Matematika

[andreja995]

Hvala.

Ali mi lahko prosim pomagate še pri naslednjem primeru:

naloga pravi izračunajte sinx in cosx, če je sinx/2=2/3

Ne vem, kako naj se lotim te naloge.

[Aniviller]

Enostavno, uporabi formule za dvojne kote.
\(\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\)
Sinus polovicnega kota imas, kosinus pa itak lahko iz njega izracunas. Enako za cosx.

[andreja995]

Ali mi lahko prosim pomagate še pri tem primeru:

1-2sin2(tale dvojka bi morala biti na kvadrat)15

[Aniviller]

Lahko prepoznas formulo za dvojni kot ali pa malo premetavas:
\(1-2\sin^2 x=\cos^2 x+\sin^2 x-2 \sin^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\)

[andreja995]

In kako to potem rešim do konca?

[Aniviller]

No potem pa vstavis x=15 (najbrz stopinj), ta rezultat pa ves na pamet.

[Domn]

Pozdravljeni,
že kar nekaj časa me bega tale problem...
Recimo, da ima 2 × 2 matrika A eno samo (dvojno) lastno vrednost λ. Pokažite, da je tedaj(A−λI)^2=O in da lahko zato zapišemo A=λI+B, kjer je B^2 =O.

[Aniviller]

Saj jo lahko zapises eksplicitno, z Jordanovo formo. "diagonaliziras" jo do oblike
\(\begin{bmatrix}\lambda & 1\\ 0 &\lambda\end{bmatrix}\)
kar je ocitno oblike lambda*I+B od koder sledi vse ostalo.

[urshaiva]

Zmnožek dveh naravnih števil je trikrat večji od njune vstoe. Določi vse pare naravnih števil s to lastnostjo. ?

[Jurij]

Nastaviš enačbo: \(ab=3(a+b)\) za \(a,b \in \mathbb{N}\); enostavno preveriš, da \(b=3\) gotovo ni rešitev, zato lahko izraziš \(a=\frac{3b}{b-3}=3+\frac{27}{b-3}\); ker je \(a\) celo število, je tudi \(\frac{27}{b-3}\) celo število, zato \((b-3)|27\); ker je \(b\) naravno število, je \(b-3\) enak enemu izmed števil \(-1,1,3,9,27\). Prva rešitev nam vrne negativen \(a\), zato upoštevamo le ostale 4 rešitve, ki nam dajo iskane pare
\((30,4),(12,6),(6,12),(4,30)\).

[Aniviller]

Ne vem ce je to prav. Vstavis in se ne izide.

Ce sta a in b liha, je levo liho, desno sodo (ni mogoce). Ce je en lih en sod, je levo sodo in desno liho in spet ne gre. Torej sta oba soda. Uvedes a=2a', b=2b' in dobis
\(2a'b'=3(a'+b')\)
Zaradi dvojke na levi mora biti desna stran soda. Torej sta bodisi oba a' in b' liha ali oba soda.
\(a'(b'-3)+b'(a'-3)=0\)
Ocitna resitev je a'=b'=3 (oziroma (a,b)=(6,6)). Ostale resitve bodo zaradi simetrije nastopale v parih. Ce je b'<3, mora biti a'>3, da se predznaki ujemajo. Kandidati so torej b'=1 in b'=2. Poracunas:

b'=1:
\(-2a'+(a'-3)=0\)
\(a'=-3\)
Ta je negativna in ne da dobre resitve.
b'=2
\(-a'+2(a'-3)=0\)
\(a'=6\)
Ta ti da (12,4) in (4,12) (simetrija da drugi par).

Cela procedura gre tudi brez ocen sodosti in lihosti, edino mogoce moras vec moznosti rocno preverit.

[Jurij]

Ah ja, imaš prav, 3*3=9, ne 27 torej je \(a=3+\frac{9}{b-3}\), potem pa sklenemo, da je \(b-3\) enak \(1,3,9\), od tod pa potem sledijo rešitve, ki jih je navedel Aniviller.

[andreja995]

Mene pa zanima, kako naj vem kdaj je vrednost neke kotne funkcije negativna, ko imam radiane? Npr. kako naj vem, da je cos53π /4 = -√2/2

[Motore]

Pretvoriš na cela števila in pogledaš ali je celo število sodo ali liho, ter v katerem intervalu se nahaja kot.

\(\cos\) je negativen če je celo število liho in kot med \(0\) in \(\frac{\pi}{2}\) ali pa celo število sodo in kot med \(\frac{\pi}{2}\) in \(\pi\), pozitiven pa, če je celo število liho in kot med \(\frac{\pi}{2}\) in \(\pi\) ali pa celo število sodo in kot med \(0\) in \(\frac{\pi}{2}\).
\(\sin\) je negativen če je celo število liho in kot med \(0\) in \(\pi\), pozitiven pa, če je celo število sodo in kot med \(0\) in \(\pi\).

Za tvoj primer: \(\cos\frac{53\pi}{4} = \cos 13\frac{\pi}{4}\), tukaj je celo število liho, kot pa med \(0\) in \(\frac{\pi}{2}\), torej je \(\cos\) negativen.
Še en primer: \(\cos\frac{53\pi}{3} = \cos 17\frac{2\pi}{3}\), tukaj je celo število liho, kot pa med \(\frac{\pi}{2}\) in \(\pi\), torej je \(\cos\) pozitiven.

Mogoče bo kdo predlagal kakšen boljši trik.

[anavotm]

Pozdravljeni; zanima me kako se reši ta neenačba?
\((\frac{x}{2}+1)^{1-x^2}\geqslant1\)