Eno vprašanje
Pri tej nalogi smo napisali matrični sistem in potem z determinantami izračunali \(I_2\) in \(I_3\). Mi lahko nekdo prosim razloži kako smo prišli do determinant \(\Delta_{2}\)in \(\Delta_{3}\), ki sta zapisane v števcih?
http://shrani.si/f/3d/sd/2MxrjPZa/p3212366.jpg
Determinanta
Re: Determinanta
Na osnovi Cramerjevega pravila:
\(\Delta_2\) dobiš tako, da 2. stolpec v \(\Delta_S\) nadomestiš s stolpcem (vektorjem) iz desne strani matrične enačbe.
Na identičen način dobiš \(\Delta_1\) (nadomestiš 1. stolpec) in \(\Delta_3\) (nadomestiš 3. stolpec).
\(\Delta_2\) dobiš tako, da 2. stolpec v \(\Delta_S\) nadomestiš s stolpcem (vektorjem) iz desne strani matrične enačbe.
Na identičen način dobiš \(\Delta_1\) (nadomestiš 1. stolpec) in \(\Delta_3\) (nadomestiš 3. stolpec).
Re: Determinanta
Malo sem si prebral v matrikah pa me zanima ali lahko z njimi rešujemo samo sisteme linearnih enačb, ali bi lahko recimo rešili tudi sistem kvadratnih enačb?
Re: Determinanta
Matricni racun je cista linearna algebra. Matrika ni nic drugega kot posplositev koeficienta linearne funkcije:
\(\vec{y}=\mathrm{A}\vec{x}+\vec{b}\)
Resiti enacbo \(kx=b\) je enostavno. Ce je spremenljivk vec, jih spakiras v vektor, koeficient pa postane matrika, ki jo je treba obrnit. Gre torej le za posplositev enodimenzionalnega problema.
Sistemi kvadratnih enacb vsebujejo kvadratne clene. Splosni kvadratni clen za vec dimenzij, ki vsebuje vse kombinacije (\(x^2,xy,y^2,\ldots\)) bi se napisal kot
\(\vec{x}\mathrm{A}\vec{x}\)
torej, najprej pomnozimo vektor z matriko in ga skalarno pomnozimo z drugim vektorjem. Temu se rece kvadratna forma. Vsakemu clen matrike pomeni koeficient pri ustreznem kvadratnem clenu. Je pa tu ena bistvena razlika: rezultat je skalar - opisali smo torej le eno enacbo z vecdimenzionalnimi kvadratnimi cleni (npr. enacbe stozernic). Sistemov kvadratnih enacb se tako ne da izraziti, kar je tudi logicno, ker so resitve precej zapletene in nepredvidljive z razlicnimi moznimi izidi in razlicnim stevilom resitev. Lahko pa razglasis clene za nove spremenljivke (\(x^2=a, xy=b, y^2=c, x=d, y=e\)) in resis linearni sistem. Na koncu moras potem se zmleti dobljene resitve in pogledati, katere se ne izkljucujejo.
Prej omenjeni zapis nam reducira enacbe stozernic v zapis
\(\vec{x}\mathrm{A}\vec{x}+\vec{b}\vec{x}+\vec{c}=0\)
kjer sem uposteval se ''premik'' (linearni cleni). V tej obliki je precej enostavno ugotoviti usmerjenost glavnih osi stozernice in tip ukrivljenosti v teh smereh (ali gre za hiperbolo, elipso, par premic, tocko,...). Diagonalizacija matrike pomeni, da smo nasli koordinatni sistem, v katerem ni mesanih clenov.
npr:
\(ax^2+2bxy+cy^2=1\)
ima matriko
\(\mathrm{A}=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}\)
Ce ne poznas postopka iskanja lastnih vrednosti, ti to verjetno ne pomeni kaj dosti, si je pa vredno zapomniti.
Odgovor na vprasanje je priblizno takle: matrike se obnasajo v vec dimenzijah kot samostojni sorazmernostni faktorji, najsplosnejso linearno zvezo med dvemi vektorji. Tako kot v eni dimenziji pa lahko z njimi sestavis tudi enacbe visjih redov, vprasanje je le, ce to kaj pomaga. Za resevanje linearnih enacb je npr. treba matriko samo obrniti, za razcep stozernic potrebujes ze lastne vrednosti, kar je racunsko zahtevnejse. Pri visjih redih se ti lahko zgodi, da zahtevas tako operacijo, za katero sploh ni ustaljenih postopkov resevanja in tako nimas orodja za resitev.
\(\vec{y}=\mathrm{A}\vec{x}+\vec{b}\)
Resiti enacbo \(kx=b\) je enostavno. Ce je spremenljivk vec, jih spakiras v vektor, koeficient pa postane matrika, ki jo je treba obrnit. Gre torej le za posplositev enodimenzionalnega problema.
Sistemi kvadratnih enacb vsebujejo kvadratne clene. Splosni kvadratni clen za vec dimenzij, ki vsebuje vse kombinacije (\(x^2,xy,y^2,\ldots\)) bi se napisal kot
\(\vec{x}\mathrm{A}\vec{x}\)
torej, najprej pomnozimo vektor z matriko in ga skalarno pomnozimo z drugim vektorjem. Temu se rece kvadratna forma. Vsakemu clen matrike pomeni koeficient pri ustreznem kvadratnem clenu. Je pa tu ena bistvena razlika: rezultat je skalar - opisali smo torej le eno enacbo z vecdimenzionalnimi kvadratnimi cleni (npr. enacbe stozernic). Sistemov kvadratnih enacb se tako ne da izraziti, kar je tudi logicno, ker so resitve precej zapletene in nepredvidljive z razlicnimi moznimi izidi in razlicnim stevilom resitev. Lahko pa razglasis clene za nove spremenljivke (\(x^2=a, xy=b, y^2=c, x=d, y=e\)) in resis linearni sistem. Na koncu moras potem se zmleti dobljene resitve in pogledati, katere se ne izkljucujejo.
Prej omenjeni zapis nam reducira enacbe stozernic v zapis
\(\vec{x}\mathrm{A}\vec{x}+\vec{b}\vec{x}+\vec{c}=0\)
kjer sem uposteval se ''premik'' (linearni cleni). V tej obliki je precej enostavno ugotoviti usmerjenost glavnih osi stozernice in tip ukrivljenosti v teh smereh (ali gre za hiperbolo, elipso, par premic, tocko,...). Diagonalizacija matrike pomeni, da smo nasli koordinatni sistem, v katerem ni mesanih clenov.
npr:
\(ax^2+2bxy+cy^2=1\)
ima matriko
\(\mathrm{A}=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}\)
Ce ne poznas postopka iskanja lastnih vrednosti, ti to verjetno ne pomeni kaj dosti, si je pa vredno zapomniti.
Odgovor na vprasanje je priblizno takle: matrike se obnasajo v vec dimenzijah kot samostojni sorazmernostni faktorji, najsplosnejso linearno zvezo med dvemi vektorji. Tako kot v eni dimenziji pa lahko z njimi sestavis tudi enacbe visjih redov, vprasanje je le, ce to kaj pomaga. Za resevanje linearnih enacb je npr. treba matriko samo obrniti, za razcep stozernic potrebujes ze lastne vrednosti, kar je racunsko zahtevnejse. Pri visjih redih se ti lahko zgodi, da zahtevas tako operacijo, za katero sploh ni ustaljenih postopkov resevanja in tako nimas orodja za resitev.
Re: Determinanta
Uhuhu hvala, bom pa kšn dan rabu, da vse tole predelam in te potem še kj vprašam 