Fizika - izpeljave z integrali

[peterepsek]

Zdravo,

pripravljam se na ustni izpit iz Fizike 1 na fakulteti. Profesorja večinoma zanimajo izpeljave, zato jim posvečam tudi največjo pozornost. Je pa problem, da je teh izpeljav ogromno, moje znanje integralov je pa bolj borno, zato se jih težko učim z razumevanjem. Bi bil kdo tako prijazen in mi obširno obrazložil par kratkih izpeljav, toliko da se naučim koncept izpeljevanja?

1. primer: enakomerno pospešeno gibanje
\(dv=adt\)
\(\int\limits_{v_0}^{v}dv=\int\limits_{0}^{t}adt\)
zdaj pa elementarna vprašanja:
zakaj takšne zgornje meje? V naslednjem koraku se vstavijo nove meje (v Latexu ne najdem znaka |). Zakaj in kdaj se vstavijo te meje? Kdaj se spremenijo in kdaj ostanejo enake? Kako se sploh že računajo? Rezultat te izpeljave je \(v=v_0+at\)

Pri naslednji izpeljavi \(d_s=vdt\) npr. teh novih mej nismo nikjer vstavili.

To bo za začetek, če še pri kakšni izpeljavi v nadaljnje ne bom kaj vedel, bom poročal.

Hvala za pomoč,
lp

[fogl]

Če velja \(dv=adt\), potem velja tudi \(\int\limits_{v_1}^{v_2}dv=\int\limits_{t_1}^{t_2}adt\), pri čemer \(v_1\) pripada času \(t_1\) in \(v_2\) času \(t_2\). Začetno stanje ponavadi poznaš, zato rečeš da bo \(v_1=v_0\) in takrat rečeš da bo to čas \(t_1=0\). Končno stanje pa ne poznaš (iščeš rešitev za poljubno končno stanje), zato ga označiš kot neko hitrost \(v\) ob času \(t\).
Če potem to integriraš dobiš to kar si napisal spodaj \(v=v_0+at\). Nikjer se meje niso spremenile.

[shrink]

Naivno je pričakovati, da boš razumel izpeljave, ki zahtevajo znanje višje matematike, a tega znanja sam še nisi osvojil. Če delaš izpit iz Fizike 1, sklepam, da delaš (boš delal) tudi izpit iz Matematike 1 ali Analize 1. V programu tega predmeta je vselej tudi integralni račun. Če si hodil na predavanja (in vaje) tega predmeta, je skoraj nemogoče, da ne bi zmogel razumevanja "izpeljave", po kateri sprašuješ. Gre pač za čiste osnove.

Pa da ne bom samo nergal, ti bom dal nekaj napotkov, na katerih lahko začneš graditi. Najprej si na KvarkaWiki oglej:

Nedoločeni integral:

http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.p ... _integrala

http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.p ... integralov

Določeni integral:

http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.p ... _integrala (to lahko izpustiš)

http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.p ... _integrala

http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.p ... %C4%8Denim (to je najbolj pomembno za razumevanje "izpeljave")

Sedaj se lahko lotimo tvojega primera:

Izhodišče je definicija pospeška \(a =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\), ki ni nič drugega kot diferencialna enačba z ločljivima spremenljivkama in jo je treba rešiti (poiskati \(v(t)\)). To storimo tako, da najprej ločimo spremenljivki:

\(\displaystyle \mathrm{d}v=a\, \mathrm{d}t\)

in vsako spremenljivko posebej (določeno) integriramo:

\(\displaystyle \int_{v_0}^v \mathrm{d}v= \int_0^t a\, \mathrm{d}t\).

Spodnja meja je pri tem začetni pogoj \(v(0)=v_0\) (torej: ob času \(t=0\) je hitrost \(v=v_0\)), zgornja meja pač hitrost \(v\) ob nekem času \(t\).

Kako se določeno integrira, si si prebral že na KvarkaWiki:

\(\displaystyle \int_{v_0}^v \mathrm{d}v = v \vert_{v_0}^v = v - v_0\)

in

\(\displaystyle \int_0^t a\, \mathrm{d}t = a \int_0^t \mathrm{d}t = at \vert_0^t = a(t-0) = at\).

Pri tem smo seveda upoštevali \(\int \mathrm{d}x = x + C\) (glej tabelo nedoločenih integralov) in posledično:

\(\displaystyle \int_a^b \mathrm{d}x = x \vert_a^b = b-a\) (povezava med nedoločenim in določenim integralom oz. t.i. Newton-Leibnizova formula)

ter pogoj za enakomerno pospešeno gibanje \(a=\mathrm{konst.}\) (konstanto lahko namreč pred integral izpostavimo).

Končno sledi:

\(v - v_0 = at\)

oz.

\(v = v_0+at\) (znana zveza med hitrostjo, pospeškom in časom pri enakomerno pospešenem gibanju).

[Aniviller]

Mogoce se nekaj pripomb: oznaciti mejo z isto oznako kot integracijsko spremeljivko je nepregledno in v strogem celo napacno. Razumeti je treba, da integriras po TRENUTNI HITROSTI OB VSAKEM CASU, od zacetne hitrosti do koncne hitrosti (ki je hitrost ob casu t in ne tekoca integracijska hitrost). Enako za cas. Boljsa pisava je torej
\(\int_{v_0}^v\,\mathrm{d}v'=\int_0^t a(t')\,\mathrm{d}t'\)

V splosnem so seveda meje odvisne od tega kaj racunas, cisto splosna je le diferencialna oblika. Zgornji izraz pomeni: hkrati, ko cas tece od 0 proti t, se hitrost spreminja od \(v_0\) do \(v\). \(v\) je hitrost ob casu t. Pospesek lahko izpostavis le, ce je neodvisen od casa, v nasprotnem primeru pa ostane notri - tako recimo razresis problem, ko se sila spreminja s casom.

[shrink]

Mogoce se nekaj pripomb: oznaciti mejo z isto oznako kot integracijsko spremeljivko je nepregledno in v strogem celo napacno. Razumeti je treba, da integriras po TRENUTNI HITROSTI OB VSAKEM CASU, od zacetne hitrosti do koncne hitrosti (ki je hitrost ob casu t in ne tekoca integracijska hitrost). Enako za cas. Boljsa pisava je torej
\(\int_{v_0}^v\,\mathrm{d}v'=\int_0^t a(t')\,\mathrm{d}t'\)

Morda je v strogem napačno, ne bi pa rekel, da je nepregledno, če veš, kaj računaš.

Kar se tiče boljše pisave, pa sem še skoraj v vsakem učbeniku videl notacijo, ki sem jo sam uporabil: Strnad v svoji "Fiziki" npr. ravno tako uporablja za mejo isto oznako kot za integracijsko spremenljivko.

Pospesek lahko izpostavis le, ce je neodvisen od casa, v nasprotnem primeru pa ostane notri - tako recimo razresis problem, ko se sila spreminja s casom.

Upam, da je razumljivo, da je s tem, ko sem rekel, da je pospešek konstanta, mišljeno, da je neodvisen od časa.

[Aniviller]

Hocem reci samo, da iz izkusenj vem, da vecino zacetnikov zmede integracijska spremeljivka v meji, ker zabrise razliko med dolocenim in nedolocenim integralom. V praksi seveda vsi (se posebno v fiziki) poenostavljamo notacijo na racun pravil

[thejimi]

Ker se moje vprašanje nanaša na podobno temo si bom kar izposodil tole temo. Imam tako nalogo:
Zanima me v bistvu samo kako pridem do hitrosti? Sem že kar nekaj časa zapravil pri tej nalogi pa mi nikakor ne uspe.

[shrink]

Izhajaš iz zvez (glej na vrhu teme): \(dv=adt\) in \(ds=vdt\). Ker imaš podano odvisnost \(a(v)=-kv^2\), lahko drugi del problema takoj rešiš z vstavitvijo v prvo zvezo, tako da dobiš diferencialno enačbo z ločljivima spremenljivkama:

\(\displaystyle\frac{dv}{v^2}=-kdt\)

ki jo rešiš z integriranjem leve in desne strani ob ustreznih mejah integracijskih spremenljivk (\(v\): od \(v_0\) do \(v\) in \(t\): od \(0\) do \(t\)). Tako dobiš odvisnost \(v(t)\), zanima pa te \(v(t=10\mathrm{~s})\).

Prvi del problema pa rešiš z vstavitvijo pravkar dobljene odvisnosti \(v(t)\) v zvezo \(ds=vdt\), kar ti spet da dif. en. z ločljivima spremenljivkama (tokrat \(s\) in \(t\)) in jasno z rešitvijo \(s(t)\). Tokrat te zanima \(s(t=10\mathrm{~s})\).

Za tretji del problema moraš poiskati ničlo \(v(t)=0\) (odgovor je na dlani že ob pogledu na tip funkcije).

[derik]

Latex na zgornjih wiki-linkih ne dela

[shrink]

Ja, nekaj se je sesulo v wikiju.

[thejimi]

Tako bo pa šlo. Sem bil na pravi poti vendar mi ne bi šlo brez pomoči. Najlepša hvala

[shrink]

Iz ZS:

Imam še eno vprašanje glede izpeljave, ki si mi jo včeraj razložil in sicer:

ki jo rešiš z integriranjem leve in desne strani ob ustreznih mejah integracijskih spremenljivk (v: od v0 do v in t: od 0 do t). Tako dobiš odvisnost v(t), zanima pa te v(t=10 s).

Pri integracijskih spremenljivkah ne vem kaj bi uporabil za v0 in v? Nekako vedno dobivam končni rezultat 0.61 pa ni niti približno pravilen.

Gre za določeno integriranje - leva stran:

\(\displaystyle\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=\int_{v_0}^vv^{-2}dv=\frac{v^{-1}}{-1}\vert_{v_0}^v=-\frac{1}{v}-(-\frac{1}{v_0})=\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}\)

Pri tem je bil seveda nedoločeni integral tipa: \(\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\), določeni integral pa se računa seveda po formuli: \(\int_a^b f(x)dx=F(x)\vert_a^b=F(b)-F(a)\), kjer je \(F(x)\) nedoločeni integral \(f(x)\) (brez integracijske konstante C).

Desna stran:

\(\displaystyle\int_0^t -kdt=-k\int_0^tdt=-kt\vert_0^t=-kt-(-k\cdot 0)=-kt\)

Rešitev je torej:

\(\displaystyle\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}=-kt\)

in od tod:

\(\displaystyle v(t)=\frac{1}{\frac{1}{v_0}+kt}\)

Za \(t=10\mathrm{~s}\) in \(v_0=4\mathrm{~m/s}\) je hitrost:

\(v=0.148\mathrm{~m/s}\).