Naj bosta \(z_{1}\) in \(z_{2}\) kompleksni števili ki zadoščata
\(\left\vert z_{1} \right\vert= \left\vert z_{2} \right\vert=1\).
Dokaži da je \(\dfrac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z{2}}\) realno število.
Če grem iz prvega pogoja dobim 16 rešitev pa nevem potem naprej? V bistvu me zanima kako naj se lotim?
Matematika
Re: Matematika
Kako to mislis 16 resitev? Sprasujejo po vrednosti izraza za poljuben z1 in z2, torej imas za vsak par stevil na enotski kroznici eno vrednost. Ne resujes enacbe ampak vstavljas.
Lahko gres kar takoj odpravit kompleskni imenovalec:
\(\frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}=\frac{(z_1+z_2)(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}{1+z_1z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}+1}\)
\(=\frac{z_1+z_2+\overline{z_1}+\overline{z_2}}{2+z_1z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}}\)
\(\displaystyle=\frac{2{\rm Re\,}z_1+2{\rm Re\,}z_2}{2+2{\rm Re\,}{z_1 z_2}}\)
Uporabil sem podatek, da je vsota stevila z lastno konjugirano vrednostjo dvakratnik realnega dela. Kadarkoli se je pojavilo, sem uporabil \(z_1\overline{z_1}=1\)
Lahko gres kar takoj odpravit kompleskni imenovalec:
\(\frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}=\frac{(z_1+z_2)(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}{1+z_1z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}+1}\)
\(=\frac{z_1+z_2+\overline{z_1}+\overline{z_2}}{2+z_1z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}}\)
\(\displaystyle=\frac{2{\rm Re\,}z_1+2{\rm Re\,}z_2}{2+2{\rm Re\,}{z_1 z_2}}\)
Uporabil sem podatek, da je vsota stevila z lastno konjugirano vrednostjo dvakratnik realnega dela. Kadarkoli se je pojavilo, sem uporabil \(z_1\overline{z_1}=1\)
Re: Matematika
Ja, seveda razumem... Tukaj grejo izpeljevat električni potencial...
Torej vemo, da:
je električna poljska jakost = e/(4πεr^2)
Ker je Coulombova sila konzervativna sila, lahko električni poljski jakosti priredimo potencial, tako, da je el. poljska jakost gradient tega potenciala.
el. poljska jakost = -grad(potencial).
Ker v primeru krogelne simetrije lahko nadomestimo operacijo "grad" z odvajanjem po r, je v tem primeru potencial na oddaljenosti r od naboja e enak:
potencial(r) =e/(4πεr) Torej, nwm kako dobijo to zadnjo enačbo...
Torej vemo, da:
je električna poljska jakost = e/(4πεr^2)
Ker je Coulombova sila konzervativna sila, lahko električni poljski jakosti priredimo potencial, tako, da je el. poljska jakost gradient tega potenciala.
el. poljska jakost = -grad(potencial).
Ker v primeru krogelne simetrije lahko nadomestimo operacijo "grad" z odvajanjem po r, je v tem primeru potencial na oddaljenosti r od naboja e enak:
potencial(r) =e/(4πεr) Torej, nwm kako dobijo to zadnjo enačbo...
Re: Matematika
Integrirajo. Odvod je na nasprotni strani enacbe.
Tole imas
\(\vec{E}=-\nabla U\)
\(E_r=-\frac{d}{dr}U\)
Rabis U, podan imas pa odvod U-ja. Seveda je treba enacbo integrirat, tako da dobis
\(U=-\int E_r{\,\rm d}r\)
pri cemer postavis integracijsko konstanto tako, da je potencial v neskoncnosti enak 0.
Tole imas
\(\vec{E}=-\nabla U\)
\(E_r=-\frac{d}{dr}U\)
Rabis U, podan imas pa odvod U-ja. Seveda je treba enacbo integrirat, tako da dobis
\(U=-\int E_r{\,\rm d}r\)
pri cemer postavis integracijsko konstanto tako, da je potencial v neskoncnosti enak 0.
Re: Matematika
Samo eno vprašanje na hitro: neenačbe kjer nastopa notri koren se dajo rešiti le grafično, ali lahko tudi računsko? Ker kvadriraš lahko samo dele, ki so vedno pozitivni... Kaj pa če nek del ni? Jaz bi potem obravnavala in šla pod prvim pogojem, da je ta del pozitiven (potem enostavno prepišemo in skvadriramo ter poiščemo presek), pod drugim pogojem, pa da je tisti del negativen... A potem moram kaj storiti pred kvadriranjem? Ali se tak sploh da rešiti?
Re: Matematika
Ni problema, vsak del posebej obravnavas in za njega upostevas kateri predznak je. Bolje bi se dalo na primeru pokazat.
Re: Matematika
Hvala za prejšnji odgovor.
Kako bi narisal funkcijo \(e^{2x+x^2}-2\). Nekako jo moram zapisati drugače vendar nimam ideje?
Kako bi narisal funkcijo \(e^{2x+x^2}-2\). Nekako jo moram zapisati drugače vendar nimam ideje?
Re: Matematika
Samo postopoma jo zgradi. Eksponent lahko zapises kot x(2+x), kar je parabola z niclama v 0 in -2 in temenom v x=-1, y=-1. Eksponentna funkcija bo potem poslala nicle v enke, -1 v e^-1 in neskoncnosti v bolj strme neskoncnosti. Potem prestavis za -2.
Re: Matematika
Živijo,
nalogo pravi: osnovna ploskev prailne enakorobne 10-strane prizme je včrtana krogu s polmerom 12 cm. Na dve decimalni mesti natančno izračunaj površino in prostornino. V pripeti datoteki je moj potek reševanja, a rezultat ni pravilen. Nalogo sem rešila že večkrat, a vedno dobim rezultat okoli 1150cm2, v rešitvah pa je rezultat 1396,44 cm2. Tudi prof. sem že vprašala, a še vedno ne dobim pravilnega rezultata. Mi lahko kdo prosim pomaga.
http://shrani.si/f/8/l8/3FVY3orD/dsc0254.jpg
nalogo pravi: osnovna ploskev prailne enakorobne 10-strane prizme je včrtana krogu s polmerom 12 cm. Na dve decimalni mesti natančno izračunaj površino in prostornino. V pripeti datoteki je moj potek reševanja, a rezultat ni pravilen. Nalogo sem rešila že večkrat, a vedno dobim rezultat okoli 1150cm2, v rešitvah pa je rezultat 1396,44 cm2. Tudi prof. sem že vprašala, a še vedno ne dobim pravilnega rezultata. Mi lahko kdo prosim pomaga.
http://shrani.si/f/8/l8/3FVY3orD/dsc0254.jpg
Re: Matematika
Nekako videvam v postopku formule za visino in ploscino enakostranicnega trikotnika, ceprav jih ni nikjer. Postopek:
En mali enakokraki trikotnik ima notranji kot 36 stopinj, ce ga prerezes z visino, dobis pravokotni trikotnik, ki ti pove
\(\frac{a}{2}=r\sin\frac{\phi}{2}\)
Ploscina enakokrakega trikotnika je po znani formuli
\(\frac{1}{2}r^2\sin\phi\)
oziroma, ce tega ne ves, gres lahko preko formule z visino (\(\frac{a}{2} v_a=r\sin\frac{\phi}{2}r\cos\frac{\phi}{2}\) kjer lahko uporabis formulo za dvojni kot).
Osnovna ploskev je potem desetkratnik tega, stranske ploskve so pa kvadrati, tako da imas
\(P=2\cdot 10\cdot \frac{1}{2}r^2\sin\phi+10\cdot a^2=1396.44{\,\rm cm}\)
En mali enakokraki trikotnik ima notranji kot 36 stopinj, ce ga prerezes z visino, dobis pravokotni trikotnik, ki ti pove
\(\frac{a}{2}=r\sin\frac{\phi}{2}\)
Ploscina enakokrakega trikotnika je po znani formuli
\(\frac{1}{2}r^2\sin\phi\)
oziroma, ce tega ne ves, gres lahko preko formule z visino (\(\frac{a}{2} v_a=r\sin\frac{\phi}{2}r\cos\frac{\phi}{2}\) kjer lahko uporabis formulo za dvojni kot).
Osnovna ploskev je potem desetkratnik tega, stranske ploskve so pa kvadrati, tako da imas
\(P=2\cdot 10\cdot \frac{1}{2}r^2\sin\phi+10\cdot a^2=1396.44{\,\rm cm}\)
Re: Matematika
Če se komu da bi prosil še za pomoč pri naslednjih nalogah:
1) Točki A in B sta na nasprotni, točki C in D pa na isti strani kot opazovalec. Opazovelec izberi razdaljo med C in D ter naslednje kote: kot \(\alpha\) pod katerim iz točke C vidi daljico AB, ter kot \(\beta\) pod katerim iz točke C vidi daljico DB, kot \(\gamma\) pod katerim iz točke D vidi daljico AB ter kot \(\delta\) pod katerim iz točke D vidi daljico AC. Kako opazovalec izračuna dolžino daljice AB?
2)Dokaži, da za vsak \(x \in \left [ 1,-1 \right ]\) velja: \(arcsin x=sgn(x) arccos(\sqrt{1-x^2})\). Tukaj nevem kaj je sgn(x) in kako ga naj spremenim?
3)Dokaži, da velja
\(2arctg x-arctg(\frac{2x}{1-x^2})= \begin{cases}
0, & \left\vert x \right\vert<1\\
\pi, & x>1\\
-\pi, & x<-1
\end{cases}\)
4)Poišči vsa kompleksna števila \(z\), ki rešijo enačbo \(z^2+2i\text{Re(z)}=\left\vert \text{z} \right\vert\). Če tu vstavim \(z=a+bi\) tobim kar veliko računanja. Obstaja kakšna bolj pametna pot?
5)Dansta sta oglišča trikotnika \(A(4,-2,3),B(6,-1,1)\) in \(C(2,0,2)\). Pokaži, da je trikotnik pravokoten in enakokrak. Izračunaj še dolžino hipotenuze.
Tu samo zračunam dolžine stranic in potem še kote in morata bit dva 45°eden pa 90°?
6) Reši enačbo \(arsh x + arch(x+2)=0\). Tu nevem kako naj se lotim.
7) Dan je polinom \(p(x) = ax^{2008}+bx^{2007}-1\). Poišči realni števili \(a\) in \(b\) tako, da bo polinom \(p(x)\) deljiv s polinomom \((x-1)^2\)
1) Točki A in B sta na nasprotni, točki C in D pa na isti strani kot opazovalec. Opazovelec izberi razdaljo med C in D ter naslednje kote: kot \(\alpha\) pod katerim iz točke C vidi daljico AB, ter kot \(\beta\) pod katerim iz točke C vidi daljico DB, kot \(\gamma\) pod katerim iz točke D vidi daljico AB ter kot \(\delta\) pod katerim iz točke D vidi daljico AC. Kako opazovalec izračuna dolžino daljice AB?
2)Dokaži, da za vsak \(x \in \left [ 1,-1 \right ]\) velja: \(arcsin x=sgn(x) arccos(\sqrt{1-x^2})\). Tukaj nevem kaj je sgn(x) in kako ga naj spremenim?
3)Dokaži, da velja
\(2arctg x-arctg(\frac{2x}{1-x^2})= \begin{cases}
0, & \left\vert x \right\vert<1\\
\pi, & x>1\\
-\pi, & x<-1
\end{cases}\)
4)Poišči vsa kompleksna števila \(z\), ki rešijo enačbo \(z^2+2i\text{Re(z)}=\left\vert \text{z} \right\vert\). Če tu vstavim \(z=a+bi\) tobim kar veliko računanja. Obstaja kakšna bolj pametna pot?
5)Dansta sta oglišča trikotnika \(A(4,-2,3),B(6,-1,1)\) in \(C(2,0,2)\). Pokaži, da je trikotnik pravokoten in enakokrak. Izračunaj še dolžino hipotenuze.
Tu samo zračunam dolžine stranic in potem še kote in morata bit dva 45°eden pa 90°?
6) Reši enačbo \(arsh x + arch(x+2)=0\). Tu nevem kako naj se lotim.
7) Dan je polinom \(p(x) = ax^{2008}+bx^{2007}-1\). Poišči realni števili \(a\) in \(b\) tako, da bo polinom \(p(x)\) deljiv s polinomom \((x-1)^2\)
Re: Matematika
1) Iz alfe in bete lahko dobis kot ACD. Zdaj imas v trikotniku ACD podano eno stranico in 2 kota, kar je povsem dovolj da izracunas vse podatke za ta trikotnik. Potem si izberes neznanko, ki jo dolocas (recimo BC). BC je tako stranica trikotnika ABC kot tudi BCD - zapises obe enacbi in zahtevas, da sta obe izpolnjeni.
2) sgn(x) je predznak x-a. Potem posebej testiras za x>0 in x<0 in v obeh primerih pogledas ali se izide.
3) Enako... razlika je v drugem clenu - glede na predznak imenovalca lahko dobis razlicne veje resitev. Najprej se prepricaj, da sta do mnogokratnika pi prvi in drugi clen enaka (preveri, da je tangens prvega clena enak tangensu drugega clena). Potem moras samo se za vsako obmocje preverit, v katerem kvadrantu je rezultat.
4) Hm... ni tako hudo, ce najprej pogledas samo imaginarni del. Tega namrec na desni strani ni. Takoj dobis
\(2ab+2a=0\)
od koder dobis dva kandidata: a=0 in b=-1. Za vsako izmed teh dveh moznosti potem lahko napades z nastavkom, ki je pa zdaj bistveno lazji, saj imas v obeh primerih eno komponento ze znano.
5) No tukaj samo poracunas vse stranice, iz cesar ugotovis kateri kot mora biti pravi, potem pa s skalarnim produktom stranic preveris da je res 0.
6) Enako kot 2 in 3: z zvezami med "kotnimi" funkcijami. Ce das vsako na svojo stran in uporabis sh(), dobis
\(x=-{\,\rm sh}{\,\rm arch}(x+2)\)
Zdaj rabis samo povezavo me sh in arch. Pa dajva to posebej:
arch(y)=z
y=ch(z)=sqrt(1+sh(z)^2)
y^2-1=sh(z)^2
sh(arch(y))=sh(z)=sqrt(y^2-1)
kar je tocno to kar isces:
\({\,\rm sh}{\,\rm arch}(x+2)=\sqrt{(x+2)^2-1}\)
zdaj lahko nadaljujes algebraicno.
7) p(1) mora biti dvojna nicla. To, da je nicla, da pogoj
p(1)=0=a+b-1
To, da je dvojna nicla, pomeni, da mora biti odvod tudi 0, se pravi
p'(1)=0=2008 a+2007b=0
Ta sistem enacb zdaj resis in dobis resitev.
2) sgn(x) je predznak x-a. Potem posebej testiras za x>0 in x<0 in v obeh primerih pogledas ali se izide.
3) Enako... razlika je v drugem clenu - glede na predznak imenovalca lahko dobis razlicne veje resitev. Najprej se prepricaj, da sta do mnogokratnika pi prvi in drugi clen enaka (preveri, da je tangens prvega clena enak tangensu drugega clena). Potem moras samo se za vsako obmocje preverit, v katerem kvadrantu je rezultat.
4) Hm... ni tako hudo, ce najprej pogledas samo imaginarni del. Tega namrec na desni strani ni. Takoj dobis
\(2ab+2a=0\)
od koder dobis dva kandidata: a=0 in b=-1. Za vsako izmed teh dveh moznosti potem lahko napades z nastavkom, ki je pa zdaj bistveno lazji, saj imas v obeh primerih eno komponento ze znano.
5) No tukaj samo poracunas vse stranice, iz cesar ugotovis kateri kot mora biti pravi, potem pa s skalarnim produktom stranic preveris da je res 0.
6) Enako kot 2 in 3: z zvezami med "kotnimi" funkcijami. Ce das vsako na svojo stran in uporabis sh(), dobis
\(x=-{\,\rm sh}{\,\rm arch}(x+2)\)
Zdaj rabis samo povezavo me sh in arch. Pa dajva to posebej:
arch(y)=z
y=ch(z)=sqrt(1+sh(z)^2)
y^2-1=sh(z)^2
sh(arch(y))=sh(z)=sqrt(y^2-1)
kar je tocno to kar isces:
\({\,\rm sh}{\,\rm arch}(x+2)=\sqrt{(x+2)^2-1}\)
zdaj lahko nadaljujes algebraicno.
7) p(1) mora biti dvojna nicla. To, da je nicla, da pogoj
p(1)=0=a+b-1
To, da je dvojna nicla, pomeni, da mora biti odvod tudi 0, se pravi
p'(1)=0=2008 a+2007b=0
Ta sistem enacb zdaj resis in dobis resitev.
Re: Matematika
S katerim najmanjšim naravnim številom moramo pomnožiti 2205, da dobimo kvadrat naravnega števila.
Ve mogoče kdo kako bi se to rešlo?
Hvala za pomoč.
Ve mogoče kdo kako bi se to rešlo?
Hvala za pomoč.
Re: Matematika
Razbij na prafaktorje in dodaj dodaten faktor za vsakega, ki nastopa lihokrat.
Re: Matematika
Hvala. Mi je uspelo 
.
Kaj pa tale naloga?
S katerim najmanjšim naravnim številom moramo pomnožiti 1080, da dobimo kub naravnega števila.
.Kaj pa tale naloga?
S katerim najmanjšim naravnim številom moramo pomnožiti 1080, da dobimo kub naravnega števila.