fizika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
johnko
Posts: 8
Joined: 7.8.2013 10:33

Re: fizika

Post by johnko » 22.3.2014 18:20

Rabil bi razlago kako s pomočjo matrik in lastnih vrednosti poiščem lastna nihanja in lastne frekvence sistema 3 mas in 3 vzmeti vpetih v steno, in to moram rešiti z jacobijevo in iterativno metodo iskanja lastnih vrednosti, ter tudi preko ničle polinoma..vse skupaj pa moram sprogramirati v nekem programskem jeziku

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 22.3.2014 18:45

No numeriko boš že nekako usposobil. Fizika pa je samo zapis diferencialnih enačb. Če so vzmeti po vrsti ena za drugo, potem uvedeš odmike uteži x,y,z. Enačbe uteži:
\(m\ddot{x}=-kx-k(x-y)\)
\(m\ddot{y}=-k(y-x)-k(y-z)\)
\(m\ddot{z}=-kz\)
Sistem enačb je torej
\(\ddot{r}=-\omega_0^2 Ar\)
kjer je \(\omega_0^2=\frac{k}{m}\), vektor \(r=(x,y,z)\) ter matrika
\(A=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}\)

johnko
Posts: 8
Joined: 7.8.2013 10:33

Re: fizika

Post by johnko » 22.3.2014 19:43

Nwm če se upošteval, ker nisem napisal, da so uteži z obeh strani vpete v steno, tako da so vzmeti in tri mase med dvema stenama...drugače pa si me izgubil že po diferencialnih enačbah...ali lahko več korakov opišeš, pa tudi kaj potem s to matriko narediti oziroma kaj so pravzaprav te lastne vrednosti ki jih dobiš...če se ti ljubi bolj podrobno napisat..hvala @aniviller

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 22.3.2014 20:04

No saj pri matriki sem že upošteval to, da je vpeto na obeh straneh (sicer ne bi bila spodaj in zgoraj enaka). Edino zadnja diferencialna enačba bi morala bit
\(m\ddot{z}=-k(z-y)-kz\)
kjer sem prvi člen enostavno pozabil napisat.

Diferencialne enačbe niso nič drugega kot 2. newtonov zakon. Masa krat pospešek na levi (drugi odvod po času), ter sila (-k*x) na desni, sešteto po vseh vzmeteh, ki so pripete na vsako utež. Potem sem stvar samo še prepisal v vektorsko obliko (leva stran je enostavno drugi odvod vsake komponente, desna stran pa vidiš, da rabi matriko, da pomeša x,y,z). Če iščeš nihanje, ki niha z eno samo frekvenco (lastno nihanje), hočeš nekaj v stilu \(r=r_l \sin \omega_l t\) in če ta nastavek neseš noter, dobiš
\(-\omega_l^2 r_l=-\omega_0^2 A r_l\)
kjer vsak par r_l in omega_l predstavlja lastni način nihanja (razmerje amplitud odmikov vseh treh uteži) ter lastno frekvenco. Tole zgoraj je pa že enačba za lastne vrednosti.

johnko
Posts: 8
Joined: 7.8.2013 10:33

Re: fizika

Post by johnko » 24.3.2014 15:32

Hvala, ampak ta zadeva postane bolj komplicirana že mase niso enake in koeficienti vzmeti različni, kake matrike pa pol pridejo?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 24.3.2014 18:50

Če direktno slediš postopku in samo na novo napišeš matriko, dobiš matriko, ki pa ni simetrična - take so malo bolj zoprne za numerično reševat. Bolj običajno se zapiše posplošen sistem lastnih vrednosti
\(M\ddot{r}=-Kr\)
kjer je M masna matrika, K je pa tisto na desni (kar ima zdaj resnično še k-je notri). Seveda lahko vedno uporabiš nek referenčni k in referenčni m, da dobiš spet tisti \(\omega_0^2\) spredaj, ki nosi enote, matrike so pa potem čiste številke.

M je diagonalna, nima pa več enakih vrednosti po diagonali. Če hočeš ohranit simetrijo, deliš z leve in z desne s korenom matrike M. V praksi to pomeni, da vsako vrstico in stolpec matrike K deliš s korenom ustrezne mase z leve matrike. S tem si nazaj na znanem problemu.

johnko
Posts: 8
Joined: 7.8.2013 10:33

Re: fizika

Post by johnko » 24.3.2014 21:01

Še vedno mi ni čisto jasno kako si prišel do teh koeficientov v matriki. To je tebi maybe obvious men pa niti ne..sicer pa se da tako izbrati m in k da še vedno pride simetrična matrika?

Sicer pa je tule celo navodilo:
Na različne načine (Jacobijeva metod, iskanje ničel sekularne enačbe, iterativno) določi lastna nihanja in lastne frekvence sistema, ki ga sestavljajo 3 uteži z masami m1, m2, m3, ki so zaporedno pripete s štirimi vzmetmi s konstantami k1, k2, k3, k4 med dve nepremični steni in med seboj. Če so konstante vzmeti in mase uteži izbrane tako, da ima sistem kako simetrijo npr k1=k4, k2=k3 in m1=m2 lahko nekatere lastne načine uganeš. Poišči tudi lastna nihanja sistemov, ki niso simetrični

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 24.3.2014 21:13

Matrika je samo drug način zapisa sistema linearnih enačb. Torej v bistvu niti ni nobenega toraka, samo zamenjava notacije.

Recimo
\(m_1 \ddot{x}=-k_1 x-k_2(x-y)\)
\(m_2 \ddot{y}=-k_2(y-x)-k_3(y-z)\)
\(m_3 \ddot{z}=-k_3(z-y)-k_4 z\)
Je itak isto kot
\(\begin{bmatrix}m_1&0&0\\0&m_2&0\\0&0&m_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\end{bmatrix}\)\(=-\begin{bmatrix}k_1+k_2&-k_2&0\\ -k_2 & k_2+k_3& -k_3\\ 0&-k_3 & k_3+k_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\ z\end{bmatrix}\)
Če delaš s kakim matlabom, verjetno zna tudi posplošen sistem lastnih vrednosti reševat ($(A-\lambda B)x=0$ namesto $(A-\lambda I)x=0$). Lahko z masno matriko deliš in potem diagonaliziraš, ampak kvocient ne bo simetričen tako da bo moral program uporabljat najsplošnejše metode, ki so počasnejše in manj natančne. Boljša varianta je tisto, kar sem prej omenil: deliš prvo vrstico in prvi stolpec s korenom m1, drugo vrstico in drugi stolpec s korenom m2,...
\(\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\end{bmatrix}\)\(=-\begin{bmatrix}\frac{k_1+k_2}{m_1}&-\frac{k_2}{\sqrt{m_1m_2}}&0\\ -\frac{k_2}{\sqrt{m_1m_2}} & \frac{k_2+k_3}{m_2}&-\frac{k_3}{\sqrt{m_2m_3}}\\ 0&--\frac{k_3}{\sqrt{m_2m_3}} & \frac{k_3+k_4}{m_3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\ z\end{bmatrix}\)

Ta matrika je zdaj simetrična in jo lahko rešuješ z običajnimi metodami.

LICA
Posts: 30
Joined: 21.3.2014 2:33

Re: fizika

Post by LICA » 29.3.2014 9:38

ImageImageImage
Image

JakaFizika
Posts: 9
Joined: 31.1.2014 22:23

Univerza: 1. letnik

Post by JakaFizika » 31.3.2014 20:13

Rabim pomoč pri dveh nalogah:

Naloga 1: Na žebelj pritrdimo dve enaki zelo dolgi vrvici. Na njuni krajišči obesimo telesi z masama 100 gramov in 500 gramov. Telesi odklonimo iz ravnovesne lege, vsakega na svojo stran in spustimo. Ko se zaletita, se sprimeta in obmirujeta. Lažje telo smo odklonili za 5 cm. Za koliko smo odklonili težje telo?

Poskusil sem rešiti z energijami in gibalno količino ampak mi en podatek manjka (3 enačbe 4 neznanke), pri izrazu mi ostane l = dolžina vrvi, saj naj bi nekaj zanemaril ker je zelo dolga. Ker če nič ne zanemariš potem je odmik odvisen od dolžine in zato tudi končna hitrost. Ampak edino kar znam zanemariti je višino, če pa to zanemarim pa praktično zgubim potencialno energijo.

Rezultat v rešitvah: 1 cm

Naloga 2: V klado balističnega nihala z maso 1 kg, ki visi na 1m dolgi vrvi, izstrelimo kroglico mase 50g v vodoravni smeri. Kroglica se odbije s polovično hitrostjo nazaj v isti smeri, klada pa se odkloni do kota 60 stopinj. Kolikšna je bila začetna hitrost kroglice?

Jaz sem poskušal izračunati na tak način, vendar kot kaže ni prav. Ali se energija ne ohranja?
\($\vartriangle W_{k} = \frac{1}{2}m_{1}((\frac{v_1}{2})^{2}-v_{1}^2)=- \frac{3}{8}m_{1}v_{1}^{2}$\)
Nato izenačim z končno potencialno energijo klade:
\($Mgh=\vartriangle W_{k}$\)
In potem dobim rezultat 16,7 m/s.

V rešitvah je 42 m/s.

JakaFizika
Posts: 9
Joined: 31.1.2014 22:23

Re: fizika

Post by JakaFizika » 31.3.2014 20:58

Ok, druga nalogo sem dojel. Rabim pomoč le za prvo.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 31.3.2014 21:12

1. Vse, kar rabiš, je enakost gibalnih količin. Če so kotni odmiki dovolj majhni, imaš \(\frac{mv^2}{2}=mgl(1-\cos\phi)\approx \frac{1}{2}mgl\phi^2\) oziroma \(v\propto (l\phi)=x\) kjer je \(x=l\phi\) odmik. Sorazmerje velja ne glede na dolžino vrvice. Za 5x večjo maso moraš dati 5x manjšo hitrost, da bo gibalna količina enaka. Zaradi sorazmerja to pomeni tudi 5x manjši odmik, torej 5cm/5=1cm.

ahonen
Posts: 114
Joined: 1.2.2014 11:42

Re: fizika

Post by ahonen » 5.4.2014 14:37

Zdravo, imam problem pri dveh nalogah in sicer:
1. Dve kroglici mase 8,5g visita na lahkih vrvicah, dolžine 3m. Vrvici sta pritrtjeni na strop v isti točki. Vsako od kroglic naelektrimo z nabojem 6.10^-7 As. Kolikšen je v ravnovesju naklonski kot vrvic glede na navpičnico? (REŠITEV = 5,9 stopinje)

2. Majhni kovinski kroglici, ki sta naelektreni z električnima nabojema 1.10^-6 As in 2.10^-6 As, pritrdimo na medsebojno razdaljo 30 cm. Kolikšna elektrostatska sila deluje na tretjo kroglico z nabojem -2.10^-6 As, ki jo postavimo na sredino zveznice prvih dveh kroglic? Kolikšna sila pa deluje na tretjo kroglico, če jo postavimo na razdaljo 40 cm od prve kroglice in 50 cm od druge kroglice (pravok.trikotnik)? (REŠITEV = zveznica: F = 0,80N; pravokotni trikotnik: F= 0,24N)

HVALA!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: fizika

Post by Aniviller » 5.4.2014 20:08

1. Zapiši ravnovesje sil. Uravnovešeno je, ko je tangens kota enak razmerju elektrostatske in gravitacijske sile (ker sila vrvice je vzdolž vrvice tako da lahko samo v to smer kompenzira silo). Torej,
\(\tan\phi=\frac{e^2/(4\pi \varepsilon_0 r^2)}{mg}\)
Zdaj se moraš pa spomnit, da je \(\frac{r}{2}=l\sin\phi\), pa imaš enačbo za kot, ki jo moraš rešit. Po moje celo v približku majhnih kotov \(\sin\phi\approx \tan\phi\approx\phi\) prideš skozi, se da pa tud čist točno :)

2. A) Izračunaj obe sili, in ju pravilno seštej (nariši si, katera kam vleče). B) isto, sam da bo seštevanje zdaj po Pitagorovem izreku, saj vlečeta v pravokotnih smereh.

ahonen
Posts: 114
Joined: 1.2.2014 11:42

Re: fizika

Post by ahonen » 5.4.2014 21:30

Pri prvi nalogi...l j dolžina vrvice, ki znaša 3 m. Se pravi da j r razdalja med kroglicama?
Pol me zanima formula r/2=l sin fi ... kaj naredim s to formulo v povezaavi s ta prvo, ki podaja razmerje med težo in magnetnoo silo?

Post Reply