Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Preveri, če si pravilno napisala prvi pogoj. Na dessni imaš za argumente same x.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Glede na obliko pogojev, je očitno, da zadoščata funkciji f(x)=sin(x) in g(x)=cos(x). Kar tako najti popolnoma vse realne funkcije, ki zadoščata pogojema, ne bo šlo. Vsaj jaz ne vidim, kako bi. Si prepričana, da piše najdi vse. Morda piše najdi eno.

Anya
Prispevkov: 166
Pridružen: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Anya »

ZdravaPamet napisal/-a:Glede na obliko pogojev, je očitno, da zadoščata funkciji f(x)=sin(x) in g(x)=cos(x). Kar tako najti popolnoma vse realne funkcije, ki zadoščata pogojema, ne bo šlo. Vsaj jaz ne vidim, kako bi. Si prepričana, da piše najdi vse. Morda piše najdi eno.
Nwm, meni se zdi, da nam je profesorca dala itak nepopolno besedilo, ker mam napisano samo da gre g: R - R in pa te enačbe. Potem smo pa šli to kar vstavljat...

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Če pogoje dobro pogledaš, vidiš, da so v bistvu adicijski izreki za sinus in kosinus. Zato sinus in kosinus zadoščata pogojem.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Že vidim, kaj ste počeli s tem. Skušali ste konstruirati funkciji z vstavljanjem številk. Postavi \(y=0\). Dobiš:
\(f(x)(1-g(0))=g(x)f(0)\)
\(g(x)(1-g(0))=-f(x)f(0)\)
Od tod f(0)=0 in g(0)=1.
Zdaj pa se moraš igrati. Lahko pokažeš cel kup lastnosti teh dveh funkcij f(x) in g(x), ki se ujemajo z lastnostmi funkcij sinus in kosinus (recimo, da je \(f^2+g^2=1\), \(f(\pi/2-x)=g(x)\) itd...)

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Jurij »

pri teh nalogah se skoraj vedno išče zvezne funkcije, zato sklepam, da je biu to tudi del navodila. sicer obstaja izjemno velika družina patoloških funkcij, ki zadoščajo danima pogojema.
podobno je npr. pri cauchyjevi enačbi f(x+y)=f(x)+f(y); množico vseh rešitev je težko opisat, če pa dodamo kot pogoj še monotonost ali zveznost, so edine rešitve oblike f(x) = c*x.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

V končni fazi, rešitev si našla. Zdi se, da je edina. To je že zelo veliko. Kar manjka, je dokaz tega.
Lahko bi recimo definirala funkcijo \(f(x)/g(x)=h(x)\). S tem bi tista dva pogoja (če ju deliš) pretvorila v
\($h(x+y)=\frac{h(x)+h(y)}{1-h(x)h(y)}$\)
Če pokažeš, da je funkcija h tangens, si obenem pokazala, da je f sinus in g kosinus.

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Tukaj je par rešitev (rešitve so res patološke, kot je Jurij rekel):

1. f=g=0
2. f=0, g(x)=a^x
3. f=0, g pa je katerakoli rešitev enačbe g(x+y)=g(x)g(y) (teh je malo morje ...), npr. \(\mathbb{R}\) kot vektorski prostor nad \(\mathbb{Q}\) zapišem kot \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\oplus A\), na \(\mathbb{Q}\) definiram g(x)=a^x, na \(A\) pa g(x)=b^x in dobim še eno rešitev ....
4. .....

p. s. zveznih rešitev je seveda bistveno manj ...

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Funkcionalne enacbe se ponavadi lotimo z odvajanjem - to ti da se najlazjo sanso za korektno resitev (brez ugibanja, ki v tem primeru sledi iz adicijskih izrekov). Seveda s tem odpadejo vse nezvezne resitve, ki obstajajo, nas pa ponavadi niti ne zanimajo.
Odvajamo po x, nato x postavimo na 0:
\(f'(y)=c g(y)+d f(y)\)
\(g'(y)=d g(y)-c f(y)\)
c in d sta zaenkrat neki poljubni konstanti (odvoda f in g v izhodiscu).
Iz prve izrazis g(y):
\(g(y)=f'(y)/c-d/c f(y)\)
\(g'(y)=f''(y)/c-d/c f'(y)\)
Druga enacba postane
\(f''(y)/c-d/c f'(c)=d f'(y)/c-d^2/c f(y)-cf(y)\)
\(\frac{1}{c}f''(y)-2\frac{d}{c} f'(y)+(\frac{d^2}{c}+c)f(y)=0\)
Resitve teh enacb so oblike
\(Ae^{\lambda y},\quad \lambda=d\pm i c\)
Oziroma z drugimi besedami
\(f(y)=e^{d y}(B\sin cy+C\cos cy)\)
Iz izrazave g(y) zgoraj dobimo tudi
\(g(y)=e^{d y}(B\cos cy-C\sin cy)\)
Seveda mora veljati f'(0)=c in g'(0)=d kot smo oznacili na zacetku. Iz tega dobimo pogoja
\(dC+Bc=c\)
\(dB-Cc=d\)
Od koder sledi
\(C^2=-(1-B)^2\) in posledicno C=0, B=1.

Splosna resitev problema je torej
\(f(y)=e^{d y}\sin cy\)
\(g(y)=e^{d y}\cos cy\)
Za vse funkcije te oblike veljajo zapisani adicijski izreki. Prej najdena resitev je samo en zelo specialen primer pri d=0, c=1.
c=0 pa recimo da resitve ki jih je predlagal Zajc: f(y)=0, g eksponentna.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Odlično, Aniviller! Sem razmišljal v tej smeri, ampak sem si premislil, ker se je zdelo preveč komplicirano.

kaja7
Prispevkov: 1
Pridružen: 13.2.2011 20:45

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a kaja7 »

Hojla!

Zanima me, če mi lahko kdo pomaga pri tej nalogi.

Kateri pravokotnik z obsegom 10 ima najdaljšo diagonalo?
Naloga spada pod ekstremalne probleme.

Hvala.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Izrazi... minimiziras \(\sqrt{a^2+b^2}\), pri cemer puscas \(2(a+b)=s\) konstantno. Iz druge izrazi eno izmed stranic, potem pa na obicajen nacin poisci ekstrem.

Anya
Prispevkov: 166
Pridružen: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Anya »

Imam neko vprašanje pri kotnih funkcijah.

Zapiši kot produkt: \(2 - 4sin^2(a)\).
Meni pride: 2cos(2a)
V rešitvah pa je nek dolg produkt s sinusi. Ali bi moje tudi bilo prav?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a shrink »

Prav je.

Driver
Prispevkov: 39
Pridružen: 1.12.2010 21:00

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Driver »

Rabim pomoč pri dveh nalogah. In sicer:
1. Odvajaj funkcijo: Slika
2. Izmed vseh realnih števil poišči takšno, da bo razlika šeste in pete potence najmanjša.
P.S. Verjetno je tudi ta naloga v zvezi z odvodi.

Odgovori