Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
derik
Posts: 2043
Joined: 6.3.2010 9:04

Re: Matematika

Post by derik » 15.1.2014 19:40

Problem: Matematični model gibanja krogle pri bowlingu

Zame sicer verjetno pretežka naloga, a če se že igram z Mathematico, bi me zanimalo vsaj, kako se je tega treba lotiti.

Naloga je komplicirana zato, ker se kroglo meče tako, da zavija in udari med kegle pod kotom. Boljše krogle so namensko konstruirane za zavijanje. Imajo težje jedro, ki je simetrično okoli ene osi in omogoča, da krogla precesira, kar povečuje trenje na naoljeni stezi in s tem tudi učinek zavijanja. Dodatna komplikacija pa je ta, da je prvi del steze naoljen in krogla po njem drsi, drugi del pa je suh in se po njem krogla kotali.

martinzjeh
Posts: 25
Joined: 11.2.2013 0:44

Re: Matematika

Post by martinzjeh » 15.1.2014 19:58

Živjo.

Rešujem par nalog...

1) \(\lim_{x \to 0} \frac {sin5x}{(\sqrt{2(x+2)}-2}\) - to sm kar odvajal oba dela in dobim 5cos5x*2=10 .. pravilno?

2) \(\lim_{x \to inf} (\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{(x^2-2x)})\) .. gledalsem pravila na internetu in zasledil, da lahko dodam tretji člen pri vsakem korenu, da dobim kvadrate... torej pri prvem korenu dodam 2^2/4=1 in pri drugem korenu -2^2/4 = 1, potem naprej pa samo izračunam in dobim 2. Kakšno je ozadje tistega pravila dodajanja člena? Sem kakšen korak izpustil?

3) Imam točko T(4,-1,3) in ravnino 2x-y+z+6=0. Poiskati moram pravokotno projekcijo točke na ravnino, zrcalno sliko točke preko ravnine in razdaljo točke T do ravnine. Če razumem pravilno je normala ravnine n=(2,-1,1). Zapisal sem x=2t+4 , y=-t-1 in z=t+3 ter vstavil v enačbo ravnine.. 2(2t+4)-/t-1)+(t+3)+6=0 in dobil t=-3 .. to sedaj vstavil nazaj in dobil T'=(-2,2,0). Je ta del pravilen ali nebi smel upoštevati tiste šestke pri vstavljanju v enačbo? Kako pa zračunam zrcalno sliko? Razdaljo sem dobil 7.348..., šel sem pa po formuli D = abs(aX + bY + cZ + d) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), je kakšen lažji / bolj pravilen način?

4) Iščem kot, ki ga oklepata enotska vektorja p in q, s tem da sta vektorja p+3q in 3p-2q ortogonalna.

5) Izračunati moram obseg in ploščino trikotnika, določen z vektorjema a=p-2q in b=3p+sqrt(2)*q. |p|=1 in |q|=3, kot med njima pa pi/3

c0c0lina
Posts: 2
Joined: 12.1.2013 17:26

Re: Matematika

Post by c0c0lina » 15.1.2014 21:20

Živjo,

Naletela sem na problem.
Imam nalogo:
Poišči vsa kompleksna števila z, za katere velja :
Re(z^2) = 3 in Im(z/(1-i))= 1/2.

Kako se naj lotim te naloge ?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 15.1.2014 21:25

1) ok
2) Ammmm kaj delaš? To mi izgleda sumljivo :) Tole dodajanje v principu naredi tole: ko so veliki x, se drobnarije ne poznajo in lahko dodaš kar hočeš :)
Da se stvar precej lepše izpeljat. Kot prvo, lahko enostavno "racionaliziraš" - množiš zgoraj in spodaj z isto stvarjo, vendar s plusom:
\(\frac{x^2+2x-x^2+2x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x}}\)
Zdaj ni več odštevanje dveh ogromnih stvari. Zdaj lahko zgoraj in spodaj deliš z x in dobiš
\(\frac{4}{\sqrt{1+2/x}+\sqrt{1-2/x}}\to 2\)
3) To je blazno kompliciranje... ni treba premice uvajat. S normalo (pametno je to normalo še normirat), lahko ravnino zapišeš v pametni vektorski obliki
\(\vec{r}\cdot\vec{n}=d\)
kjer je d že razdalja ravnine od središča. Alternativen način je zapis
\((\vec{r}-d\vec{n})\cdot\vec{n}=0\)
kjer smo zapisali to kot ravnino, ki je za d*n premaknjena iz izhodišča. To je zdaj najbolj prikladen možen način. Pravokotno projekcijo dobiš takole:
* premakneš koordinatni sistem tako, da gre ravnina skozi izhodišče. Torej, \(T'=T-d\vec{n}\), kjer črtica nakazuje delo v premaknjenih koordinatah
* projiciraš točko na ravnino, tako, da odšteješ komponento v smeri normale: \(P'=T'-(T'\cdot\vec{n})\vec{n}\)
* premakneš nazaj: \(P=P'+d\vec{n}\).
To vsebuje že vse ostalo, saj je \(T'\cdot\vec{n}\) že razdalja premice od ravnine, zrcalno sliko pa dobiš, če tam v 2. koraku odšteješ dvakratnik normalne komponente.

4) Ah, to pa je samo premetavanje skalarnega produkta. Ortogonalnost:
<p+3q,3p-2q>=0
<p,3p>+<p,-2q>+<3q,3p>+<3q,-2q>=0
uporabiš enotskost vektorjev p in q:
3+7<p,q>-6=0
<p,q>=3/7=kosinus iskanega kota

5) Isto kot prej. Samo razpišeš. Za obseg moraš izračunat |a|, |b| in |b-a|. Vse gre na princip
|a|^2=<a,a>=<p-2q,p-2q>=|p|^2-4<p,q>+4|q|^2=13-4*cos(pi/3)
Podobno s ploščino, kjer iščeš |p x q|/2.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 15.1.2014 21:29

c0c0lina wrote:Živjo,

Naletela sem na problem.
Imam nalogo:
Poišči vsa kompleksna števila z, za katere velja :
Re(z^2) = 3 in Im(z/(1-i))= 1/2.

Kako se naj lotim te naloge ?
Z nastavkom z=a+bi, pride
Re(z^2)=a^2-b^2
z/(1-i)=z*(1+i)/2=(a+bi)*(1+i)/2=(a+ai+bi-b)/2
Im(z/(1-i))=(a+b)/2
Enačbi sta torej
a^2-b^2=3
a+b=1
če prvo razcepiš na (a-b)(a+b), lahko poenostaviš na
a+b=1
a-b=3
kar z lahkoto rešiš.

martinzjeh
Posts: 25
Joined: 11.2.2013 0:44

Re: Matematika

Post by martinzjeh » 15.1.2014 23:29

Uf, pri tem postopku 3. naloge se ne znajdem. n pomeni normalo? Kako normiram, kaj pomeni P' in T'... :(

Pri peti nalogi si verjetno mislil |a x b|/2 ? Pa 37-4*3*cos(pi/3) (trojka je |p|*|q|=3), torej 37-12=25=a^2, a=5

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 15.1.2014 23:51

3) Ja, n je normala, kot si že ti uvedel, samo da jo normiraš na enotsko dolžino, kot se za normale in smerne vektorje spodobi. To poenostavi projekcijo, saj je potem dolžina komponente v smeri n kar skalarni produkt z n (brez trapastega deljenja z |n|).
Točke in ravnine si predstavljaj v prostoru. Primeš oboje skupaj, vzporedno premakneš tako, da gre ravnina skozi izhodišče. Koordinate v tej premaknjeni izvedbi sem označil s črtico! Potem v centralni legi je strašno enostavno projecirat, saj samo odstraniš komponento v smeri normale (projekcija leži na ravnini, torej nima komponente v smeri normale). Zrcaljenje podobno - tisto T'-(T'*n)*n je to, da začneš v T' in se premakneš v smeri normale za razdaljo od ravnine, in pristaneš na ravnini, če hočeš zrcaljenje, moraš narediti pa dvakrat daljšo pot v isto smer. No in potem, ko je to narejeno, celo stvar nazaj premaknješ kjer si jo pustil. Premik tja in nazaj v centriran sistem zelo poenostavi stvari. Glavni trik je v bistvu že tisto, da sem zapisal ravnino kot \((\vec{r}-d\vec{n})\cdot\vec{n}=0\). Tu je premik očiten, saj je na desni ničla (torej, če točki r na ravnini odšteješ tisti premik, se stvar obnaša kot ravnina skozi izhodišče). Razdalja točke od ravnine v tej obliki je potem tudi strašno enostavna, saj se lahko spomniš iz teorije, da če v enačbo ravnine vstaviš točko, ki ni na ravnini, dobiš namesto ničle za rezultat kar razdaljo (ampak samo, če je normala normirana, sicer je vse skupaj množeno še z absolutno vrednostjo normale). Tako, da bi lahko tudi direktno napisal razdaljo kot \((T-d\vec{n})\cdot\vec{n}\), kar je seveda isto kot tisto, kar sem jaz napisal zgoraj. In od tu naprej tudi lahko kar narediš korak v obratni smeri normale za to razdaljo, in si na ravnini, in še enkrat toliko, in si v zrcalni točki. Ista stvar. Samo ni slaba ideja, da si stvari vzameš v roke, prestaviš v prikladno pozicijo za računanje, samo na koncu se moraš spomnit dat nazaj kjer si vzel.

5) Ja to ja.

martinzjeh
Posts: 25
Joined: 11.2.2013 0:44

Re: Matematika

Post by martinzjeh » 16.1.2014 0:26

Tole mi bolj malo pomaga, mogoče lahko malo pomagaš s konkretnimi številkami? Verjetno bom šele potem dojel vso teorijo. Par stvari me bega, pa razmišljam že par ur o tem :/

Pri zadnji nalogi dobim |a|=5, |b|=7.2, kako pa dobim |b-a| ? Sem zračunal pa pride realno nemogoča cifra.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 16.1.2014 0:49

No ja, številke povedo kvečjemu manj - simboli povedo razlago kaj delaš, številke so pa številke.
\(\vec{n}=\frac{1}{\sqrt6}(2,-1,1)\)
ravnina
\(\vec{r}\cdot\vec{n}=-\sqrt6\)
ali v drugi obliki
\((\vec{r}-\vec{r}_0)\cdot\vec{n}=0\)
kjer sem označil \(\vec{r}_0=-\sqrt{6}\vec{n}=(-2,1,-1)\)
Razdalja točke do ravnine:
\(D=(T-\vec{r}_0)\cdot\vec{n}=(6,-2,4)\cdot(2,-1,1)/\sqrt{6}=3\sqrt6\)
Projekcija:
\(T-D\vec{n}=(4,-1,3)-3(2,-1,1)=(-2,2,0)\)
Zrcaljenje:
\(T-2D\vec{n}=(4,-1,3)-6(2,-1,1)=(-8,5,-3)\)

vektorčki:
<a,a>=<p-2q,p-2q>=|p|^2+4|q|^2-4<p,q>=31
<b,b>=9|p|^2+2|q|^2+6*sqrt(2)*<p,q>=39.73
b-a=2p+(sqrt(2)+2)q
<b-a,b-a>=4|p|^2+(sqrt(2)+2)^2|q|^2+4(sqrt(2)+2)<p,q>=129.3
Pri tem je vedno <p,q>=1*3*cos(pi/3)=3/2
|a|=5.57
|b|=6.30
|b-a|=11.36

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 17.1.2014 15:53

Prosila bi, če mi pomagate rešiti primer:
Zapiši enačbo normale na keivuljo, dane z enačbo y=x^2+5x/2+3, če je vzporedna prmici y=-2x+5
Ali je k, ki ga dobim iz vzporedne premice, k tangente ali normale?

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 17.1.2014 16:23

Tangente.

To je jasno. Normala je pravokotna na tangentno premico.

mtalaq
Posts: 19
Joined: 9.1.2012 9:10

Re: Matematika

Post by mtalaq » 17.1.2014 17:30

Ve kdo kakšen je postopek reševanja teh primerov s kartezičnim produktom:
dokaži ali s protiprimerom ovrzi:
(A-B)x(C-D)=(AxC)-((BxC)U(AxD))

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Post by urban2012 » 17.1.2014 19:19

Prosil bi za pomoč pri naslednjih nalogah:
Točke A(3,2,1), B(-3,1,0), C(0,1,1) in D so oglišča trapeza ABCD, katerega dolžina osnovnic sta v razmerju AB:CD=4:1. Določi koordinato oglišča D.(Zanima me kakšna je formula. Vem da je za paralelogram D-A=C-B. Zanima me kje moram upoštevati razmerje dolžin osnovnic.)
Točke A(5,-3,2) B(3,0,-1) D(3,1,1) in A'(4,2,1) so oglišča paralelpipeda ABCDA'B'C'D'. Določi koordinate preostalih oglišč. (Tukaj bi prosil predvsem za kak napotek, kako začeti. Najprej sem razmišljal da bi izračunal C, kar bi še znal, da ostala oglišča pa sploh ne vem kako naj začnem.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 17.1.2014 20:35

@urban
Nariši, pa lahko kar prepišeš rezultat. Trapez ima AB in CD vzporedni, a različno dolgi, torej je dolga stranica samo mnogokratnik krajše. Torej B-A=4*(C-D). Izraziš D in si na konju.
Pri paralelopipedu imaš spet kup vzporednih in enako dolgih stranic: A'-A=B'-B=C'-C=D'-D, in B-A=C-D=B'-A'=C'-D' in še za drugo smer boš pa sam zapisal. Čim imaš pri eni stranici podani obe oglišči, imaš še vse ostale vzporednice znane. Recimo ker imaš A' in A, lahko dakoj določiš B' in D', za C bo treba pa še eno drugo smer gledat.
@mtalaq
Huh. Če so to množice, potem lahko tudi s skico skozi prideš. A-B odstrani iz A tisto, kar je tudi v B... ampak B lahko "čez visi". Tako, da je najbolje gledat za obe strani kartezičnega produkta tri pomembne množice. To zato, ker če imaš razbito na disjunktne koščke, ni prekrivanja in je potem odštevanje enostavno odstranjevanje množic, seštevanje pa združevanje brez preseka, ni kakšnih "izmuznjenih" kosov B-ja recimo. Na levi imaš
A-B, AᑎB, B-A
in na desni temu primerno
C-D, CᑎD, D-C
Desna stran mora dat točno (A-B)x(C-D). Zapišeš lahko A=(A-B)ᑌ(AᑎB), C=(C-D)ᑌ(CᑎD), B=(B-A)ᑌ(AᑎB), D=(D-C)ᑌ(CᑎD). Zdaj pa samo razvijaš:

(AxC)-(BxC)ᑌ(AxD)=
(A-B)x(C-D) ᑌ (AᑎB)x(C-D) ᑌ (A-B)x(CᑎD) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) - [ (B-A)x(C-D) ᑌ (B-A)x(CᑎD) ᑌ (AᑎB)x(C-D) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) ᑌ (A-B)x(D-C) ᑌ (A-B)x(CᑎD) ᑌ (AᑎB)x(D-C) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) ]

Ker so kosi disjunktni, odštevanje nikoli ne "odškrbne" kosa druge množice, ampak jo odstrani bodisi v celoti ali pa ne (po domače, vse množice zgoraj se obnašajo kot enotni elementi, nikoli ni več treba gledat kaj je notri). Nekaj odštevanj je itak odveč, in jih samo ukineš - recimo B-A kombinacija (tisto kar čez visi od B-ja) ničesar ne naredi ko jo odštevaš. Isto D-C.
=(A-B)x(C-D) ᑌ (AᑎB)x(C-D) ᑌ (A-B)x(CᑎD) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) - [ (AᑎB)x(C-D) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) ᑌ (A-B)x(D-C) ᑌ (A-B)x(CᑎD) ᑌ (AᑎB)x(CᑎD) ]
Drugi, tretji in četrti člen se uspešno odštejejo:
=(A-B)x(C-D) - [ (AᑎB)x(CᑎD) ᑌ (A-B)x(D-C) ] = (A-B)x(C-D)
Dokazano.

Seveda je tole najbolj rigorozna in tudi najbolj splošna in zanesljiva metoda. V resnici gre dosti hitreje, saj ponavadi razbijanje na čisto vse koščke res ni potrebno. Recimo tisti kos (B-A) je bil res odveč, saj je B vedno nastopal samo pri odštevanju, nikoli "s plusom" in zato ne bi mogel delat težav. Gre tudi z risanjem. Narišeš Vennov diagram množic in pogledaš, če se vsi kosi ujemajo.

mtalaq
Posts: 19
Joined: 9.1.2012 9:10

Re: Matematika

Post by mtalaq » 17.1.2014 22:57

Tega nerazumem, po čem smo to ugotovili?
=(A-B)x(C-D) - [ (AᑎB)x(CᑎD) ᑌ (A-B)x(D-C) ] = (A-B)x(C-D)
Dokazano.

Post Reply