Integral

[shrink]

joj to izpostavlanje iz korena...

drugač pa hvala, nevem kako bi jest kam pršu z učenjem brez tegale foruma

seveda mam pa spet eno uprašanje:


\(\int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}dx\)

Verjetno da bo kj z metodo substitucije samo nevem kako ?

Z matlabom sem probal rešit pa dobil neko "hudo" rešitev...

>> int(((1-x)/(1+x))^(1/2),x)

ans =

(-(x-1)/(x+1))^(1/2)*(x+1)/(-(x+1)*(x-1))^(1/2)*((1-x^2)^(1/2)+asin(x))

V knjigi pa imam rešitev podano kot \(arcsinx+\sqrt{1-x^2)}+C\)

Poskusi s "simplify" dobljeni izraz poenostaviti (ni pa nujno, da bo dobljeni izraz popolnoma poenostavljen do željene oblike).

Maple sicer ne producira take klobase, vendar tudi ne da povsem okrajšane rešitve (kar je razumljivo, ker je previden pri manipuliranju s koreni):

\(\sqrt{1-x} \sqrt{1+x} + \frac{\sqrt{(1-x)(1+x)} \arcsin x}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}\).

Mathematica pa da takoj rešitev:

\(\sqrt{1 - x^2} + 2 \arcsin[\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{2}}]\),

vendar tudi ta ni povsem poenostavljena (samo res ostro oko v desnem členu prepozna \(\arcsin x\)).

Aja, matlab NI matematicni program in je za ta namen najslabsa izbira.

Zakaj pa Matlab naj ne bi bil matematični program? Že res, da je bil v osnovi razvit za operacije z vektorji in matrikami (MATLAB je okrajšava za MATrix LABoratory), ki so fundamentalni za inženirske in znanstvene probleme (tako se tudi reklamirajo) in je posledično namenjen predvsem za "technical computing" (kot se tudi reklamirajo), vendar vseeno premore tudi paket za simbolno računanje (Symbolic Math Toolbox), ki je po zmogljivostih povsem primerljiv s konkurenčnimi matematičnimi solverji. Še več: Symbolic Math Toolbox 3.2.2 ima za simbolno računanje na razpolago celo jedro od Maple 10:

http://www.mathworks.com/products/symbo ... tion4.html.

Mi lahko glede programa svetuješ katerega, ki je ok za take probleme ? Mogoče maple ?

Sam recimo uporabljam Maple in Mathematico. Matlab (trenutno ga nimam inštaliranega) sem večinoma uporabljal za DSP (digitalno procesiranje signalov) in za simulacije dinamičnih sistemov (preko modula Simulink). Če sem pa že imel odprt Matlab in imel potrebo po (simbolnem) računanju kakega integrala ali reševanja kake enačbe, pa seveda zaradi tega nisem šel odpirati drugih programov, ker je temu namenu ravno tako dobro služil kot ostali.

P.S. Ko sem bil še študent, smo se s prfoksom za matematiko pogovarjali glede uporabe matematičnih programov. Dejal je, da uporablja Matlab in Mathematico. Ko smo ga povprašali, katerega bolj preferira, je odvrnil, da mu je po filozofiji bolj všeč Matlab, ker so ga ustvarili matematiki (šele kasneje sem ugotovil, da je tvorec Mathematice fizik). Nisem pa čisto prepričan, kaj je s tem v resnici mislil: funkcionalnost/uporabnost programa, stanovsko pripadnost ali se je zgolj morda šalil.

[Aniviller]

Strinjam se, da je matlab vedno boljsi tudi v simbolnem racunanju, ampak se vedno je to le "stranska funkcija" (kot plug-in) in jo je precej okorno uporabljati. Jaz matlab gledam predvsem kot program za numericno racunanje. Ne more se primerjati z Mathematico, ki ima jedro za funkcijsko programiranje in je optimizirana za simbolno racunanje.

[shrink]

Strinjam se, da je matlab vedno boljsi tudi v simbolnem racunanju, ampak se vedno je to le "stranska funkcija" (kot plug-in) in jo je precej okorno uporabljati. Jaz matlab gledam predvsem kot program za numericno racunanje. Ne more se primerjati z Mathematico, ki ima jedro za funkcijsko programiranje in je optimizirana za simbolno racunanje.

No, predvsem je odvisno od tega, katerim kriterijem mora ustrezati program, da se ga tretira kot "matematičnega". Če je to zgolj funkcijsko programiranje/simbolno računanje, potem je jasno, da matlab v osnovi ni "matematični" program.

Kar se tiče samega simbolnega računanja v matlabu, je res, da je potrebno za to inštalirati poseben paket (vsaj v starejših verzijah je bilo tako), vendar ko je paket inštaliran, je zadeva precej podobna (morda res ne tako uporabniku prijazna) kot v drugih programih: Matlabu je treba le dopovedati (z definicijo preko 'sym' oz. 'syms'), da spremenljivke tretira kot simbole. Jasno pa je, da je Matlab usmerjen predvsem v numerično računanje oz. v obdelavo velikih količin podatkov, zato se vedno manj ukvarjajo z razvijanjem algoritmov za simbolno računanje oz. to raje prepuščajo drugim.

[sniper]

Sem malo pregledal vse skupaj in ugotovil da je Maple 11 še najbol preprost in pregleden od vseh omenjenih. Za moje znanje matematike bo več kot dovolj...

[sniper]

\(\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\)

Ker nevem kako bi začel sem v Matematičnem priročniku našel tole:

\(\int\frac{dx}{x\sqrt{X}}=\frac{1}{a}arccos\frac{a}{x}\)
\(X=x^2-a^2\)

Potem je:


\(\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=arccos\frac{1}{x}+c\)

Maple in Mathematica pa pravita drugače:

\(-\arctan \left( {\frac {1}{\sqrt {{x}^{2}-1}}} \right)\)

[Aniviller]

Z arkusi moras biti pazljiv ker za njih veljajo nenavadne povezave. Resitvi sta enaki. To preveris takole. Novo resitev poimenujes "z" in izrazis x.
\(z=\arccos\frac{1}{x}\)
\(\cos z=\frac{1}{x}\)
\(x=\frac{1}{\cos z}\)
Kvadriras in uporabis zvezo \(\frac{1}{\cos^2 z}=1+\tan^2 z\)
\(x^2=1+\tan^2 z\)
\(\tan z=\pm\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(z=\pm\arctan\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
Pa imas na drugacen nacin izrazeno isto rec.

Integrala se lotis tako, kot ze lahko uganes iz resitve:
\(u=\frac{1}{x}\)
\(du=-\frac{1}{x^2}dx=-u^2 dx\)
\(\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int\frac{1}{x}\frac{1}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}dx=-\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\)
Ha, tukaj dobis se tretjo izrazavo, z \(\arcsin\).

[sniper]

Zanima me za zadnjo vrstico kako so prišle notri polovice? Ko je drugič narejen per partes se integral ponovi kot na začetku, samo kako je potem to rešeno naprej?

[thf]

Ko prideš do tretjega koraka, dobiš spet isti integral kot na začetku in imaš integralsko enačbo. Integral na začetku lahko poimenuješ npr \(I\). Vidiš, da imaš v tretjem koraku \(-I\) in ga preneseš na drugo stran ter dobiš \(2I = -e^x cos(x) + e^x sin(x).\)Potem pa samo še deliš z dva, da dobiš \(I\) - integral, ki ga iščeš; odtod polovice.

[sniper]

Ok Hvala. Kako pa je z tem razstavlanje na parcialne ulomke. Še vedno mi ni jasno, kako točno gre. Z tem naj bi razstavili dani ulomek na vsoto ulomkov, katerim se imenovalca neda več razstavit.


Recimo:
\(\frac{x+2}{x^3-2x^2}=\frac{x+2}{x^2(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)



od kje sedaj še notri člen \(\frac{A}{x}\)

[Aniviller]

Ce clen nastopa v kvadratu, moras vkljuciti vse potence. Stvar je lahko razumeti, ce tista dva spet das na skupni imenovalec:
\(\frac{Ax+B}{x^2}\)
Potrebujes dodaten parameter, da zadostis stevilu prostostnih stopenj oz. da dosezes dovolj visoko stopnjo v stevcu, da lahko popises vse mozne polinome. Mislim da je debata o podobnem problemu ze tekla (o kvadratnih imenovalcih, ki se jih ne da razstavit).

[sniper]

\(\int\sqrt{e^x-1}dx\)

če uporabim metodo substitucije


\(e^x-1=u\)
\(e^xdx=du\)

imam potem še vedno \(e^x\)

v izrazu za dx

[Aniviller]

Saj je prav. Spet si pozabil izrazit. \(e^x=1+u\)
\(\int\sqrt{e^x-1}dx=\int\frac{\sqrt{u}}{1+u}du\)
A samo jaz vidim necitljive formule ali je to globalen problem?

[sniper]

točno


Ja tudi pr meni je nečitljivo. Očitno nekaj latex nagaja...

[Kosho]

Imamo integral

a.jpg (3.27 KiB) Pogledano 6515 krat

in nato ulomek razcepimo na parcialne ulomke

b.jpg (8.07 KiB) Pogledano 6517 krat

ne razumem pa tega razcepa na parcialne ulomke, a mi lahko kdo prosim razlozi?

[sniper]

Če pogledaš par postov nazaj, so mi to že razlagali...