Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 27.12.2013 18:55

Slončica wrote:Dani sta parabola y^2=3/2x in krožnica x^2+y^2=7. Izračunaj dolžino krožnega loka, ki ga parabola odreže od krožnice.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 27.12.2013 19:56

Parabola je simetrična na x os (korenska parabola), presečišči bosta simetrično, tako da rabiš samo enega (samo rešiš sistem enačb). Polarni kot tega presečišča definira krožni lok, ki se razteza od -fi do fi, torej ima dolžino 2*fi*r.

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 28.12.2013 10:45

Se da izračunati brez polarnega kota?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 28.12.2013 11:13

S kakšnim integralom mogoče, samo tole je najlažje. Čudno ni, da rabiš kot, saj je sama dolžina loka kar sorazmerna s kotom. Tako da konec koncev ko dobiš rezultat je to itak kot. Saj ni težko, rezultat je
\(l=2\cdot \sqrt{7}\arctan\frac{y}{x}\)
kjer sta y in x koordinati presečišča.

iedc23
Posts: 4
Joined: 29.10.2013 15:43

Re: Matematika

Post by iedc23 » 30.12.2013 12:59

Rabim pomoč
Image

looney93
Posts: 4
Joined: 27.12.2013 14:30

Re: Matematika

Post by looney93 » 1.1.2014 17:55

Prosim malo pomoči:
Določi funkcijo f(r) tako, da bo Δ\(f(r)= \frac{1}{r}\) , če je r različen od 0 in f(0)=0.

Hvala :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.1.2014 18:13

iedc23 wrote:Rabim pomoč
Image
Hm... mogoče je tole dovolj? Vsaka konveksna funkcija je tudi kvazi-konveksna, torej je vsaka podmnožica konveksnega definicijskega območja s konstantno vrednostjo funkcije konveksna. Torej je tudi množica pri minimalni vrednosti konveksna.
looney93 wrote:Prosim malo pomoči:
Določi funkcijo f(r) tako, da bo Δ\(f(r)= \frac{1}{r}\) , če je r različen od 0 in f(0)=0.

Hvala :)
Enostavno rešiš enačbo
\(\nabla^2 f(r)=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{df}{dr})=\frac{1}{r}\)
\(\frac{d}{dr}(r^2 \frac{df}{dr})=r\)
\(r^2 \frac{df}{dr}=\frac{r^2}{2}+C\)
\(\frac{df}{dr}=\frac{1}{2}+\frac{C}{r^2}\)
\(f=\frac{r}{2}-\frac{C}{r}+D\)
Robni pogoj ti potem pove C=D=0.

anavotm
Posts: 89
Joined: 12.1.2012 12:01

Re: Matematika

Post by anavotm » 1.1.2014 23:05

Pozdravljeni, muči me naloga z vrstami
Naj bo \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) absolutno konvergentna in naj velja \(a_n \neq -1 \ \ \forall \ n \in \mathbb{N}\). Dokazati moram da je vrsta \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+a_n}\) absolutno konvergentna.
Najprej sem cel ulomek poenostavil v \(1-\frac{1}{a_n+1}\), in sem se lotil dokazovanja, da je \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n+1}\) absolutno konvergentna. Ta pa je absolutno konvergentna, kadar je \(\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{a_n+1} \right|\) konvergentna. Potem pa sem razmišljal, da to konvergira, kadar konvergira zaporedje delnih vsot te vrste
\(\sum_{n=1}^{m} \left| \frac{1}{a_n+1} \right|=\left| \frac{1}{a_1+1} \right|+\left| \frac{1}{a_2+1} \right|+ \cdots + \left| \frac{1}{a_m+1} \right|\). Potem pa nevem več kaj moram naredit oziroma sploh ne vem če je to karkoli prav...
Hvala za pomoč

Lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.1.2014 23:28

Pri poenostavljanju si se ustrelil v koleno :) V osnovni obliki, pred poenostavljanjem, je bilo dosti lažje dokazat. Gre za vsoto zaporedja
\(b_n=\frac{1}{1+a_n}\cdot a_n\)
kar je produkt absolutno konvergentnega zaporedja (a_n) in omejenega zaporedja (1/(1+a_n)). Omejenost lahko dokažeš, saj za vsako absolutno konvergentno zaporedje velja, da so poljubno daleč v zaporedju členi poljubno majhni. Torej lahko gledaš samo od tam naprej, kjer je \(|a_{n>N}|<\epsilon<1\) in zato
\(|\frac{1}{1+a_n}|<\frac{1}{1-\epsilon}\)
kjer sem izbral najslabši scenarij (negativni a_n). Ne samo, da imaš produkt omejenega zaporedja in konvergentnega zaporedja, ampak to omejeno zaporedje konvergira celo k 1, tako da je red konvergence v "repu" zaporeja enak kot v prvotnem zaporedju.

bruc
Posts: 38
Joined: 22.4.2013 11:49

Re: Matematika

Post by bruc » 2.1.2014 9:46

prosim za pomoč


Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje krivulja:

a^2y^2 = x^2(a^2 - x^2) (a > 0)

Hvala lepa

Anya
Posts: 166
Joined: 13.5.2009 16:14

Re: Matematika

Post by Anya » 2.1.2014 12:03

Ok, prosim za pomoč pri eni enostavni nalogi...

Točka T(x, -3) leži na paraboli \(y^2 = 2px\), p>0, in je od vodnice oddaljena 3 enote. Zapiši enačbo parabole.

Torej glede na videne rešitve bi morali po sliki nekako sklepati, da premica skozi točko T gre ravno skozi gorišče, kar pa iz slike nisem uspela ugotoviti.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 2.1.2014 12:29

bruc wrote:prosim za pomoč


Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje krivulja:

a^2y^2 = x^2(a^2 - x^2) (a > 0)

Hvala lepa
Stvar je lepo simetrična čez x os: izraziš y=sqrt(...), integriraš in množiš z 2.
Anya wrote:Ok, prosim za pomoč pri eni enostavni nalogi...

Točka T(x, -3) leži na paraboli \(y^2 = 2px\), p>0, in je od vodnice oddaljena 3 enote. Zapiši enačbo parabole.

Torej glede na videne rešitve bi morali po sliki nekako sklepati, da premica skozi točko T gre ravno skozi gorišče, kar pa iz slike nisem uspela ugotoviti.
Parabola teče skozi izhodišče. Gorišče ima pri x=p/2, vodnica je pa pri x=-p/2. x koordinata podane točke je \(x=\frac{y^2}{2p}=\frac{9}{2p}\). Njena oddaljenost od vodnice je enaka 3 enote, torej
\(\frac{9}{2p}+\frac{p}{2}=3\)
Iz tega dobiš p=3.

To, o čemer govoriš, je le geometrijsko pomagalo, ki ga lahko uporabiš, ni pa treba... značilnost parabole je, da so vse točke enako oddaljene od gorišča kot od vodnice, in ker je točka od vodnice oddaljena 3 enote, mora biti od gorišča tudi oddaljena 3 enote... ker je že po y koordinati točka T oddaljena od gorišča 3 enote, nima več nobenega manevrskega prostora v x smeri, ampak mora biti kar na istem x kot gorišče - katerikoli drug x bi po pitagori še povečal razdaljo in ta ne bi bila več 3. Torej gre vzporednica vodnici skozi T in gorišče.

iedc23
Posts: 4
Joined: 29.10.2013 15:43

Re: Matematika

Post by iedc23 » 3.1.2014 10:37

Rabil bi pomoč pri naslednji nalogi:

Image

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 3.1.2014 11:42

Ah, izrek o implicitni funkciji. Samo razvij do linearnega in dokaži, da je odvod obrnljiv (ni enak 0, oziroma če imaš več dimenzij, da Jakobijeva matrika ni singularna). Ker te zanima samo y del, nekako ni problema (sin(y)~y in y^3~0 in lahko izraziš)... x pa se ne bi dalo, ker je linearni člen enak 0 (to tudi dokaže, da gre za ekstrem y(x)).

DirectX11
Posts: 413
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 3.1.2014 19:04

Pozdravljeni,

Nekaj točk sem izračunal z aitkenovim algoritmom. Vendar ne razumem kako se dobi polinom, ki poteka skozi te točke. Verjetno je za vse postopke enak?

Code: Select all

function Q=aitken(x,y,xval)
% Aitken's method for interpolation.
%
% Example call: Q=aitken(x,y,xval)
% x and y give the table of values. Parameter xval is
% the value of x at which interpolation is required.
% Q is interpolated value, also gives intermediate results.
%
n=length(x); P=zeros(n);
P(1,:)=y;
for j=1:n-1
  for i=j+1:n
    P(j+1,i)=(P(j,i)*(xval-x(j))-P(j,j)*(xval-x(i)))/(x(i)-x(j));
  end
end

Hvala za razložitev postopka.

Post Reply