Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.11.2013 12:40

No saj vidiš da gre za navpično premico, tako da samo zapišeš pravokotni trikotnik (0,0),(1,0),(1,y) in izraziš hipotenuzo
\(r^2=1^2+y^2=1^2+(r\sin\phi)^2\)
od koder ne bo težav z izražanjem polmera.

brko
Posts: 35
Joined: 8.5.2013 14:52

Re: Matematika

Post by brko » 25.11.2013 19:48

Diferencialna enačba

\(x^2y^{''}=(y^{'})^{2}\) se reši z novo spremenljivko \(z=y^{'}\), torej se DE glasi: \(x^2z^{'}=z^2\)

Diferencialna enačba

\(2yy^{''}=(y^{'})^2+1\) se rešuje z istim nastavkom \(z=y^{'}\) le da v tem primeru "čudežno" ne velja \(y^{''}=z^{'}\) kot prej pač pa kar naenkrat velja še posredni odvod \(y^{''}=z^{'}z\).


Zakaj? In kako naj zdaj vem kaj lahko kdaj uporabim?

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 25.11.2013 19:52

Vidim da gre za navpično premico, vendar še vedno ne vem kako zapisati v Hessovi normalni obliki tako kot sem omenil v prejšnem postu. Ali je podoben postopek kot pri eksplicitni obliki? Izračunaš naklon vstaviš eno od točk in dobiš enačbo. Tukaj pa ne vem kaj je ro in kako vstavit točko v enačbo.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.11.2013 20:01

@DirectX11
Ah to pa pol ni polarna oblika :) Tisto lahko geometrijsko rešiš tako kot pri ravninah. T2-T1 (ali obratno) lahko vzameš za smerni vektor, iz smernega vektorja naredit normalo (pravokotni vektor) je enostavno, samo obrneš komponenti in daš eni minus, za izhodišče pa vzameš katerokoli točko. V stilu
\((\vec{r}-T_1)\cdot(T_2-T_1)_\perp=0\)
pri čemer je r=(x,y). Zdaj to samo evaluiraš, po želji normiraš in si tam.

Seveda je to itak eno in isto kot normirana implicitna/segmentna oblika (normirano na koeficienta pred x in y). Tako da začneš z enačbo x=1, in je to že kar to (ro=1).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.11.2013 20:08

brko wrote:Diferencialna enačba

\(x^2y^{''}=(y^{'})^{2}\) se reši z novo spremenljivko \(z=y^{'}\), torej se DE glasi: \(x^2z^{'}=z^2\)

Diferencialna enačba

\(2yy^{''}=(y^{'})^2+1\) se rešuje z istim nastavkom \(z=y^{'}\) le da v tem primeru "čudežno" ne velja \(y^{''}=z^{'}\) kot prej pač pa kar naenkrat velja še posredni odvod \(y^{''}=z^{'}z\).


Zakaj? In kako naj zdaj vem kaj lahko kdaj uporabim?
Ne piši odvodov s črticami, to je vir vsega zla v tem primeru. V prvem primeru uvedeš novo spremenljivko \(z=\frac{dy}{dx}\). V drugem primeru pa narediš dvoje: zamenjaš tako odvisno spremenljivko \(z=\frac{d z}{d x}\) kot tudi to po čem odvajaš: \(\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dy}z\). Če namreč neodvisna spremenljivka v DE ne nastopa, lahko tvojo odvisno spremenljivko razglasiš za neodvisno in tako dobiš y'(y). x notri ne nastopa več. Potem če hočeš moraš še nazaj pretvorit in še enkrat integrirat, če hočeš y(x). V fiziki se to zelo pogosto zgodi: če sile niso odvisne od časa, lahko časovne odvode (pospešek!) pretvoriš na odvode po kraju, in s tem znižaš red enačbe za 1. Tam smo seveda konsistentni in časovne odvode označujemo s piko, prostorske pa s črtico, tako da je malo bolj jasno za kaj se gre.

Pri prvem primeru je šlo samo za to, da y sploh ni nastopal notri, tako da lahko ignoriraš en odvod. Čisto druge vrste substitucija.

brko
Posts: 35
Joined: 8.5.2013 14:52

Re: Matematika

Post by brko » 25.11.2013 20:55

Si lahko mislim, da ker v enačbi \(x^2y^{''}=(y^{'})^{2}\) y ni eksplicitno naveden (brez odvodov), bo substitucija \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=z(x)\) dobra in je zato \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} z(x)}{\mathrm{d} x}\).

Podobno, kjer \(2yy^{''}=(y^{'})^2+1\) je x tisti ki eksplicitno ne nastopa v enačbi \(z(y)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) in zato \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} z(y)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} z(y)}{\mathrm{d} y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)

Iz tega bi nekako sledilo, da če bi mel v prrvem primeru še kakšen y ali v drugem primeru kakšen x, bi bila substitucija povsem nasmiselen način reševanja naloge?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.11.2013 21:02

No, ne bi mogel take substitucije naredit, kako bi pa y izrazil? Narediš pač stvari, ki ti pomagajo poenostavit. Če imaš neko posebno lastnost (recimo to da x ali y ni notri), lahko to izkoristiš. V drugih primerih pač kaj drugega opaziš. Reševanje diferencialnih enačb je napol umetnost - tako kot že integracija.

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 26.11.2013 15:46

Zanima me kako se reši, po kakšnem postopku se rešijo naslednje naloge:
1. Kateri pravilni n-kotnik ima notranji kot 172°?
2. Pravilni osemkotnik ima oglišča A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika A3 A6 A7.
3. Dan je pravilni 9-kotnik ABCDEFGHI. Naj bo M taka točka v njegovi notranjosti, da je trikotnik AMB enakostranični trikotnik. Izračunaj velikost kota MCB.
4. Oglišča pravilnega 12-kotnika označimo s številkami od 1 do 12. Določi kot med premico skozi oglišči 3 in 12 ter premico skozi oglišči 4 in 7.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 26.11.2013 16:18

1. Če n-kotnik razrežeš kot pico (enakokraki trikotniki skozi središče), je notranji kot kosov pice \(\frac{360^\circ}{n}\), preostala kota pice skupaj dasta pa notranji kot n-kotnika, in to je seveda \(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\). Potem samo obrneš in izraziš n.

2. Nariši. Tista dva preostala kosa, ki nista trikotnika, lahko naprej razbiješ dokler ne prideš do samih trikotnikov. Potem začneš s tistimi, ki so enakokraki v vogalu z notranjim kotom (tega veš) in potem računaš naprej preko vsot kotov v ogliščih. Sčasoma dobiš vse kote.

3. Nariši si par dodatnih trikotnikov. Izkoristiš lahko, da je 9-kotnik soroden trikotniku (včrtaš mu lahko trikotnik). Če ne rata, lahko še kak namig dam.

4. To lahko rešiš na več načinov. En je spet tisti, da razrežeš na drobne koščke (kot pri drugi) in voziš kote naokoli. Lahko greš pa z vektorji.

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 26.11.2013 16:34

3. še vedno ne razumem. Mogoče bi bilo najbolje če bi mi napisali postopek reševanja.

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 26.11.2013 16:51

Prosil bi še za podrobnejšo razlago 4. naloge.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 26.11.2013 16:57

3. Ker je trikotnik ABM enakostraničen, je BM enako dolga kot BC in je zato BCM enakokraki. Kot MBC poznaš (140-60), ostala dva sta pa enaka, zato znaš lepo poračunat do konca. Prej sem imel v mislih nekaj bolj kompliciranega, ampak je tale najlažja, saj niti ne uporabi nikjer dejstva, da imaš 9 kotnik (samo notranji kot vstaviš kakršen pač je).

Sicer bi mi precej bolj koristilo, če bi povedal kaj ti ne gre in kaj si probal. Sicer imam občutek, da niti ne poskušaš - če si vsaj začel, potem vsaj nekaj najbrž imaš.

4. Razreži na koščke. V bistvu je dokaj očitno, če dobro pogledaš. Imaš 3-12 in 4-7, če narišeš še 8-11, imaš tri simetrično postavljene tetive. Zaradi simetrije lahko takoj izjaviš, da je kot 60 stopinj (podaljšek tetiv ti bo dal enakostranični trikotnik). Če nisi ziher, potem bi šel še bolj razrezat: potegneš iz središča daljice do oglišč 3,4,7,12. S tem dobiš tri enakokrake trikotnike s popolnoma znanimi koti (središčne poznaš - dva odrežeta tri rezine pice, eden pa samo eno). To pa pomeni tudi, da lahko izračunaš takoj tudi kota [3]-[4]-[7] in [12]-[3]-[4], ki sta oba 60 stopinj, zato je potem tudi podaljšan trikotnik (če obe tetivi nadaljuješ) enakostraničen.

andrejka3
Posts: 16
Joined: 24.11.2012 11:31

Re: Matematika

Post by andrejka3 » 27.11.2013 19:59

Zanima me, če bi mi lahko kdo razložil, kako določamo meje pri trojnih ali dvojnih integralih, ko računamo ploščine in prostornine. Imamo npr. nalogo: izračunaj volumen območja med z^2 = 4 - x^2 - y^2 in z = 0
Prevedli smo na cilindrične koordinate

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 27.11.2013 20:25

To je sicer integral, ki bi se ga dalo verjetno precej bolj elegantno rešit v sferičnih koordinatah, pa dobro, kakor želiš :)

\(z^2 = 4 - x^2 - y^2\) tole prepišeš v \(z^2 + x^2 + y^2=4\) in takoj vidiš da gre za kroglo z radijem 2 in s središčem v izhodišču. Podatek da je \(z=0\) samo pove, da te zanima volumen zgoj polovice krogle (spodnje ali zgornje, kakor ti je lažje).

Da ti bo lažje, si lahko narišeš skico in potem je vse jasno. Mimogrede, cilindrične koordinate so \(\varphi\) ki zavzea vrednosti od 0 do \(2\pi\) in ga meriš v ravnini xy.
Druga koordinata bo višina telesa \(z\). Ker je tvoje telo, ki ga integriraš omejeno z ravnino z=0 in krožnico z radijem r=2 bo očitno, z tekel od 0 do 2.

Integriranje po cilindričnih koordinatah v tridimenzionalnem prostoru pravzaprav pomeni seštevanje valjev z debelino dz in nekim radijem r, ki je tvojem primeru odvisen od višine. Torej zadnji korak je še ta, da moraš zapisati radij (to je razdalja od koordinatne osi z) infinitizimalno debelega valja v odvisnosti od višine z. No, pa saj iz skice vidiš da je povsem enostavno: iz pitagorovega izreka se vidi: \(r=\sqrt{R^2-z^2}\). Kjer sem z velikim R označil radij krogle.

Naloga je praktično rešena. Dodati moraš le še en r v integral, zaradi Jaccobijeve determinante. Skratka, meje določiš tako da samo pogledaš katere vrednosti vse lahko zavzame koordinata.

Upam, da je sedaj kaj bolj jasno.

\(\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{R}dz\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}rdr\)

andrejka3
Posts: 16
Joined: 24.11.2012 11:31

Re: Matematika

Post by andrejka3 » 27.11.2013 20:43

Najlepša hvala, zdaj mi je pa res dosti bolj jasno :)

Imam samo še eno vprašanje, če bi bil možen odgovor. In sicer imamo 3-simpleks oziroma telo, ki ga omejujejo x=0, y=0, z=0 in x+y+z=1

Zakaj pri integralu po dx dobimo meje za x pri 1 in 0?

Post Reply