Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Poisci nicle, minimume in maksimume v spremenljivki \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\). Potem samo izrazis x.

apovsic
Prispevkov: 65
Pridružen: 31.10.2009 20:37
Kraj: Sevnica

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a apovsic »

Slika
Slika

Pri drugi je parametrizacija 2/tg(u)
Drugače pa: 2) teh parametrizacij nisem nikoli dobro razumel, zato bi bilo fino, če nekdo na bolj kmečki način razloži kako se postopa z njimi, na primeru te naloge.
3) Ugotovil sem, da ne znam napisat enačbe tangente. Sem gledal tole stranhttp://www.e-studij.si/Tangenta_na_krivuljo(spodaj), pa je praktično isti primer, pa mi še zmeraj ni potegnilo, očitno sem ratal preveč trd. Lahko potem uganete, da naprej naloga ni šla nič bolje.
4.)Rešil
5.) Isto kot pri tretji. Imam polno primerov zapisanih, pa se mi nekako zatakne in ne vem kje naj hudiča zagrabim, da kaj izvlečem.

Pa še tole:
Slika
b del

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

2. Ja parametrizacija posplosi podajanje krivulj - namesto da je neodvisna spremenljivka x, y pa izrazas z njim, je neodvisna spremenljivka nekaj tretjega in oba x in y izrazis z njo (ko spreminjas parameter, tocka drsi po krivulji, kot muha v odvisnosti od casa).

\(x=\pm\sqrt{16+4y^2}=\pm 4\sqrt{1+\tan^2 u}=\pm 4/\cos u=4/\cos u\)
plusminus ni potreben ker kosinus sam zamenja preznak ko gre u za pol obrata okrog (odlocimo se za +). Lahko se omejis na en interval dolzine 2*pi, potem se vse ponovi.

Na desni strani je x>0, to opisuje \(u\in (-\pi/2,\pi/2)\). Preostanek opise levo vejo. Druga parametrizacija je lahko recimo ze zamenjava preznaka. Ali kakrsnakoli dodatna substitucija (recimo das u=t^3 ali kaj podobnega, samo pazit moras da ne izgubis kaksne veje).

3. Najlazje je napisat enacbo tangente kar:
\(\vec{R}(u)=\vec{r}(t)+u\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\)
Odvod krivulje je smerni vektor - v fizikalnem smislu je to vektor hitrosti. Tangenta je potem kar tocka v kateri jo racunas + premik v smeri smernega vektorja. To parametricno obliko (parameter u) lahko potem prepises v kaksno drugo.

5. Lahko parametriziras v sfericnih koordinatah: \(x=\cos\phi\sin\theta\), \(y=\sin\phi\sin\theta\), \(z=\cos\theta\) in ne pozabit na Jakobijev faktor \(\sin\theta\).

Sistem:
Konstanti sta v tem primeru C1 in C2. Potem samo vstavis nastavek in dobis nov sistem diferencialnih enacb za C1 in C2.

Anya
Prispevkov: 166
Pridružen: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Anya »

Ali si lahko pri izračunu predpisa splošnega člena pri poljubnem zaporedju (torej imamo dano več kot 5 členov) pomagamo s kakim postopkom? Recimo kako so dobili splošni člen za Fibonaccijevo zaporedje, torej da ni zapisan rekurzivno ampak s tistimi koreni?Kako potem pri rekurzivnem zapisu dobimo najhitreje recimo tiste kasnejše člene (recimo 100.člen)?[/quote]

Recimo tu zdaj imamo ene naloge:
- Dano je zaporedje 2,4,8,14,22,32,... Določi najpreprostejši predpis za splošni člen.
bi lahko to nalogo razložili reševanje bolj po gimnazijsko, ker mi diferenčnih enačb še nismo jemali (ali pa se v gimnaziji sploh ne jemljejo?). Torej kako bi lahko to rešil gimnazijec brez uganjevanja splošnega člena...

- Naj bo zaporedje \(a_n\) neničelnih členov aritmetično. Poenostavi:

\(1/(a_1a_2) + 1/(a_2a_3) + ... + 1/(a_{n-1}a_n)\)

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Zaporedje 2,4,8,14,... zadošča \(a_{n+1}-a_n=2n\), torej je \(a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\ldots+(a_n-a_{n-1})\) \(=2+2+4+6+\ldots+2(n-1)=\) \(2+2(1+2+\ldots+(n-1))=2+n(n-1)\).

Če je \(a_n=a_0+dn\) aritmetično, je \(\frac{1}{a_ia_{i+1}}=\frac{1}{(a_0+di)(a_0+di+d)}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_0+di}-\frac{1}{a_0+di+d})=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}})\), torej \(\frac{1}{a_1a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}a_n}=\) \(\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n})\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No tukaj je zelo sibko definirano... ce nimas vseh clenov (splosni clen, rekurzija,...) potem je neskoncno mnogo nacinov kako lahko zaporedje nadaljujes. Tako da taka naloga se bolj zanasa na nek subjektivni instinkt da uganes kaj so mislili. Postopka torej ni, ker strogo gledano ni odgovora. Lahko samo isces pod predpostavkami, da je zaporedje recimo geometrijsko, aritmeticno, ali da ima enostavno rekurzijo z malo cleni.

V tvojem zaporedju
2,4,8,14,22,32 izgleda da razlika sosednjih clenov narasca za 2. Imas torej

2
2+2=4
4+4=8
8+6=14
14+8=22
...

Zadosti torej zvezi
\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
in \(a_1=2\).

Na gimnazijskem nivoju diferencnih enacb ni, se posebej ne v kaksnem splosnem smislu. Imas pa par vsot za katere ves resitev. V tem primeru recimo imas sestevanje zaporednih stevil, za kar imas formulo:
\(\sum_{k=0}^n=\frac{n(n+1)}{2}\)
Tvoje zaporedje ima zacetni clen \(a_1=2\), plus vsota naravnih stevil, ki se naberejo do trenutnega clena (pa mnozeni so z 2), torej
\(a_n=2+n(n+1)=n^2+n+2\).

Pri drugi nalogi pa lahko malo predelas:
\(\frac{1}{a_1 a_2}=\frac{(a_2-a_1)}{a_1 a_2(a_2-a_1)}\)
Zakaj to pocnemo? Ker je pri aritmeticnem zaporedju razlika sosednjih clenov konstantna, pa rabimo en stevec da lahko kaj pokrajsamo. Dobimo
\(=\frac{1}{a_2-a_1}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2})\)
Zdaj lahko pare sosedov pokrajsas, ker 1/(a2-a1) lahko izpostavis.

apovsic
Prispevkov: 65
Pridružen: 31.10.2009 20:37
Kraj: Sevnica

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a apovsic »

Se nanaša na one naloge zgoraj:

3.) a) Dobil sem R(u) = u(u/a, -a, b(3*pi + 1)). Kar mi nikakor ne štima. Res ne vem kje se zatika tukaj.
b) sledi iz a

Drugi list: 3) f in 4) a
Malo me je zmedlo in zdaj nisem prepičan kaj je X in kaj X' in kaj moram v sploh naredit?

Pa še tole, prvi list 3 c in d

Po nastavku sem šel računat
( {x+a, y, z-3*b*pi}, {0,-a,b}, {a,0,0}] = 0
In na koncu pride ravnina
ab * y - a^2 * z + a^2 * 3 * b * pi = 0

za kar sem pa ziher da ni prav

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

3.
Tretja komponenta 3bpi pomeni \(bt=3b\pi\), \(t=3\pi\).
\(\vec{r}'(t)=(-a \sin t, a \cos t, b)\)
Vstavis \(t=3\pi\):
\(\vec{r}'(3\pi)=(0, -a, b)\) (smerni vektor)
\(\vec{r}(3\pi)=(-a,0,3b\pi)\) (tocka v kateri racunas tangento)
Tangenta:
\(\vec{R}(u)=\vec{r}(3\pi)+u\vec{r}'(3\pi)=(-a,0,3b\pi)+u(0,-a,b)\) \(=(-a,-au,3b\pi+ub)\).

sistem enacb:
Matricna resitev je kar matrika, ki vsebuje obe linearno neodvisni resitvi. Saj imas ze zapisano, samo se v matriko moras zlozit. Pise, da je resitev tole (dobeseden prepis trditve iz navodil, samo bolj urejeno je):
\(\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
e^{t/3}& - e^{-t/3}\\
-2 e^{t/3} & -e^{-t/3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
C_1\\C_2
\end{bmatrix}\)

kar lahko pises
\(\vec{r}={\rm X}\vec{C}\)
Tvoj vektor r=(x,y) seveda zadosti sistemu enacb, to trdi naloga:
\(\dot{\vec{r}}={\rm A}\vec{r}\)
Odvajanje na vektor konstant nima vpliva
\(\dot{\rm X}\vec{C}={\rm A}{\rm X}\vec{C}\)
To velja za vsak par konstant C1, C2, torej velja kar za
\(\dot{\rm X}={\rm A}{\rm X}\)

Lisjak
Prispevkov: 25
Pridružen: 23.11.2010 21:12

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Lisjak »

A mi kdo reši ta test, sej je kratko, če znas :D
Priponke
vzorec.pdf
(74.05 KiB) Prenešeno 89 krat

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No kar takole celega testa zagotovo ne. Povej kaj znas in kje se zatakne - vsaj nekaj truda moras vlozit, ce hoces da ti kdo zastonj pomaga.

Lisjak
Prispevkov: 25
Pridružen: 23.11.2010 21:12

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Lisjak »

Vse razen 2,5,6, sej se mi mal svita, samo nevem tocno ce prav razmisljam :D

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Povej kako razmisljas pa bo kdo pokomentiral.

Lisjak
Prispevkov: 25
Pridružen: 23.11.2010 21:12

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Lisjak »

Nevem, jst bi rešu tako:
1.b
2.c
3.nevem
4.d
5.a
6.a
7.nevem
8.d
9.nevem
10.c

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

1. a) Poglej po cem je odvajano. Levo je priblizek odvoda po y.
2. ok
3. izraz lahko zapises kot \(2g(r^2)\vec{r}\). To dobis, ce odvajas \(G(r^2)\).
4. Pazi na to ali gledas x ali y v nekem intervalu. Ce zapises kot f(g(y),y), potem z x-om nimas kaj pocet ker sploh ni parameter te funkcije.
5. ok
6. ok (ceprav odvisno kako si razlagas notacijo je c tudi lahko ok)
7. projekcija F na normalo je skalarni produkt ulomljen z njeno dolzino... kaj potem ostane od integrala?
8. Podobno kot 7. \(\int \vec{F}\frac{\vec{r}}{r}dS\), pri cemer je \(\vec{F}\cdot \vec{r}=r^2\) podano. Ker smo pri r=1, ostane samo integral enke po sferi.
9. Gaussov izrek pravi, da je pretok skozi ZAKLJUCENO ploskev enak integralu divergence po volumnu. b) bo ok ker govori o telesu (kar pomeni da imamo zakljuceno ploskev). a) ni ok ker ce ploskev ni zakljucena to ni nujno res.
10. hm... b). c) je Gaussov.

Lisjak
Prispevkov: 25
Pridružen: 23.11.2010 21:12

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Lisjak »

Se pravi:
3. b
4. nevem točno, kaj ne pravi implicitni izrek da odvod po y nesme bit nič, če funkcija obstaja, sepravi je c?
7. d
8. kaj ni integral 1 po sferi enak 2pi?

Odgovori