Matematika

[Aniviller]

Seveda moras primer, ko sta a in b pravokotna obravnavati posebej, ker je takrat velik del matrike nic in bosta jedro in slika drugacna.

Imam pripombo: \(\vec{a}(\vec{a}\times\vec{b})\equiv 0\). Tako da matrika je malo lepsa.

Pa tole je cudno:

\(\alpha(0, \vec a\vec a, 0) + \beta(0,\vec a\vec b, 1) + \gamma(0,1,0) = (0,0,0)\)

Tretji clen ne spada zraven.

Pripomnil bi tudi to: ce je rang poln, potem je zaloga vrednosti itak cel prostor. Drugace pa ni varno operirati z matrikami, ce baza ni ortonormirana (ali vsaj ortogonalna). Ker samo v ortogonalni bazi matrika zares odraza skalarni produkt, v nasprotnem primeru pa veliko matricnih operacij ne da vec pravega rezultata. Recimo tipicen primer je tole: najdes bazni vektor jedra, recimo (1,0,0). V ortogonalni bazi velja, da vektorja (0,1,0) in (0,0,1) napenjata ortogonalni komplement jedra, A*ortogonalni komplement ti pa takoj da bazo slike. Tukaj pa (1,0,0) in (0,1,0) nista pravokotna (to sta a in b).

Tako da pazi malo.

Jedro si tudi narobe dolocil... matrika ima determinanto razlicno od nic, zato nima jedra.

[cHewap]

Aha hvala, sem popravil, torej je v jedru le vektor (0,0,0). V primeru da sta a in b pravokotna pa dobim:

\(A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
\vec a\vec a & 0 & -\vec a\vec a \\
0 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}\)

Za jedro dobim, da je vsak vektor oblike\((x,0,x)\), bazo za zalogo vrednosti pa \((0,\vec a\vec a, 0)\) in \((0,0,1)\).

Imam še eno vprašanje, matriko si predstavljam kot funkcijo, ki slika en prostor v drugega. kako potem pridemo do vrstičnih operacij na matrikah? ali ob temu ne spremenimo tudi preslikave v neko drugo preslikavo?

[Aniviller]

No to je pa zdaj v redu.

Vrsticne operacije na sami matriki kot preslikavi niso smiselne (res dobis neko drugo preslikavo). To je samo orodje za resevanje sistemov (in obracanje matrik,...) - ker ce matrika predstavlja sistem enacb, potem vrsticna operacija naredi sicer drugo matriko, ki pa opisuje isti sistem!
Seveda lahko vedno ko imas enacbo, mnozis z vrsticno operacijo z obeh strani - to je tudi pri resevanju sistemov tako. Ko pri razsirjenem sistemu izvajas vrsticne operacije to ni nic drugega kot to, da iste operacije izvajas tako na matriki na levi, kot na vektorju na desni. Dobis iz
Ax=b
sistem
(TA)x=Tb
(T kompozicija vrsticnih operacij). Ce si s tem dosegel, da je TA=1, potem si nasel inverz matrike. TA kot preslikava je pa cisto nekaj drugega kot A.

Torej, matrike imajo vec razlicnih pomenov. Matrika je lahko bodisi zapis sistema enacb, preslikava na vektorjih, lahko je fizikalni tenzor (spremeljivka, z vrednostmi, ki variirajo s smerjo), lahko predstavlja lastnost skalarnega produkta - metriko, lahko je matrika sama element nekega prostora (oziroma nacin zapisa elementov prostora). Recimo namesto kompleksnih stevil lahko uporabis realne matrike (recimo ((1,0),(0,1))=1, ((0,-1),(1,0))=i: s tem zagotovis, da je i^2=-1 in dobis isto algebro kot pri kompleksnih stevilih). In tako naprej. Seveda to niso tako loceni pojmi kot izgledajo, ker za vse veljajo ista pravila in se v doloceni meri pojmi prepletajo - povsod kjer imas linearne lastnosti bodo prisle zraven matrike.
Matrike, ki predstavljajo kaj vec kot linearni sistem, so skoraj vedno kvadratne in v fizikalnem kontekstu tudi najveckrat simetricne... splosna pravokotna matrika je pa bolj matematicni konstrukt.

[cHewap]

a bi lohka kakšn namig kako narediti, če sta \(\vec a, \vec b\) vzporedna. tedaj iz njiju ne morem tvoriti baze. naloga pa zahteva, da določim jedro in zalogo v odvisnosti od\(\vec a,\vec b\).nisem siguren, če je treba to možnost sploh upoštevat ampak v navodilu nič ne piše, da sta lin neodvisna.

[Aniviller]

No v tem primeru lahko napises kar
\(Ax=q (a\cdot x)a+a\times x\) (ce a in b nista enako dolga imas recimo se nek skalar q zraven)

Tako kjer imas samo en tipicen vektor sva ze resevala. Ker drugi vektor ne nastopa, vemo, da se cel ortogonalni komplement "a"-ja obnasa enako (je cel v jedru ali pa ne - za sliko podobno).

No, za x sorazmeren z a dobimo
Ax=q|a|^2 a
od koder ugotovimo da "a" ni v jedru, ter "a" je v sliki.
Prav tako bo pa za vse, kar bo pravokotno na "a", prvi clen nic in ostane
\(Ax=a\times x\)
Ta ni nic in je tudi pravokoten na a. Torej, jedra ni, slika je pa polna.

[cHewap]

kaj to pomeni da je slika polna?

[Aniviller]

Pac cel prostor (v tem primeru \(\mathbb{R}^3\)). Saj mora bit - ce je jedro prazno.

[noragaza]

Zataknilo se mi je pri racionalni enačbi pri vprašanju, kdaj lahko graf prečka asimptoto ?

Lep pozdrav

[markich]

predvidevam, da misliš vodoravno asimptoto. torej, vodoravna asimptota ti samo pove obnašanje racionalne funkcije v neskončnosti (v obe smeri, torej pozitivna in negativna neskončnost). Po domače, daleč od izhodišča grafa se bo funkcija približevala asimpototi. Asimptoti se pa funkcija začne približevati od zadnje ničle ali pola. med ničlami pa lahko seka vodoravno asimptoto. To je nekako na hitro, če imaš konkretno vprašanje z nalogo, pa vprašaj. lp

[Anya]

Prosila bi za razlago naloge s polinomi in funkcijami.

Naj bo p je element Z (x) (x je v oglatem oklepaju) tak polinom, da je p(a)=0 za neko celo število a. Dokaži, da je
p(1997) p(2000) ≠ 7^n, za vse n je element naravnih števil.

Torej meni je nekak jasno do sem: p(1997) = p(1997)-p(a)=(1997-a)k in p(2000)=p(2000) - p(a) = (2000-a)l

V rešitvah je tu konec in razlaga, da števili (1997-a) in (2000-a) nista hkrati deljivi s 7, kar mi je razumljivo.
Jaz se tu ne bi ustavila in bi zmnožila: p(1997)p(2000)= (1997-a)(2000-a)kl
Kaj pa potem pomenita k in l, ali ne moreta biti 7? Zgleda, da ne razumem izreka za polinome s celoštevilskimi koeficienti: p(d) - p(c) = k (d-c)

[Jurij]

ne ne, čist prov razumeš, stvar je v tem, dfa ker nista oba hkrati deljiva s 7, tist celotni del nikakor ne bo mogu bit potenca od 7, saj že (2000-a)(1997-a) ne more bit potenca od 7.

[Anya]

ne ne, čist prov razumeš, stvar je v tem, dfa ker nista oba hkrati deljiva s 7, tist celotni del nikakor ne bo mogu bit potenca od 7, saj že (2000-a)(1997-a) ne more bit potenca od 7.

Ja, ravno to mi ni jasno...?

[Jurij]

ok, ti si prišla do tega: p(1997)p(2000)=(1997-a)(2000-a)kl; rada bi dokazala, da to ni potenca števila 7. v tem primeru bi morajo biti vsi od štirje faktorji potence števila 7. ker 7 ne deli hkrati 1997-a in 2000-a, pomeni, da ne moreta biti oba potenci 7. ostane edino še možnost, da 1997-a=1 in 2000-a=7^x ali 2000-a=1 in 1997-a=7^y, za kar hitro ugotoviš, da ne more biti res. torej že (1997-a)(2000-a) ni potenca števila 7, zato tudi p(1997)p(2000) ne more biti.

[Anya]

Ok, zdaj pa razumem...

[Anya]

Prosila bi še za razlago ene naloge s polinomi, kjer je dokazovanje s popolno indukcijo.

Dokaži, da je za vsako naravno število n polinom p(x) = (x+1)^(2n+1) + x^(n+2) deljiv s polinomom
q(x)=x^2 + x + 1.

Ok, najprej dokažemo za n=1.
Potem naprej pa bi jaz predpostavila, da ta trditev velja za n=m in bi šla dokazovat za n= m+1, kar bi vstavila v p(x). V rešitvah pa so najprej preoblikovali p(x) in bi potem naj uporabili indukcijsko predpostavko. Kaj je v njihovem primeru indukcijska predpostavka? Ker v mojem bi bila n=m. Ali bi z mojim načinom lahko prišla do rešitve?