Problem: imamo random generator z eksponentno verjetnostno porazdelitvijo in z njim generiramo števila \(x_1, x_2,x_3, \ldots\) Zanima nas verjetnost za dolžine nizov, ko so števila izmenoma večja in manjša od predhosnika. Niz dolžine 5 bi bil naprimer: \(x_1 < x_2 > x_3 < x_4 > x_5 > x_6 \ldots\) (dobimo nekakšen cik-cak).
Verjetnostna porazdelitev je \(w(x) = e^{-x}\), verjetnostne gostote za dolžine pa zapišemo
dolz 2: \(w_2(x) = w_1(x) \int_{x_1}^{\infty} w(x_2) dx_2\)
dolz 3: \(w_3(x) = w_1(x) \int_{x_1}^{\infty} \int_{0}^{x_3} w(x_2) w(x_3) dx_3 dx_2\)
dolz 4: \(w_4(x) = w_1(x) \int_{x_1}^{\infty} \int_{0}^{x_2} \int_{x_3}^{\infty} w(x_2) w(x_3) w(x_4) dx_4 dx_3 dx_2\)
dolz 5: \(w_5(x) = w_1(x) \int_{x_1}^{\infty} \int_{0}^{x_2} \int_{x_3}^{\infty} \int_{0}^{x_4} w(x_2) w(x_3) w(x_4) w(x_5) dx_5 dx_4 dx_3 dx_2\)
itd.
Da dobimo verjetnost potem samo še pointegriramo \(\int_{0}^{\infty} w_n(x) dx_1\)
Verjetnosti je dokaj lahko dobit, jaz bi pa rad neko splošno formulo, saj za niz dolžine 30 ne mislim računat 30 integralov. Verjetnosti padajo sorazmerno z (1/n!), za člene v števcu pa ne dobim nekega zaporedja. Verjetno bi se dalo dobit kakšno rekurzivno relacijo, ampak mi še ni uspelo.
Vsak namig dobrodošel.
LP!