Matematika
Re: Matematika
Jaz mam problem, kako se to integrira pol
Re: Matematika
Ko poracunas tisto pod korenom, dobis nekaj kar je zelo podobno formuli za polovicne kote. S tem se znebis korena in preides na navaden trigonometricni integral.
Re: Matematika
Tole sem čisto pozabil kako se računa, pa bi prosil za malo osvežitev spomina...
a) skiciraj množico točk v C, ki zadošča danim pogojem, in jo geometrijsko interpretiraj:
arg(z + i) = pi/4 in |z - 1| <=1
b) reši v obsegu kompleksnih števil enačbo : (z + 1)^3 + (z - 1)^3 = 0
že v naprej hvala...
a) skiciraj množico točk v C, ki zadošča danim pogojem, in jo geometrijsko interpretiraj:
arg(z + i) = pi/4 in |z - 1| <=1
b) reši v obsegu kompleksnih števil enačbo : (z + 1)^3 + (z - 1)^3 = 0
že v naprej hvala...
Re: Matematika
To ni nic drugega kot razcep v polarnih koordinatah. arg(z)=polarni kot, |z|=polmer. Odstevanje pa kot vedno pomeni premik iz izhodisca.
arg(z-(-i))=pi/4 velja za vse tocke, ki se nahajajo na poltraku od (-i) pod kotom 45 stopinj. |z-1|<=1 je krog s polmerom 1 in srediscem pri 1. Poisces presek teh dveh mnozic in dobis resitev. Neka daljica pride.
Druga enacba:
\((z+1)^3=-(z-1)^3\)
Zdaj potegnes tretji koren, pri cemer moras upostevat, da ima tri resitve (vsaka naslednja je pod kotom 120 stopinj od prejsnje, se pravi na eno stran vrines mnozenje z 1, \(e^{i 2\pi/3}\) in \(e^{-i 2\pi/3}\). Potem za vsako izmed moznosti resis enacbo.
arg(z-(-i))=pi/4 velja za vse tocke, ki se nahajajo na poltraku od (-i) pod kotom 45 stopinj. |z-1|<=1 je krog s polmerom 1 in srediscem pri 1. Poisces presek teh dveh mnozic in dobis resitev. Neka daljica pride.
Druga enacba:
\((z+1)^3=-(z-1)^3\)
Zdaj potegnes tretji koren, pri cemer moras upostevat, da ima tri resitve (vsaka naslednja je pod kotom 120 stopinj od prejsnje, se pravi na eno stran vrines mnozenje z 1, \(e^{i 2\pi/3}\) in \(e^{-i 2\pi/3}\). Potem za vsako izmed moznosti resis enacbo.
Re: Matematika
Pozdrav!
Soočam se s težavno nalogo, ki je bila že 2x na izpitu pa je ni noben rešuhttp://imageshack.us/photo/my-images/24/43329263.jpg/
Če bi kdo znal rešit bi blo svetovno, ker mam drug tedn spet izpit pa bo verjetno dal isto nalogo.
LP
luksi
Soočam se s težavno nalogo, ki je bila že 2x na izpitu pa je ni noben rešuhttp://imageshack.us/photo/my-images/24/43329263.jpg/
Če bi kdo znal rešit bi blo svetovno, ker mam drug tedn spet izpit pa bo verjetno dal isto nalogo.
LP
luksi
Re: Matematika
Obmocje ima rotacijsko simetrijo okrog z (zgornja polkrogla s polmerom 1, pod katero je postavljen se parabolicen koscek). Predlagam cilindricne koordinate. S tem ostaneta samo 2 integrala: integral po z, ki ima tiste meje ki so podane, in integral po r od 0 do 1.
Re: Matematika
Hvala za trud! Zgleda kar prepričljivo, ampak še kar komplicirano. Preveč za naš program.
Poročam če mi naloga reši izpit.
LP
luksi
Poročam če mi naloga reši izpit.
LP
luksi
Re: Matematika
No vecino teh izpeljav se da izpustit ker so cilindricne koordinate ene izmed tistih standardnih za katere je ze vse znano in moras znat na pamet. Ce razcepis na sfericni in parabolicni del je mogoce smiselno uvest za en kos sfericne, za drug kos pa cilindricne koordinate. Lahko pa v cilindricnih zapises vse. Boljse je, da je "z" notranji integral, ker je "z" odvisen od "r", obmocje po "r" pa lahko postavis kar od 0 do 1. V bistvu to pomeni, da integriras po stolpcih, potem pa sestejes stolpce po radiju.
V eni potezi prides do tegale:
\(2\pi\int_0^1 \int_{r^2-1}^{\sqrt{1-r^2}} z r\,{\rm d}z\,{\rm d}r\)
(Jakobijan je znano da je r, da gre polmer od 0 do 1 je ocitno s slike, meje za z imas pa ze podane).
\(=2\pi\int_0^1 r\frac{1}{2}(1-r^2-(r^2-1)^2)\,{\rm d}r\)
Vidimo da nam je po integralu kvadrat pri z^2/2 odpravil koren tako da nismo nic izgubili s tem da smo sli v cilindricne za vse skupaj.
To kar je ostalo je polinom:
\(=\pi\int_0^1 r^3-r^5\,{\rm d}r=\pi(\tfrac14-\tfrac16)=\frac{\pi}{12}\)
@Kardioida: v tvoji resitvi sta dve tezavi: ena je, da je integral sinusa dvojnega kota narobe izracunan (pozabljena spodnja meja). Pri drugem delu manjka negativen predznak (integral od -1 do 0 sicer lahko obrnes v integral od 0 do -1 ampak moras dat spredaj -).
V eni potezi prides do tegale:
\(2\pi\int_0^1 \int_{r^2-1}^{\sqrt{1-r^2}} z r\,{\rm d}z\,{\rm d}r\)
(Jakobijan je znano da je r, da gre polmer od 0 do 1 je ocitno s slike, meje za z imas pa ze podane).
\(=2\pi\int_0^1 r\frac{1}{2}(1-r^2-(r^2-1)^2)\,{\rm d}r\)
Vidimo da nam je po integralu kvadrat pri z^2/2 odpravil koren tako da nismo nic izgubili s tem da smo sli v cilindricne za vse skupaj.
To kar je ostalo je polinom:
\(=\pi\int_0^1 r^3-r^5\,{\rm d}r=\pi(\tfrac14-\tfrac16)=\frac{\pi}{12}\)
@Kardioida: v tvoji resitvi sta dve tezavi: ena je, da je integral sinusa dvojnega kota narobe izracunan (pozabljena spodnja meja). Pri drugem delu manjka negativen predznak (integral od -1 do 0 sicer lahko obrnes v integral od 0 do -1 ampak moras dat spredaj -).
Re: Matematika
A ni spodnja meja itak 0? Hvala za popravke
Re: Matematika
Integral sinusa je kosinus... cos(2*x) je 1 pri x=pi/2 in prav tako 1 pri x=0.
Re: Matematika
Prosim za pomoč pri tejle nalogi..
Določi enačbo krožnice, ki se dotika danih premic in poteka skozi točko T:
x+2y+8=0
2x-y-4=0
T(-2,1)
Meni pride samo nek grozen sistem treh enačb, ki ga nisem znala rešiti....
Določi enačbo krožnice, ki se dotika danih premic in poteka skozi točko T:
x+2y+8=0
2x-y-4=0
T(-2,1)
Meni pride samo nek grozen sistem treh enačb, ki ga nisem znala rešiti....
Re: Matematika
Mislim da sta dve resitvi.
S pametnim pristopom lahko zreduciras na eno enacbo. Par sekajocih se premic definira enoparametricno druzino kroznic. Sredisce teh kroznic lezi na simetrali premic (ok tukaj imas 2 moznosti za izbiro, samo ena da resitve). Poisci presecisce premic X in normirana smerna vektorja obeh premic s1 in s2. Potem lahko definiras sredisce kot S(t)=X+(s1+(-)s2)*t. Naslednji korak je, da najdes r(t) - polmer kroznice s srediscem v S(t) in se dotika danih premic. S tem imas sredisce kroznice in polmer, oboje parametrizirano s t. Problem se zreducira na \((T-S(t))^2=r(t)^2\) od koder moras dobit t.
Ta postopek bo mogoce bolj prijazen ker enacbe resi sistematicno in ne resujes celega sistema naenkrat.
S pametnim pristopom lahko zreduciras na eno enacbo. Par sekajocih se premic definira enoparametricno druzino kroznic. Sredisce teh kroznic lezi na simetrali premic (ok tukaj imas 2 moznosti za izbiro, samo ena da resitve). Poisci presecisce premic X in normirana smerna vektorja obeh premic s1 in s2. Potem lahko definiras sredisce kot S(t)=X+(s1+(-)s2)*t. Naslednji korak je, da najdes r(t) - polmer kroznice s srediscem v S(t) in se dotika danih premic. S tem imas sredisce kroznice in polmer, oboje parametrizirano s t. Problem se zreducira na \((T-S(t))^2=r(t)^2\) od koder moras dobit t.
Ta postopek bo mogoce bolj prijazen ker enacbe resi sistematicno in ne resujes celega sistema naenkrat.
Re: Matematika
Sej se direkt kar lepo reši.
Treba je rešit sistem \(\frac{|x+2y+8|}{\sqrt{5}}=\frac{|2x-y-4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}\). Obravnava se dve možnosti, \(x+2y+8=2x-y-4\) in \(x+2y+8=-(2x-y-4)\). Prva možnost odpade (ni realnih rešitev). Dobi se krožnici \(x^2+y^2+2x+2y-3=0\) in \(5x^2+5y^2+58x+214y-123=0\).
Treba je rešit sistem \(\frac{|x+2y+8|}{\sqrt{5}}=\frac{|2x-y-4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}\). Obravnava se dve možnosti, \(x+2y+8=2x-y-4\) in \(x+2y+8=-(2x-y-4)\). Prva možnost odpade (ni realnih rešitev). Dobi se krožnici \(x^2+y^2+2x+2y-3=0\) in \(5x^2+5y^2+58x+214y-123=0\).