Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
cpr
Prispevkov: 23
Pridružen: 21.12.2010 21:13

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a cpr »

Zdravo kolegi!

Imam eno vprašanje pri dif. enačbah

In sicer: ko pridem do partikularnega dela in v drugem koraku odvajam funkcijo, ne znam pokrajšati enega x-a.
Če mi kdo lahko prosim razloži, ker zadeva mi je potem naprej jasna

V priponki pa je "problem" in sticky note ;)

Lp
Priponke
IMG.pdf
(136.25 KiB) Prenešeno 77 krat

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Veliki izrek: \(\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

cpr
Prispevkov: 23
Pridružen: 21.12.2010 21:13

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a cpr »

super, hvala 32x ;)

Driver
Prispevkov: 39
Pridružen: 1.12.2010 21:00

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Driver »

En problem z matrikami...
Določite parameter a tako, da bo sistem rešljiv, nato zapišite njegovo rešitev
x+4y+2z+3t=5
2x+ y- z +3t=7
-x+3y+3z+0t=a

Reševanja se lotim po gaussovem postopku in dobim naslednje matrike
[ 1, 4, 2, 3 : 5] . [1, 4, 2, 3 : 5 ] ... [1, 4, 2, 3 : 5 ]
[ 2, 1, -1,3 : 7] ~ [0,-7,-5,-3 :-3 ] ~ [0, -7, -5 , -3 : -3 ]
[-1, 3, 3, 0 : a] . [0, 7, 5, 3 :5+a] .. [0, 0 , 0, 0 : 2+a]

a sicer lahko zračunam: 2+a=0
a=(-2)

Vendar pa sistem ni rešljiv saj sem dobil v zadnji vrstici 0x+0y+0z+0t=(-2), naloga pa ravno to zahteva od mene, naj bo sistem rešljiv

Motore
Prispevkov: 1088
Pridružen: 9.9.2009 23:28

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Motore »

Pa saj je prav. V zadnji vrstici pa dobiš 0x+0y+0z+0t=2+(-2)=0, se pravi je vse v redu.

Driver
Prispevkov: 39
Pridružen: 1.12.2010 21:00

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Driver »

Ok razumem da je a=-2 vredu, ampak kar jaz vem iz tega potem nemoreš določiti x, y, z in t. Namreč naloga zahteva tudi da podam rešitve x,y,z in t.
Na faksu smo pr podobnem primeru dobili v zadnji vrstici prav tako vse štiri spremenljivke enake nič, rezultat pa -2. Iz tega smo sklepali 0z=-2 -> protisloven sistem/ni reštitve...

Še ena naloga mi dela probleme in sicer niti ne vem kako se jo lotiti:
Naj bodo A=[3 4], B=[1 -1], C=[-2 5 ]. S prevedbo na sistem linearnih enačb določite matriko X, ki reši enačbo XA-BX=C.
............. [2 1] ....[ 2 3] ....[0 12]
Matrične enačbe sem že reševal, vendar nobene pri kateru bi bil X na obeh smereh, in ne na isti.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Matrična enačba XA-BX=C res nima tako enostavne rešitve. Mogoče najbolj znana sta naslednja dva načina:

1)
razpišeš matriko v vektor. Torej, X={{a,b},{c,d}}, zmnožiš oboje in dobiš 4x4 sistem linearnih enačb za vektor {a,b,c,d}. To je za majhne matrike zelo primerno, pri velikih pa postane dolgovezno in zoprno.

2) Matriki diagonaliziraš. \(A=VDV^{-1}\), \(B=TET^{-1}\). Potem množiš z leve s \(T^{-1}\) in z desne z \(V\).
\((T^{-1}XV)D-E(T^{-1}XV)=T^{-1}CV=F\)
Na desni so znane stvari (F lahko izračunaš). Za vmesni rezultat \(Y=T^{-1}XV\) lahko enačbo zapišeš:
\(YD-EY=F\)
Enačba je seveda iste oblike kot prej, le da sta obe D in E diagonalni, zaradi česar je to enostavno rešljivo:
\(Y_{ij}=\frac{F_{ij}}{D_{jj}-E_{ii}}\)
Potem iz Y nazaj dobiš X z ustreznim množenjem.

Tole je mogoče precej bolj dolgovezen postopek na prvi pogled, vendar je numerično dokaj učinkovit (edino kar je relativno zahtevno je diagonalizacija dveh matrik, ostalo so samo množenja matrik, ki so hitre operacije).

Seveda je bil mišljen prvi postopek, drugega navajam kot referenco če koga zanima.

Driver
Prispevkov: 39
Pridružen: 1.12.2010 21:00

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Driver »

Aniviller, recimo da grem po prvem postopku. Zapišem use 4 matrike kot vektrorje?
A={{3,4},{2,1}}
B={{1,-1},{2,3}}
C={{-2,5},{0,12}}
X={{a,b},{c,d}}

Katero dvoje sedaj množim da dobim sisteme linearnih enačb?
Lahko prosim narediš primer da vidim postopek?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No to so zdaj se matrike. Ampak ko bos to vstavil v enacbo, bo prisla neka linearna kombinacija a,b,c,d in tisto lahko potem interpretiras kot enacbo za vektor {a,b,c,d} (oziroma pac sistem enacb za te stiri spremenljivke).
V tvojem primeru, ko zmnozis, dobis
\(\begin{bmatrix}2a+2b+c&4a+d\\-2a+2d&-2b+4c-2d\end{bmatrix}=C=\begin{bmatrix}-2&5\\0&12\end{bmatrix}\)
Vsaka komponenta je svoja enacba:
\(2a+2b+c=-2\)
\(4a+d=5\)
\(-2a+2d=0\)
\(-2b+5c-2d=12\)

Zdaj to resis (ali zapakiras v matriko in jo obrnes z Gaussovo eliminacijo, ali pa mogoce kar rocno, ker iz 3. se vidi a=d in potem hitro dobis se ostale resitve.

Driver
Prispevkov: 39
Pridružen: 1.12.2010 21:00

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Driver »

Najlepša hvala Aniviller, sem dobil pravilne rešitve in sicer a=d=1, b=(-17/6) in c= 5/3

Mogoče še kakšno mnenje o prvi nalogi? Je a=-2 pravilna rešitev in je sistem pač protisloven, ali bi moral dobit drugačen a da bi bil sistem rešljiv. Naloga namreč naroča da naj bo le ta rešljiv.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Sistem je resljiv, ce razsirjeni sistem nima vecjega ranga kot osnovni. Ko naredis Gaussovo eliminacijo je rang enostavno dolocljiv (stevilo pivotov).
Torej, ce eliminacija da prazno spodnjo vrstico z razlicnima vrednostma na desni strani enacbe, potem ni resljivo.
V nasem primeru je zadnja vrstica razlika prvih dveh (na levi strani). Tole dobis:
-x+3y+3z+0t=a
-x+3y+3z+0t=-2
Ta sistem je resljiv samo ce a=-2.

Seveda ni enolicno resljiv (ima dvoparametricno druzino resitev).

cpr
Prispevkov: 23
Pridružen: 21.12.2010 21:13

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a cpr »

Zdravo!

Meni pa se ustavi pri eni diferencialni enačbi.
prosim za pomoč !?

ne vem, če je pravi postopek per-partes za nadaljno reševanje partikularnega dela, ali pa sem že prej kje naredil napako
Priponke
IMG.pdf
(256.25 KiB) Prenešeno 41 krat

Anya
Prispevkov: 166
Pridružen: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Anya »

Spet eno vprašanje pri polinomih:
Nekaj delam narobe..

Poišči vse polinome p, za katere velja:

\(p(2x+3)=4x^2 + 12x\)

Jaz tu vstavim namesto x: x/2 - 3/2. potem dobim \(p(x)=x^2 - 9\)
V rešitvah je nekaj čisto drugega...A je to sploh prav, da jaz tu vstavljam tak x, da dobim na koncu notri samo x? In potem kako vem, da ni drugih rešitev?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

cpr napisal/-a:Zdravo!

Meni pa se ustavi pri eni diferencialni enačbi.
prosim za pomoč !?

ne vem, če je pravi postopek per-partes za nadaljno reševanje partikularnega dela, ali pa sem že prej kje naredil napako
Precej huda napaka: \(e^{x^2}e^{x^2}=e^{2x^2}\). Zdaj bo pa u=x^2 integral prevedel na trivialnega.
Anya napisal/-a:Spet eno vprašanje pri polinomih:
Nekaj delam narobe..

Poišči vse polinome p, za katere velja:

\(p(2x+3)=4x^2 + 12x\)

Jaz tu vstavim namesto x: x/2 - 3/2. potem dobim \(p(x)=x^2 - 9\)
V rešitvah je nekaj čisto drugega...A je to sploh prav, da jaz tu vstavljam tak x, da dobim na koncu notri samo x? In potem kako vem, da ni drugih rešitev?
To bi moralo bit prav (ceprav je bolj korektno da das y=2x+3, da ni zmede z oznakami). V principu je to samo raztegnjen in premaknjen polinom. Kaj je pa v resitvah?

Drugih resitev ni, ker je linearna preslikava bijektivna.

Anya
Prispevkov: 166
Pridružen: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Anya »

Hvala...Ja, v rešitvah je isti polinom prepisan, tak da je sigurno narobe....

Pa še ena naloga:
Dana je kvadratna funkcija \(p(x)=x^2+ax+b\), kjer sta a in b poljubni celi števili. Pokaži, da za vsako celo število n obstaja tako celo število m, da je

p(n)p(n+1)=p(m)


Nwm sploh kaj moram to dokazati in kje začeti....A pomeni to, da moram dokazati da, če zmnožim p(n) in p(n+1) dobim neko drugo kvadratno funkcijo spet s celoštevilskini koeficienti?

Odgovori