix}\)
Vedno pomaga, ce si najprej napises v vektorski obliki, ponavadi si prihranis precej casa, v tem primeru sploh ni blo treba mnozit matrik...

Drugi del pa:
premico napises v vektorski obliki (to znas narest):
\(\vec{r}=t\vec{s}+\vec{r}_0\)
\(\vec{s}=\{1,2,-1\}\)
\(\vec{r}_0=\{2,3,0\}\)
No zdaj moras pa samo projecirat smerni vektor in zacetno tocko. Negibna je pa tista tocka, ki je ze prej lezala na dani ravnini, torej presecisce ravnine in premice.
Pri smernem vektorju lahko tisto enajstino spredaj kar spustis ker je vazna samo smer. Za izhodisce tega ne smes.
\(\vec{s}'=A\vec{s}=\{3,-2,-3\}\)
\(\vec{r}'_0=A\vec{r}'=\{1,0,1\}\)
Iz tega lahko nazaj napises enacbo premice.
\(\displaystyle\frac{x-1}{3}=-\frac{y}{2}=-\frac{z-1}{3}\)

Presecisce prvotne premice in ravnine pa kar sam izracunaj, je cisto rutinski postopek.

[gregec]

super si, kot vedno glede prvega dela pa lahko rečem samo res hvala, mi pa vsi tak kompliciramo (skupina v kateri sem pri MA) pa računamo inverz, ki ga je za cel list.. res, hvala ti!

lp,
grega