Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 3.2.2014 1:32

No ja, to je enostavno povprečje točk :)

martinzjeh
Posts: 25
Joined: 11.2.2013 0:44

Re: Matematika

Post by martinzjeh » 3.2.2014 20:25

Kako lako rešim ti dve limiti? Primeri so relativno lahki, potem pa tole...

lim(x->inf) x(sqrt[3](x^3-5x)-x)

Zgornja limita, ki gre proti neskončnosti vsebuje tretji koren ( sqrt[3] ) in ima dva člena pod korenom, x je zunaj njega.

lim(x->inf) (arctan(2x)+pi/2) / x^-1

Limita, ki gre proti nskončnosti in ima v števcu arctan(2x)+pi/2 in v imenovalcu x^-1 ... to sicer lahko damo tudi zgoraj kot x... ampak kaj potem? :O

Hvala za kakršnokoli pomoč.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 3.2.2014 20:53

Povprečje točk, ali je smiselno samo y povprečit, da dobiš konstantno funkcijo. Ker x je vseen koliko je četudi bi bil ogromno število, se konstantna funkcija \(y = n\) ne premakne nikamor.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 3.2.2014 21:41

DirectX11 wrote:Povprečje točk, ali je smiselno samo y povprečit, da dobiš konstantno funkcijo. Ker x je vseen koliko je četudi bi bil ogromno število, se konstantna funkcija \(y = n\) ne premakne nikamor.
Ja saj to. Saj točno to ven pride. Minimizacija kvadrata odmika je, ko je ta odmik standardni odklon, rezultat pa povprečje. Saj vidiš, da x niti ne nastopa v minimizaciji. Minimiziraš
\(\sum_i (A-y_i)^2\)
in ko to odvajaš:
\(\sum_{i=1}^N 2(A-y_i)(-1)=0\)
\(\sum_{i=1}^N (A-y_i)=0\)
\(A=\frac{\sum y_i}{N}\)
martinzjeh wrote:Kako lako rešim ti dve limiti? Primeri so relativno lahki, potem pa tole...

lim(x->inf) x(sqrt[3](x^3-5x)-x)

Zgornja limita, ki gre proti neskončnosti vsebuje tretji koren ( sqrt[3] ) in ima dva člena pod korenom, x je zunaj njega.

lim(x->inf) (arctan(2x)+pi/2) / x^-1

Limita, ki gre proti nskončnosti in ima v števcu arctan(2x)+pi/2 in v imenovalcu x^-1 ... to sicer lahko damo tudi zgoraj kot x... ampak kaj potem? :O

Hvala za kakršnokoli pomoč.
Spet standard, izpostavljanje, razvoj po Taylorju, ali pa racionalizacija. Recimo
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)=\)
\(=\lim_{x\to \infty}x(x\sqrt[3]{1-5/x^2}-x)=\)
\(=\lim_{x\to \infty}x(x(1-\frac13\frac{5}{x^2}+\cdots)-x)=-\frac{5}{3}\)
Ali pa
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)=\)
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}=\)
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{x^3-5x-x^3}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}=\)
\(\lim_{x\to \infty}\frac{-5}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2/x^2+\sqrt[3]{x^3-5x}/x+1)}=-\frac{5}{3}\)

Pri drugi moraš pa vedet kakšno je obnašanje teh funkcij v neskončnosti... v plus neskončnosti po standardni definiciji arkus tangensa itak ne bo nič pametnega, saj ni niti nedoločenega izraza. arctan(x) gre namreč proti +pi/2, tako da imaš pi*x. V minus neskončnosti bi pa šlo (l'Hospital recimo takoj odpravi arkus in imaš racionalno funkcijo). Ali pa z razvojem okrog neskončnosti - arkus tangens se bo obnašal podobno kot 1/x+premik.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 4.2.2014 20:14

Kako se pa pri numerični matematiki določa natančnost? Recimo če nekdo želi rezultat na 5 decimalnih mest natančno. Jaz bi toliko časa vstavljal člene v iterativno metodo dokler se bi spreminjalo prvih 5 decimalnih mest. Ko se enkrat ustali je to rezultat. Vendar je to kmečka logika. Zagotovo obstaja kaj bolj znanstvenega.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 4.2.2014 20:46

Bolj formalno se da zapisat, je pa ista ideja. In nikakor ni enostavno, ga lahko kaj hudo polomiš.

Pri potenčnih vrstah imaš načine zapisa ostanka, s katerim lahko oceniš napako (ponavadi je velikostnega reda naslednjega člena). Podobno lahko ponavadi pogledaš asimptotično obnašanje iteracije ali vrste in ekstrapoliraš. To je cela stvar v zvezi z redom konvergence. Recimo imaš metode, ki podvajajo število dobrih decimalk z vsako iteracijo (kvadratna konvergenca, ta je recimo tipična pri Newtonovi metodi za iskanje ničel, pa tole http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic ... etric_mean in podobno), potem imaš linearno konvergenco (približno konstantno število decimalk na iteracijo - bisekcija, geometrijske vrste,...), in seveda blazno počasne potenčne konvergence (recimo vsote tipa 1/n^2), do popolnoma neuporabne logaritemske konvergence (1-1/2+1/3-1/4...), ki je povrhu vsega le pogojno konvergentna vrsta. Če imaš opravka s pogojno konvergentnimi ali celo asimptotičnimi vrstami, moraš sploh pazit. Marsikdaj res ni druge kot da spremljaš potek in gledaš koliko se spreminja.

Pri diskretizacijskih metodah imaš druge vrste konvergenco - odvisnost natančnosti od velikosti koraka. Recimo integracije diferencialnih enačb (in direktne integracijske formule za funkcije),... to se vse oceni s potenco velikosti koraka. Pazit moraš seveda tudi na stabilnost in vse podobne zadeve.

Če hočeš bit glede tega natančen, moraš res podrobno poznat lastnosti funkcije, ki jo računaš, in lastnosti metode, ki jo uporabljaš. Ampak "na oko" pa človek zna zelo hitro presodit hitrost konvergence in vidi, ali izgleda, da stvar konvergira bolje ali slabše. Potem pa z znanjem ščasoma to "kmečko pamet" razumeš tudi z druge strani in jo znaš kvantitativno opisat.

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 8.2.2014 17:26

Kako naj rešim: 2z+i^139=3iz-18

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 8.2.2014 17:46

Samo izpostavi in izrazi.
z(2+3i)=-18+i^139
z=(-18+i^139)/(2+3i)
Tisto vulgarno potenco i-ja pa znaš reducirat, racionaliziraš pa tudi lahko, če želiš.

katarina123
Posts: 8
Joined: 2.4.2013 16:53

Re: Matematika

Post by katarina123 » 13.2.2014 14:25

Živjo!
Na prejšnjem izpitu iz matematike je bla ena izmed nalog določiti limito zaporedju 2^n/n! pa je nisem znala. Pri predavanjih in vajah nismo delali nalog s fakulteto, v skripti pa je tudi nisem našla. Mi lahko kdo razloži kako se obnaša člen s fakulteto v zaporedju? Hvala!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 13.2.2014 14:37

Stirlingovo formulo lahko uporabiš, če jo veš:
\(n!\sim \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}\)
za velike n.
No, saj predfaktorji niti niso važni, glavno je, da veš, da narašča hitreje od vseh eksponentnih funkcij (dominantni člen je n^n). Tako, da je limita enaka 0.

Ni pa nujno it tako, lahko tudi samo razpišeš oboje:
\(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdots\)
To gre očitno proti 0, saj od 3. člena naprej množiš s števili, manjšimi od 1, ki postajajo vedno manjša. Zato tudi pada precej hitreje kot geometrijsko zaporedje, ki množi vedno z isto številko, manjšo od 1.

In še tretji način: 2^n/n! lahko smatraš kot člen v razvoju e^x v potenčno vrsto z vstavljenim x=2. Vrsta za eksponentno funkcijo konvergira za VSE x (neskončen konvergenčni radij). Če VSOTA ZAPOREDJA konvergira, potem gre zaporedje sigurno proti nič.

brglez
Posts: 27
Joined: 8.9.2013 8:42

Re: Matematika

Post by brglez » 15.2.2014 15:09

napiše postopek kako se reši ta enačba?

\(\sqrt{2x}-\sqrt{x-4}=2\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 15.2.2014 15:51

Prvo kvadriranje spravi število korenov na 1, potem preurediš in kvadriraš še enkrat.
\(2x+(x-4)-2\sqrt{2x(x-4)}=4\)
\(-2\sqrt{2x(x-4)}=8-3x\)
\(8x(x-4)=(8-3x)^2\)
\(x=8\)

brglez
Posts: 27
Joined: 8.9.2013 8:42

Re: Matematika

Post by brglez » 15.2.2014 16:25

hvala za pomoč :D

brglez
Posts: 27
Joined: 8.9.2013 8:42

Re: Matematika

Post by brglez » 16.2.2014 15:06

muči me enačba:

\(\frac{\sin^2 x-cos^2x}{sinx+cosx}\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 16.2.2014 17:10

Razlika kvadratov v števcu in pokrajšaš.

Post Reply